J'ai proposé, l'année dernière, la question suivante : Etant donnée l'équation générale des surfaces du second degré, trouver la relation qui doit exister entre les constantes qui entrent dans cette équation, pour qu'elle appartienne à , une surface de révolution? Trois élèves du cours de la même année, MM. Urban, Merle, Mondot, ont traité cette question de deux manières différentes; M. Bourdon, professeur au Lycée Charlemagne, l'a résolue d'une troisième manière, et il a déduit de sa solution plusieurs conséquences importantes sur la théorie des surfaces du second degré. Comme il fait usage des équations par lesquelles M. Biot a déterminé la position des trois axes rectangulaires d'une surface du second degré, je vais d'abord exposer la méthode que ce géomètre a suivie pour obtenir ces équations. Cette méthode étant la plus simple et la plus élégante de celles qu'on a employées jusqu'à présent, on faces du second degré, qui sert de texte à nos leçons. Soit l'équation générale d'une surface du second degré 'Az2+A'y2+A" x2+Byz+B' x z +B" xy x, y, z, étant les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de cette surface, et x', y, z, les nouvelles coordonnées de ce point parallèles aux axes principaux de la surface, on a (pag. 7, 2a vol. de la Correspondance) x = mx' + m'y' +m" z' y = nx' + n' y' + n'' z' z=px' + p'y' + p" z', m, n, p m', n', p' étant les cosinus des angles que l'axe principal des y m",n", fait avec les trois axes primitifs des x, des y, des z. Les neuf constantes m, n, p, m', n', p', m'', n'', p", sont liées entr'elles par le relations suivantes (pag. 14 et 15 du Traité des surfaces du second degré): m2 + n2 + p2 = 1 m m' + n n' +p p' = o. m'2 + n'2 + pl =1》(1) et m m" + n n" +p p" =0.》(2). m' m' + n' n'' + p' p'' = 0. n" Substituant les valeurs de x, y, z, dans l'équation proposée, et formant les coefficiens de y' z', x' z', x'y', pour les égaler à zéro, on aura les trois équations suivantes : 2 A p' p''+2 A' nn" +2 A'' m' m'' +B (n'p"+p'n")' +B' (m'p''+p' m")+B" (m' n"+n.m")=0 (3) 2 App" +2 A' n n" +2 A" m m" +B (np"+p App' +2 A' n n' + 2 A" m m' + B ( n p' + p n' ) et pour abréger No, N'=o, N"=o (3) d'où il suit que l'équation en x', y', z', sera en général de la forme ax2 + Bjl2 + y z12 dx' +ıy' + z' — 1=0 qu'on peut réduire, dans un grand nombre de cas, à celle-ci : ax2 + Myla ty gla la surface représentée par cette dernière équation est rapportée à ses trois axes principaux et à son centre. Il est important de remarquer que les neuf équations (1), (2), (3), sont symétriques par rapport aux trois systêmes des constantes (m,n,p), (m', n', p'), (m'', n", p"); en sorte qu'à la place des trois constantes 2, m, n on peut substituer les trois autres l, m, n', ou l'"', m", n", pourvu qu'à qu'à la place de ces trois dernières on mette respectivement i, m, n. Il suit de cette remarque qu'en éliminant huit des neuf constantes, les équations finales en m, ou en m', ou en m'', seront identiques; par la même raison, il y aura identité entre les équations finales en n, ou n', ou n'', et en p, ou p', ou p''; les équations finales auront donc pour racines, la première les quantités m, m', m'; la seconde, les quantités n', n', n''; la troisième, les quantités p, p, pl. Le calcul suivant, rédigé par M. Bourdon, a pour objet de démontrer que les racines de chacune de ces équations finales sont toujours réelles. H. C. Détermination des axes principaux dans les surfaces du second degré, et en particulier, dans les surfaces de révolution du second degré. Par M. BOURDON. Les équations (3), combinées avec les équations des deux groupes (1) et (2), devront donner les valeurs de m, n, p, m' .... Si l'on multiplie la seconde des équations (3) par m', et la troisième parm", qu'ensuite on les retranche l'une de l'autre, on obtient la nouvelle équation ου 2 Ap (m' pll-p'm") + Bn (m' p' —p' m') + B'm ( m' p'' —p' m'' ) + 2 A' n ( m' n" — n' m" ) + B p ( m' n'' —n' m'' ) +B" m(m' n" — n' m' ) (2 A p + B n + B' m ) (m' p" — +(2n+Bp+ B" m) (mꞌ n!! — p' m'' )` ! m!! ) = 0 (4)· ml mll)=0 (4)• Multipliant de nouveau la deuxième par n', et la troisième par n puis retranchant la deuxième de la troisième, et réduisant, il vient ( 2 A p + B n + B' m) (p' n'' — n" p"! ) + (2 Al! m+B' p + B' n ) ( mꞌ n" —n' m'')=0 (5). Or les deux premières équations du groupe (2) étant multipliées d'abord par m" et m', puis par n" et n', et étant retranchées, donnent aussi d'où n (m' n" — n' m' )+ p (m2 p'' — p' m!!)=0 Substituant ces valeurs dans les équations (4) et (5), il vient n (24 p +B n + B' m) X— —7— +2dn+Bp+B".m=e 2 (4—A')np+B ( n2—p2 )+B'. m n — Bmpo (6). 2 ( A — A" ) mp + Bm n + B' (m2 — p2 ) — B" n p = 0 (7) De ces équations on déduit facilement la suivante : 2 (A'—A") mn+Bmp-B'np+B" (m2 — n2 )=0 (8) que l'on pourra par conséquent substituer à l'une d'elles. Deux quelconques des équations précédentes, combinées avec l'équation m2 + n2 + p2 = 1, donneront les valeurs de m, n, p. |