ETAT des personnes qui composent le corps enseignant de l'Ecole Polytechnique au 1er janvier 1813.

Analyse.

MM. Labey, Ampère, Poinsot.

Analyse appliquée à la mécanique.

MM. Prony, Poisson.

Géométrie descriptive; analyse appliquée à la géométrie.

MM. Monge, Hachette, Arago.

Art militaire, Topographie.

Professeur, M. Duhays. - Chef de topographie, M. Clerc.

Professeurs, MM. Guyton-Morveau, Gay-Lussac, Thénard. Répétiteurs, MM. Collin, Cluzel.

Dessin de la figure.

Professeur, M.Vincent.- Maîtres de dessin, MM. Mérimée, Lemire (J.), Lemire (A).

Littérature.

Professeur, M. Andrieux. - Bibliothécaire, M. Barruel.

Répétiteurs pour les sciences mathématiques.

MM. Reynaud, Binet (P.-A.), Binet (J.-P.-M.).

Adjoints, MM. Lefebure-de-Fourcy, Demarteau, De Stainville, Pommiés.

Dessinateurs pour la géométrie descriptive, et ses applications. MM. Girard, Gauché, Delaunay.

SUR

L'ÉCOLE IMPERIALE POLYTECHNIQUE,

Rédigée par M. HACHETTE.

No. Ier. Janvier 1809. (2o. volume.)

S. Ier.

GÉOMÉTRIE.

Sur la Pyramide triangulaire.

Par M. MONGE.

THEOREME I.

Le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est au milien de la droite qui joint les milieux de deux arêtés opposées quelconques (1).

PREMIÈRE DÉMONSTRATION.

Concevons la solidité de la pyramide divisée en une infinité de filets prismatiques dont les bases soient infiniment petites dans leurs deux dimensions, et dont la longueur finie soit parallèle à une arête quelconque de la pyramide; tous ces filets seront terminés par les deux faces de la pyramide qui se coupent dans l'arête opposée. Cela posé, si par l'arête opposée, et par le milieu de la première, on mène un plan, ce plan coupera tous les filets en deux parties égales, comme il coupe en deux parties

(1) Voyez la définition des arétes opposées, 1er. vol,, pag. 440.

égales l'arête qui leur est parallèle ; il passera donc par le centre de gravité de chacun d'eux, et par conséquent par le centre de gravité de leur systême, qui est la pyramide elle-même.

Par la même raison, si par la première arête et par le milieu de son opposée, on mène un second plan, ce plan passera aussi par le centre de gravité de la pyramide; donc le centre de gravité sera dans l'intersection des deux plans; mais chacun de ces plans passe par les milieux des deux arêtes opposées, donc leur intersection passe par ces deux points; donc la droite menée par les milieux de deux arêtes opposées contient le centre de gravité de la pyramide, qui se trouve par conséquent à l'intersection commune des trois droites menées par les milieux des arêtes opposées.

Or, on sait que les trois droites menées par les milieux des arêtes opposées, sont les axes du parallelipipède circonscrit, et se coupent réciproquement dans leurs milieux. Donc le centre de gravité de la pyramide est au milieu de la droite qui joint les milieux des deux arêtes opposées quelconques. C. Q. F. D.

Dans cette démonstration, nous avons considéré les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées; dans la suivante nous ne considérerons qu'une seule d'entr'elles.

SECONDE DÉMONSTRATION.

Après avoir fait passer par une quelconque des arêtes de la pyramide un plan parallèle à l'arête opposée, concevons que ce plan se meuve parallèlement à lui-même jusqu'à ce qu'il vienne passer par l'arête opposée; ce plan, dans chacune de ses positions successives, coupera la pyramide suivant un parallelogramme, car il coupera les deux faces contigues à la première arête en deux droites qui seront parallèles à cette arête, et par conséquent parallèles entr'elles, et il coupera les deux autres faces qui sont contigues à l'arête opposée en deux autres droites qui seront parallèles à cette seconde arête, et par conséquent parallèles entr'elles. De plus, tous les parallelogrammes obtenus de cette manière auront leurs côtés homologues parallèles entr'eux, et leurs angles correspondans égaux; mais ils ne seront pas semblables, parce que le rapport de leurs côtés contigus ne sera pas le même; c'est l'un de ces côtés qui devient nul quand le plan passe par une des arètes, et c'est l'autre qui s'évanouit quand le plan passe par l'arête opposée.

