exactement un certain nombre de fois, et celui-ci est dit sousMULTIPLE du premier. Ainsi 20 est multiple de 4, parce que 5 fois 4 égalent 20; et 4 est sous-multiple de 20, car il le divise sans reste (20: 5 = 4). 2o Un nombre est dit PREMIER, lorsqu'il n'est divisible que par lui-même et par l'unité. Il suit de la que 2, 3, 5, 7, etc., sont des nombres premiers, et que 4, 6, 9, n'en sont pas, car ils peuvent être divisés par 2 ou par 3, ou par tous les deux. 30 Deux nombres qui n'ont aucun diviseur commun sont dits PREMIERS ENTRE EUX. Ainsi 4 et 9 sont dans ce cas, car 2, qui est sous-multiple de 4, n'est pas diviseur de 9, et 3, qui est diviseur de 9, ne l'est pas de 4; 6 et 9 ne sont pas premiers entre eux, car ils ont 3 pour diviseur commun. 4o Un rombre sous-multiple d'un autre nombre divise un multiple quelconque de ce second nombre. Ainsi 12 étant divisible par 3, 36, multiple de 12, sera aussi divisible par 3. En effet, 12 qui contient 4 fois 3, étant contenu 3 fois dans 36, celui-ci contiendra 4 fois 3 trois fois, c'est-à-dire 12 fois exactement. 50 Un nombre étant décomposé en deux parties ayant un diviseur commun, ce diviseur sera aussi sous-multiple de ce nombre. Soit le nombre 24 divisé en deux parties 16 et 8, je dis que 4, diviseur commun de 16 et 8, divisera aussi 24 sans reste. Ceci est évident le quotient de la division du nombre entier doit égaler le total des quotients de la division de ses parties; et si ceux-ci sont entiers, leur somme, ou le quotient du premier nombre, le sera aussi. 6o Un nombre étant divisé en deux parties, si ce nombre et l'une de ses parties sont exactement divisés par un autre nombre, celui-ci divisera aussi exactement l'autre partie. En effet, le quotient du nombre entier étant égal à la somme des deux quotients partiels, si l'un de ces quotients est entier, l'autre le sera aussi par une suite nécessaire; autrement il en résulterait cette absurdité, qu'un nombre entier serait égal à un nombre fractionnaire. * 99. Pour trouver le plus grand commun diviseur des deux termes d'une fraction, il faut diviser le dénominateur par le numérateur; s'il ne reste rien, ce sera le numérateur qui sera le plus grand commun diviseur; s'il y a un reste, il faut diviser le numérateur par le reste, le premier reste par le second, et continuer ainsi la division jusqu'à ce qu'elle se fasse sans reste. Le dernier diviseur qu'on aura employé sera le plus grand commun diviseur, par lequel il faudra diviser les deux termes de la fraction. Si le dernier diviseur était l'unité, la fraction serait irréductible. Ayant divisé le dénominateur par le numérateur, il reste 78; je divise le numérateur par ce nombre, et il reste 39; je continue à diviser ainsi l'avant-dernier reste par le dernier, et je trouve que 39 ne donne pas de reste, d'où je conclus qu'il est le plus grand commun diviseur : je divise les deux termes de la fraction par 39 et j'ai 3 pour numérateur de la nouvelle fraction, et 35 pour dénominateur; ce qui donne pour la plus simple expression 117 de 136 5. 3 35 La raison de cette règle est facile à comprendre 39 divise 39 × 2, c'est-à-dire 78; il divise aussi 78 + 39, c'est-à-dire 117; il divise également 117 1178, c'est-à-dire 1365; il est donc commun diviseur des deux termes de la fraction proposée. = = 117 = Il est aussi leur plus grand commun diviseur; car s'il y en avait un autre, il faudrait qu'il divisât 1365 ×11+78; qu'il divisât aussi 117 78139; et encore 78392, et enfin 39: or, s'il est plus grand que ce dernier nombre, il ne peut pas le diviser; donc 39 est le plus grand commun diviseur des deux termes de cette fraction. EXERCICES SUR LA TROISIÈME RÉDUCTION. P. 701. Réduisez les fractions, 18, 18, à leur plus 10 20 24 36 simple expression. 34 P. 702. Mettez à sa plus simple expression. P. 703. Quelle est la plus simple expression de la fraction 75? 120 1.4 705 108 P. 704. Réduisez à sa plus simple expression. P. 708. Réduisez à sa plus simple expression la fraetion suivante 1178. P. 709. Dites la plus simple expression de cette fraction. P. 710. Quelle est la plus simple expression de cette fraction 25? 1200 P. 711. Réduisez à sa plus simple expression. 4536 P. 712. Mettez à sa plus simple expression. 806 3666 P. 713. Quelle est la plus petite expression de la fraction? P. 714. Quels sont les moindres termes de la fraction? 546 P. 715. Apprenez-nous la plus simple expression de 788. P. 716. Savoir quels sont les moindres termes de cette fraction. 4536 P. 717. Quelle est la plus petite expression de 158? 