La condition est l'égalité de deux axes; il suffit donc qu'on ait l'une des trois équations c = a C2 + b S2 + d C S cas+b C-d CS @C2 + b S+dCS = a S2 + b C3 — c CS. Cet S sont donnés par les deux équations (5) et ont pour valeurs Les trois conditions deviennent par les substitutions, après avoir simplifié, (6) a 0 4 (c—b) ( a − b )2 + d2 ( c + α — 2 b) = La question proposée est complètement résolue; car, s'il n'y a pas deux des coefficiens de xy, xz, yz, qui soient nuls, on pourra faire usage des équations (4), et si deux de ces coefficiens sont nuls, on se servira des équations (6). Dans le cas où les trois coefficiens sont nuls, do, et les trois équations précédentes se réduisent à (c—b)(a—b)=0; (c—a)(a—b)=0; (a—b)=0, ou à ces trois-ci a = b;a=c; b=c, dont une suffit. Note sur le développement des puissances des sinus et des cosinus,en séries de sinus ou de cosinus d'arcs multiples. Par M. PorsSON. On propose de développer cosm. x, en série de cosinus des multiples de l'arc x. 2m.cosm.x=(u+v)m, ou bien, en développant par la formule du binome m.mI 2 2m.cosm.x=um+m.um-.uv f Mais on a uv cos2.x + sin x1; et d'après la formule de Moivre, on a aussi, quel que soit l'exposant m, um(cos.x+sin.x.V m = cos.mx + sin.mx Substituant ces valeurs dans celle de 2m. cosm.x, il vient 2m.cosm. cos. mx +m. cos. (m-2)x - 'Ainsi la valeur complette de 2m.cosm. se compose de deux séries dont la loi est évidente. Au lieu de développer (+) suivant les puissances de v, on peut écrire 2m.cosm.x=(v +u)m, et développer suivant les puissances de u. On a de cette manière 2m.cosm.xcos.mx+m. cos. (m 2) x Cette seconde expression de 2m. cos.x ne differe de la première que par le signe de VI. Maintenant j'observe que si m est un nombre entier, positif ou négatif, la quantité 2. cosm. x n'est susceptible que d'une seule valeur pour chaque valeur de x ; ces deux expressions (1) et (2) doivent donc être équivalentes, et si on les ajoute, on aura le double de la valeur de 2. cosm. x; ajoutant donc et divisant par 2, on aura simplement 2m. Cosm .x=cos. mx + m. cos. (m — 2 ) x Ce résultat est la formule connue, que l'on donne ordinairement sans aucune restriction, et qui, cependant, ne convient en général qu'au cas de l'exposant entier. En effet, quand m est, fractionnaire, la quantité 2. cosm. x a plusieurs valeurs pour chaque valeur de x. Or, les expressions (1) et (2) correspondent à deux de ces valeurs qui different entr'elles par le signe de 1, de sorte qu'en les ajoutant et divisant par 2, on V retrouve la partie réelle, commune à ces deux valeurs, et non. pas une valeur de 2m.cosm.x. Il en faut excepter les cas particuliers où la valeur de x rend nul le coefficient del dans les formules (1), (2); dans ces cas, les trois formules coïncident, et la formule (3) donne la valeur de 2m.cosm.x; mais, dans: tout autre cas, cette formule induira en erreur sur la vraie valeur de cette quantité. Supposons, par exemple, met x=200°; on aura. cos. 200°- I, et 2. cosm.x= quantité dont les trois valeurs sont 3 i désignant un nombre entier quelconque, la formule (3) donuera de (1+1)3; d'ailleurs cos. = sin.. 200° auroit donc pour résultat = (1+1); 100o I ου 2 ; on. qui n'est point une de nos trois valeurs, mais bien la demi-somme de deux d'entr'elles. La formule (3) peut donner la première de ces trois valeurs; mais il faut pour cela y faire x3. 200o. On a toujours cos.x 1, et la formule (3) devient I -ICOS. Chacune des formules (1) et (2) donnera les trois valeurs de VI, en y faisant successivement VTV: 3 3 x=200°; x=3.200°, x=5.200°. En général, si m est une fraction de la forme, les équations (1) et (2) donneront les valeurs de la quantité n en y mettant successivement, à la place des x, les quantités x, x+400°, x + 2.400°, x+3.400°, ...x + (n-1). 400°, pour lesquelles le premier membre reste toujours n 2P. COSP. x. La véritable expression de cosm.x étant connue, on en déduit celle de sinm. x, en y substituant 100°x, à la place de x Or, i étant un nombre entier, on a cos. (m-21). (100°-x)=cos (m—21). 100°. cos (m—2i)x sin (m—2i). 100° . sin (m—2i) x, sin. (m-21). (100°-x)=sin (m—2i). 100°. cos (m-2i) x -cos(m-21). 100°. sin (m-2 i) x, cos. (m-2i).100°cos.m.100°, sin (m-21). 100'sin. m. 100°; |