d'une figure située dans le plan du cercle, qu'autant que cette figure projetée est un cercle concentrique au premier; Que, dans l'équation générale d'une ellipse, les coefficiens des trois termes en x, yet xy, déterminent complètement le rapport des axes et leur position; d'où il suit que, si deux ellipses ont ces trois premiers termes communs dans leur équation, elles seront concentriques, semblables et semblablement placées. Cela posé, voici la question à résoudre : L'équation générale des surfaces du second degré étant ax2 + by2+cza + dxy + exz +fyz+gx+hy+iz+k=0, al faut trouver les relations qui doivent exister entre les coeffi ciens, pour que la surface représentée soit de révolution. Or cette équation peut, par une transformation de coordonnées qui répond à la seule transposition de l'origine, prendre la forme ax2+by' +cz2 + dxy + exz + fyz+K=0 (1) les six premiers coefficiens étant les mêmes que dans l'équation précédente. L'ellipsoïde et les deux hyperboloides donnent dans ce cas, pour K une valeur finie; les paraboloides donnent, à la vérité, une valeur infinie, mais cette dernière circonstance n'est d'aucune conséquence; la transformation est possible algé briquement; Kest toujours une fonction des autres coefficiens, fonction qu'on peut assigner. Je vais chercher les relations nécessaires entre les coefficiens de la dernière équation, pour qu'elle représente une surface de révolution, et cela me suffira, car il arrivera que ces relations seront entre les coefficiens communs aux deux équations, indé pendantes de k, et s'appliquant par conséquent à tous les cas, même à celui des hyperboloides. La méthode qui doit me conduire au résultat est fondée sur la remarque suivante: Un cône droit dont l'axe a pour équations by ax=yz, et dont l'angle au centre a pour cosinus, est représenté par l'équation 503 ( «o 62 + œ2 y2 + 62 y* ) (x2 +y®+z? ) = ( 6yx+ayy+a6z )2. Un plan quelconque, perpendiculaire à l'axe, et ayant par conséquent pour équation coupe le cône suivant un cercle : si donc on élimine l'une quelconque des variables x, y, z, entre les deux dernières équations; l'équation finale, appartenant à la projection de la section, doit être celle d'une ellipse ayant pour rapport de ses axes le cosinus de l'angle du plan (2) et des plans de projection. Mais it est évident que si j'ajoute à A un terme constant, et que j'élimine entre l'équation (2) et l'équation le résultat de l'élimination ne différera du précédent que par la valeur du terme constant; donc les deux ellipses, projections des sections des surfaces représentées par l'équation (3), par le plan (2), seront semblables à celles du cône par le même plan : donc les sections, faites par le plan (2) dans les surfaces (3), seront des cercles concentriques à ceux obtenus dans le cône; c'est une suite des principes rappelés précédemment. Donc, d'après le caractère géométrique convenu, les surfaces représentées par (3) sont de révolution et ont pour axe la droite représentée par «x=by, ax = y z. a Non-seulement l'équation (3) représente toujours une surface de révolution; mais je dis de plus qu'elle comprend toutes les surfaces de révolution du second degré. Prenons, en effet, une surface quelconque de révolution du second degré; son axe peut toujours être représenté par ax = 6y, xyz. Coupée par les plans (2) perpendiculaires à son axe, elle doit donner pour sections des cercles qui se projettent suivant des ellipses de la nature de celles que nous avons considérées tout-à-l'heure, ayant par conséquent les trois mêmes premiers coefficiens dans leurs équations. Donc, chacune de ces équations ne peut résulter que de l'élimination entre (2) et (3); ou entre (2) et une équation qui soit le produit de (3) par un facteur nécessairement numérique. Cette conclusion dérive de ce principe d'algèbre : « que si une » équation résulte de l'élimination entre deux autres Pet Q, c'est-à-dire, si elle est leur plus grand commun diviseur; pour que la même équation finale résulte de la combinaison P » et d'une autre équation Q' différente de Q, il faut que Q' soit » un multiple de Q. » Or, dans le cas qui nous occupe, le rapport de Q à Q' ne peut être que numérique, puisque les deux équations doivent être du même degré. L'équation (3) peut donc toujours, par des déterminations convenables de ses coefficiens, être identifiée à celle d'une surface de révolution donnée quelconque. Il suit des remarques précédentes, que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface donnée soit de révolution est que l'équation (3) puisse être identifiée à la sienne. Ces préliminaires posés, passons à l'équation proposée. Les conditions demandées sont évidemment celles d'où dépend l'identité des équations (1) et (3); elles sont au nombre de six, savoir: Ces relations, devant être satisfaites par des valeurs communes de, 6, 7, 4, donneront deux équations de condition, que j'obtiendrai en éliminant ces quatre quantités; or, en divisant par la valeur de d celles de e et de f, j'ai successivement les valeurs de « et de 6 en y, qui sont 6= Ces valeurs, α ye d substituées dans les quatre premières équations, les changent en On peut éliminer 4o, et en même temps E,, en retranchant successivement la seconde et la troisième équations de la première, car les deux différences sont J'ai trois équations qui ne renferment que, et, pour éliminer cette quantité, il suffit de diviser la dernière équation par la première, puis par la seconde ; car il vient alors pour les conditions cherchées auxquelles, pour la symétrie, on peut ajouter cette troisième qui s'en déduit 2(b~c)de+f(f2 — d2 ) = 0. (4) Telles sont les conditions cherchées, dont deux suffisent. (Ces conditions ne different pas de celles qu'on a trouvées, art. 4, page 196.) Toutes les surfaces de révolution du second degré satisfont à ees conditions; et réciproquement, toute équation qui satisfait à ces conditions, doit représenter une surface de révolution. Il existe cependant une circonstance qui semble échapper à cette règle; c'est celle où deux des trois coefficiens d, e, f, sont nuls, ou lorsque tous les trois le sont. En effet, l'axe de révolution est dans tous les cas et devient ax = by; fx=ey, «x=6z, par les valeurs de a, 6, y; or, tant qu'aucun des coeffi ciens d, e, f, est nul, ou lorsque deux ne le sont pas, on peut construire l'axe; mais si deux sont égaux à zéro, l'axe a pour une de ses équations o: ce qui n'indique pas toujours, comme on pourroit le croire, que l'axe est une droite quel conque, mais qui fait voir que, par la méthode suivie, l'algèbre ne peut résoudre la question. Dans ce cas, d'autres considérations lèvent la difficulté. En effet, s'il ne reste qu'un coefficient de rectangles des coordonnées, supposons que ce soit celui en xy, l'équation de la surface donnée sera ax2+by+cz2 + dxy+K=0. Il est clair qu'alors l'axe des coordonnées z devient un des axes de la surface; or nous savons que la condition pour qu'une surface du second degré soit de révolution, est que deux de ses axes soient égaux et réels; l'axe suivant z est égal en longueur à les deux autres sont ceux de la section par le plan xy, laquelle est ax2+by+dxy + K=0. Pour avoir les axes de cette ellipse, je transforme les coordonnées, en remplaçant x par x cos &-ysin a, ety parx sin+cos, et l'équation devient Egalant à zéro le coefficient de xy, l'équation qui donne C et $ |