14289 2204 15092 P. 719. On propose de réduire à sa plus simple expression. P. 720. Réduisez 62208 à sa plus simple expression. 68428 QUATRIÈME RÉDUCTION. * 100. 1° Pour réduire deux fractions AU MÊME DÉNOMINATEUR, il faut multiplier les deux termes de la première par le dénominateur de la seconde, et les deux termes de la seconde par le dénominateur de la première. 8 12 Par exemple, pour réduire au même dénominateur les deux fractions,, je multiplie 2 et 3, qui sont les deux termes de la première fraction, chacun par 4, dénominateur de la seconde, et j'ai qui est de même valeur que (no 90). Je multiplie de même les deux termes 3 et 4 de la seconde fraction, chacun par 3, dénominateur de la première, et j'ai qui est de même valeur que; en sorte que les fractions et sont changées en et, qui sont respectivement de même valeur que celles-là, et qui ont le même dénominateur entre elles. Il est aisé de voir que, par cette méthode, le dénomi nateur sera toujours le même pour chacune des deux nouvelles fractions, puisque dans chaque opération le nouveau dénominateur est le produit d'une multiplication dont les deux dénominateurs primitifs sont les facteurs. 2o Si l'on a plus de deux fractions, on les réduira toutes au même dénominateur, en multipliant les deux termes de chacune par le produit résultant de la multiplication des dénominateurs des autres fractions. 3 4 5 32 49 5272 Par exemple, pour réduire au même dénominateur les quatre fractions ,, je multiplie les deux termes 2 et 3 de la première, par le produit des trois dénominateurs 4, 5, 7, des autres fractions, produit que je trouve en disant 4 fois 5 font 20, puis 7 fois 20 font 140; je multiplie donc 2 et 3 chacun par 140, et j'ai 20 qui est de même valeur que (no 90.) Je multiplie pareillement les deux termes 3 et 4 de la seconde fraction, par le produit de 3, 5, 7, qui égale 105 : je multiplie donc 3 et 4 ehacun par 105, ce qui donne 315, fraction de même valeur que . 4209 Passant à la troisième fraction, je multiplie ses deux termes 4 et 5 chacun par 84, produit des trois dénominateurs 3, 4, et 7, et j'ai 336 au lieu de . 420 Enfin pour la quatrième, je multiplie 5 et 7 chacun par le produit 60 des dénominateurs 3, 4, et 5; les premières fractions,,,, sont changées en 20, 18, 336, 300, moins simples, à la vérité, que celles-là, mais de même valeur qu'elles, et, de plus, susceptibles, à cause de leur dénominateur commun, des opérations d'addition et de soustraction. 4209 4209 101. On peut encore réduire les fractions au même dé nominateur par la méthode suivante: On choisit un nombre appelé DÉNOMINATEUR COMMUN, tel qu'il puisse être divisé sans reste par chacun des dénominateurs des fractions proposées; on divise ce nombre par chacun des dénominateurs, et l'on multiplie les deux termes de chaque fraction par le quotient 102. On trouve le dénominateur commun en multipliant les uns par les autres les dénominateurs des fractions proposées. On peut se dispenser de multiplier par ceux qui sont sous-multiples de quelque autre (no 98, 4o). Exemple. On veut mettre les fractions suivantes au même déno 4 5 7 minateur, 5. 39 59 69 8. Opération.5×6=30;30×8=240 dénom. commun. 240 dénominateur commun. Ayant trouvé 240 pour dénominateur commun, je divise ce nombre par 3, par 5, par 6 et par 8; j'ai pour quotients 80, 48, 40 et 30: j'écris ces nombres sous les fractions données, et je multiplie les deux termes de chacune de ces fractions par le quotient correspondant 80, 48, etc., et j'ai pour réponses 160, 118, 200, 210 (1). 192 On conçoit aisément que le dénominateur commun, étant composé du produit de tous les dénominateurs des fractions primitives, est nécessairement divisible par chacun de ces nombres; il devient donc aisé de former de nouvelles fractions équivalentes aux premières, si l'on considère l'unité divisée en 240. C'est ce qu'on exécute, par exemple, pour la fraction en divisant 240, ou l'unité, par 3, pour en avoir le tiers; mais comme il faut deux tiers pour que cette nouvelle fraction soit égale à la première, on multiplie 80 par 2, et on a 10 pour la fraction équivalente à. Le rapport s'établit de même entre les termes des autres fractions. 240 Questions sur les réductions de Fractions. Qu'est-ce que les réductions de fractions? 92. — Quelles sont les principales réductions? 93.- Comment réduit-on les entiers en fractions? 94. Que faut-il faire pour réduire les fractions en entiers? 95. Que faut-il faire pour réduire une fraction à sa plus simple expression? 96. Peut-on abréger cette simplification suc (1) On pourrait également écrire les quotients de la manière indiquée no 104. |