en faisant des projections polaires et des projections horizontales. Les premières représentent les hémisphères séparés par l'équateur, et font voir avec assez d'axactitude l'ensemble des régions circompolaires. Les secondes donnent les hémisphères placés au-dessus et au-dessous de l'horizon du lieu auquel elles se rapportent, et sont les plus propres à faire connaître les régions qui environnent ce lieu, ou son antipode: elles méritent, par cette raison, une attention particulière.

4. L'inégalité des espaces de la graduation de la projection stéréographique ne permet pas de lui appliquer, en général, une échelle rectiligne pour comparer les distances respectives des lieux, distances qui se mesurent sur la terre suivant l'arc du grand cercle qui joint ces lieux deux à deux : mais on peut toujours, par le moyen de la graduation même, mesurer la distance entre le centre de la carte et tel de ses points qu'on voudra; et l'on peut, par conséquent, connaître sur la projection horizontale relative à Paris par exemple, la distance de cette ville à tous les autres points du globe. Cette propriété résulte de ce que tous les grands cercles qui passent par le centre de la carte, se coupant suivant l'axe optique, ont pour perspectives des lignes droites menées par ce centre, et admettent une graduation semblable à celle de l'équateur des mappemondes faites sur le plan du méridien.

5. En plaçant le point de vue au centre de la sphère, et prenant pour tablean un plan tangent à sa surface, on obtient une perspective du globe dans laquelle tous les grands cercles sont représentés par des lignes droites. Elle altère, comme les précédentes, et plus encore, l'étendue des régions, à mesure qu'elles s'éloignent du centre de la carte; elle ne peut même représenter un hémisphère entier, parce que les rayons visuels, menés par la circonférence qui termine cet hémisphère, sont parallèles au plan du tableau : mais elle peut être fort utile pour des parties du globe dont l'étendue ne serait pas très considérable, et elle est susceptible d'une espèce d'échelle dont la construction n'est pas difficile à trouver. C'était, sans doute, par cette raison, que Prony s'était proposé de s'en servir dans les

cartes du Cadastre. Cette projection, que l'on nomme centrale, s'emploie aussi pour les cadrans solaires.

6. Si l'on conçoit le point de vue porté à une distance infinie du tableau, les rayons visuels deviendront parallèles entre eux, en les supposant alors perpendiculaires au tableau, on aura la projection orthographique, dans laquelle les méridiens et les parallèles sont en général représentés par des ellipses, excepté dans la projection polaire, où les méridiens sont des lignes droites, et les parallèles des cercles concentriques.

7. Cette espèce de cartes a, par rapport aux espaces, le défaut contraire à celui des précédentes; elle les diminue du centre à la circonférence, à cause de l'obliquité sous laquelle les parties latérales de la sphère se présentent à son plan diamétral. La Hire a conclu de là qu'en prolongeant l'axe optique hors de la sphère, le tableau passant toujours par le centre, il existait sur cet axe un point tel, que l'inégalité des espaces vus de ce point, était la plus petite possible; car il est évident que lorsque le point de vue s'éloigne assez pour que l'obliquité des rayons, qui tend à agrandir les espaces, devenant moindre, puisse être compensée par celles des surfaces projetées, qui tend à les diminuer, leur accroissement doit se changer en décroissement. Il ne peut y avoir égalité absolue dans tous, parce que la loi de leur variation dépend de leur situation particulière; mais à la limite que nous venons d'assigner, leurs différences sont assez petites pour pouvoir être négligées dans une carte générale ou à petit point.

La Hire (1) a pris le point de vue de sa projection à une distance de la sphère égale au sinus de cinquante grades ou du demi-quadrans. J'ignore si l'on a construit des cartes sur cette projection, et je suis surpris qu'elle ne soit pas devenue commune; car elle me paraît préférable à la projection ordinaire des mappemondes. On objecterait en vain que les méridiens et les parallèles s'y trouvant représentés par des ellipses, elle doit être plus difficile à tracer; car il est évident que le dessin de la projection est toujours, pour un géographe instruit, la moindre

(1) Mémoires de l'Académie des Sciences, année 1701, p. 260.

compas.

La

des difficultés que présente l'exécution d'une carte. On a un grand nombre de moyens simples et commodes pour tracer des ellipses par points; et l'on est souvent obligé d'en employer de semblables pour les méridiens circulaires, lorsqu'ils sont placés vers l'axe des mappemondes, parce que leur rayon est trop grand pour qu'il soit possible de les décrire avec le projection horizontale, faite d'après les principes de la Hire, serait susceptible de donner des distances, comme la projection stéréographique. Enfin, je ne vois pas qu'aucune des propriétés de la projection stéréographique puisse compenser, par rapport aux mappemondes, les inconvéniens de la disproportion qu'elles mettent entre des espaces égaux, et l'erreur où elles induisent l'élève qui veut comparer, par exemple, l'Inde avec la NouvelleZemble, et la mer Rouge avec la baie de Baffin.