Cela posé, concevons que le plan dans son mouvement ait divisé la solidité de la pyramide en une infinité de tranches parallelogrammiques d'égale épaisseur, puis menons un plan par l'une des deux arêtes et par le milieu de son opposée; ce plan

divisera chaque tranche en deux parties égales, parce qu'il passera par les milieux des côtés de cette tranche, parallèles à l'arête opposée; il passera donc par le centre de gravité de chacune des tranches. Par la même raison, si par la seconde arête et par le milieu de la première on mène un second plan, ce plan coupera toutes les tranches en deux parties égales, et passera par le centre de gravité de chacune d'elles; donc l'intersection de ces deux plans passera par les centres de gravité de chacune des tranches. Mais chacun de ces deux plans passe par les milieux des deux arêtes opposées; leur intersection passe donc par ses deux points; donc la droite menée par les milieux des deux arêtes opposées passe par le centre de gravité de chacune des tranches parallèles à ces arêtes.

Actuellement, si parmi toutes les tranches on en considère deux quelconques qui soient à distances égales des deux arêtes opposées, leurs solidités seront égales entr'elles. En effet, ces deux tranches ayant même épaisseur, leurs solidités seront entr'elles comme les aires des parallelogrammes qui leur servent de bases; et les parallelogramines ayant leurs angles correspondans égaux, leurs aires seront entr'elles comme les produits de leurs côtés contigus; ainsi les solidités des deux tranches seront entr'elles comme les produits des côtés contigus de leurs parallélogrammes. Or, ces deux produits sont égaux entr'eux car en nommant M, N, les côtés contigus du parallèlogramme de la première tranche, et M', N', les côtés correspondans de la seconde; si l'on exprime par A la longueur de la droite qui joint les milieux des arêtes opposées, et par a la partie de cette droite comprise entre chacune de ses extrémités et celle des deux tranches qui en est plus voisine, on aura

on aura donc ce qui donne

M: M': a: A -a

N': N: a: A -a

M: M':: N': N,

MNM' N'.

Ainsi deux tranches quelconques prises à égales distances des extrémités (ou du milieu de la droite qui joint les milieux des arêtes opposées, sont égales en solidité; donc, le centre de gravité du systême de ces deux tranches est au milieu de la droite qui passe par leurs centres de gravité particuliers; donc il est au milieu de la droite qui joint les milieux des deux arètes opposées. Donc le centre de gravité du systême de toutes les tranches, c'est-à-dire le centre de gravité de toute la pyramide, est au milieu de cette droite. C. Q. F. D.

Le théorême que nous venons de démontrer fournit la cons

égales l'arête qui leur est parallèle ; il passera donc par le centre de gravité de chacun d'eux, et par conséquent par le centre de gravité de leur systême, qui est la pyramide elle-même.

Par la même raison, si par la première arête et par le milieu de son opposée, on mène un second plan, ce plan passera aussi par le centre de gravité de la pyramide; donc le centre de gravité sera dans l'intersection des deux plans; mais chacun de ces plans passe par les milieux des deux arêtes opposées, donc leur intersection passe par ces deux points; donc la droite menée par les milieux de deux arêtes opposées contient le centre de gravité de la pyramide, qui se trouve par conséquent à l'intersection commune des trois droites menées par les milieux des arêtes opposées.

Or, on sait que les trois droites menées par les milieux des arêtes opposées, sont les axes du parallelipipède circonscrit, et se coupent réciproquement dans leurs milieux. Donc le centre de gravité de la pyramide est au milieu de la droite qui joint les milieux des deux arêtes opposées quelconques. C. Q. F. D.

Dans cette démonstration, nous avons considéré les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées; dans la suivante nous ne considérerons qu'une seule d'entr'elles.

SECONDE DÉMONSTRATION.

Après avoir fait passer par une quelconque des arêtes de la pyramide un plan parallèle à l'arête opposée, concevons que ce plan se meuve parallèlement à lui-même jusqu'à ce qu'il vienne passer par l'arête opposée; ce plan, dans chacune de ses positions. successives, coupera la pyramide suivant un parallelogramme, car il coupera les deux faces contigues à la première arête en deux droites qui seront parallèles à cette arête, et par conséquent parallèles entr'elles, et il coupera les deux autres faces qui sont contigues à l'arête opposée en deux autres droites qui seront parallèles à cette seconde arête, et par conséquent parallèles entr'elles. De plus, tous les parallelogrammes obtenus de cette manière auront leurs côtés homologues parallèles entr'eux, et leurs angles correspondans égaux; mais ils ne seront pas semblables, parce que le rapport de leurs côtés contigus ne sera pas le même; c'est l'un de ces côtés qui devient nul quand le plan passe par une des arêtes, et c'est l'autre qui s'évanouit quand le plan passe par l'arête opposée.

Cela posé, concevons que le plan dans son mouvement ait divisé la solidité de la pyramide en une infinité de tranches parallelogrammiques d'égale épaisseur, puis menons un plan par l'une des deux arêtes et par le milieu de son opposée; ce plan