8. La projection stéréographique est peu employée à l'égard des cartes particulières; il n'y a guère que les Allemands qui s'en soient servis dans ce cas, et particulièrement Hasius, qui a composé la plus grande partie des cartes de l'atlas de Homann, fort répandu vers le milieu du siècle passé. Les quatre parties du monde, représentées isolément par cette projection, ne sont que des portions de la mappemonde, projetées sur le plan du méridien perpendiculaire à celui qui passe par le milieu de la carte. La longueur excessive des rayons des cercles les rend assez difficiles à tracer, et l'altération des espaces et des distances n'y est pas moindre que dans d'autres projections plus aisées à exécuter : voilà pourquoi ces cartes sont peu communes en France.

On peut y diminuer l'inégalité des espaces comme dans la mappemonde, en plaçant le point de vue hors du globe, mais la distance à laquelle il convient de le porter, dépend de l'étendue du pays qu'embrasse la carte, diminue à mesure que cette étendue devient plus petite, et peut se calculer aisément, en comparant le degré sur les bords de la carte avec celui qui se trouve vers le milieu

9.

ART. II.

DES PROJECTIONS PAR DÉVELOPPEMENS.

La plus simple de ces projections est celle qu'on nomme la projection conique. Il est bien naturel en effet d'assimiler une zone sphérique à un cône tronqué, et d'en construire ensuite le développement : les parallèles deviendront des cercles décrits du sommet du cône pris pour centre, et les méridiens seront des lignes droites assujéties à passer par ce point. Il est visible qu'on aura un résultat d'autant plus approché, que la carte embrassera moins d'étendue en latitude.

Cette projection peut varier de plusieurs manières: car on peut supposer que le cône soit tangent au parallèle moyen de la carte, et par conséquent extérieur; ou bien qu'il soit en partie inscrit dans la sphère, c'est-à dire formé par les sécantes des méridiens. Dans le premier cas, la carte n'aura d'exactitude rigoureuse que sur le parallèle moyen, qui conservera dans le développement la longueur qu'il a réellement sur le globe. Mais les parallèles placés tant au-dessus qu'au dessous de celui-là, excèderont ceux qui leur correspondent sur le globe. Murdoch, géomètre anglais, a proposé de substituer au cône tangent, un cône en partie inscrit et déterminé par cette condition, que la partie de son aire comprise dans la carte soit équivalente à celle de la zone sphérique qu'elle représente.

10. L'astronome de Lisle, qui fut chargé de construire une carte générale de l'empire de Russie, voulant éviter les inconvéniens de la projection stéréographique énoncés ci-dessus, employa la projection conique : mais pour la perfectionner, il imagina de faire entrer le cône dans la sphère, de manière qu'il la coupât suivant deux parallèles placés chacun à égale distance du parallèle moyen et de l'un des deux parallèles extrêmes. La carte avait ainsi, sur les deux parallèles dont on vient de parler, la même dimension que la partie correspondante du globe; et son étendue totale différait peu de celle du pays qu'elle devait représenter, parce que l'excédant qui se trouvait aux deux extré

mités de la carte était compensé, au moins en partie, par le défaut qu'avait, à l'égard de la zone sphérique, la portion inscrite du cône. La carte comprenant depuis le 40me, de la latitude jusqu'à 70o, le parallèle moyen répondait à 55o; les parallèles communs avec la sphère étaient ceux de 47° 30' et de 62o 30'.

11. Euler s'est occupé de cette projection; mais il a substitué à la détermination des parallèles qui devaient être communs avec la sphère, celle du point de concours des lignes. droites qui représentent les méridiens, et de l'angle qu'elles font entre elles lorsqu'elles comprennent un degré de longitude. Ses calculs sont appuyés sur les conditions suivantes : 1o. que les erreurs soient égales aux extrémités méridionales et septentrionales de la carte; 2°. qu'elles soient aussi égales à la plus grande de celle qui ont lieu vers le parallèle moyen de la carte. Il en conclut que le point de concours des méridiens doit être placé au-delà du pôle, d'une quantité égale à 5o de latitude, et que l'angle de deux méridiens consécutifs doit être de 48' 44" (1).

Il cherche ensuite de combien les arcs de grand cercle qui mesurent les distances sur le globe, diffèrent des lignes droites qu'on leur substitue sur la carte, et il trouve qu'un arc de 90o aurait sur la carte une longueur de 90,79, exacte à moins d'un centième de sa valeur.

12. On pourrait substituer à la projection conique faite sur deux parallèles du globe, une carte qui coïncidât avec trois, et cela en décrivart les parallèles extrêmes et le parallèle moyen, soit en lignes droites, soit en cercles concentriques, d'un rayon donné; puis en divisant ces parallèles conformément à la loi du décroissement des dégrés de longitude. On se procurerait ainsi trois points pour chaque méridien qu'on représenterait par le cercle mené par ces trois points. Je ne m'arrêterai pas sur cette projection indiquée, je crois, par Bion, dans son Usage des

(1) Mémoire d'Euler, tom. 1er, Ire partie des Acta Academiæ Petropolitana.