les signes supérieurs ayant lieu, quand i est pair, et les signes inférieurs, quand i est impair; par conséquent ་་་ }་་་ cos. (m—2i). (100°-x)cos. m. 100°. cos. (m-2 i) x sin. (m—2i). (190°—x)=sin. m. 100.. cos. (m-21)x · au moyen de ces valeurs, l'équation (1) donne m, - entières ου frac formule qui convient à toutes les valeurs de tionnaires. L'équation (2) en fourniroit une semblable, et qui ne différeroit de celle-ci que par le signe de 1. Lorsque m'est .entier, il est permis d'ajouter ces deux formules, ce qui donne le double de la quantité 2.sinm., débarrassée du radical r; divisant cette somme par 2, on a am.sinmx: cos.mx-m.cos. (m—2)x+· Cos.m.1000. · (co m.m-x -.cos.(m—4)x—&c. &c.) et l'on ne doit pas oublier que cette formule n'a lieu sans restriction, que pour les seules valeurs entières de m. Si cet exposant est pair, on aurá sin.m.roo 20, et cos.m. 100°1, le signe ayant lieu quand m est multiple de 4; et le signe, quand il est simplement multiple de 2; donc alors la formule se réduit à Si, au contraire, m est impair, on aura le signe cos. m. 100° = 0, et sin. m. 100° 1, ayant lieu quand m est de la forme 4 z+1, et le signe, quand il est de la forme 4-15 par conséquent la formule devient : am.sia”.r=±(sin.mz-m.sin. (m2)x+ (sin m.m-I -$im,{t-4}z+-&c. )བ! Ces deux derniers résultats sont les formules connues qui donnent les puissances entières, paires ou impaires, des sinus, en séries de cosinus ou de sinus d'arcs multiples. Sur les équations du quatrième degré. Par M. BRET, professeur de mathématiques transcendantes, au Lycée de Grenoble. Je rappelle en peu de mots la méthode de la résolution des équations du quatrième degré, donnée par Lagrange aux leçons de l'Ecole Normale. On a x4+px2 +9x+r=0. On fait =y+z+ 'élevant au carré, on a somme des premières puissances = Sy. la somme des carrés + deux fois la somme des rec Je fais passer Sy' dans le premier membre, et j'élève de nouveau l'équation au carré, on obtient 'x4 — 2x2 Sy2 + (Sy3)2 = 4 Syo z2 + 8 y z i Sy; donc ̧x4—2×3 Sy? — 8 y z tx + ( Sy* )• — 4S (y2 z1) = 0. Comparant cette équation avec la proposée, on a p=—aSy',r= ($y* ) * — 4 S(y2 z3) ‚ q — — 8yzt, Sy• ————_ ‚ S(y• z3 ) = P3 ~ 4 r = 16 par conséquent, l'équation du troisième degré qui détermine 7,22,, est p2 — fr. u3 + 2 pu2 + (p2 — 4 r ) ■ — q2 =0, et représentant par u', u', u'', les racines de cette équation, on obtient d'où yuzu", t==;√u'". Or, les valeurs véritables de x, z,, doivent satisfaire aux équations p=2Sy2, r = Sy2 — 4 S ( y2 z2 ), q = — 8yst; donc on connoîtra les signes qui doivent affecter y, z,t, au moyen de l'équation 9-8 yzt. On trouve c'est-à-dire qu'il faut prendre le produituu"Vu"" de signe contraire à q. Il se présente maintenant trois cas à discuter; la réduite peut avoir deux racines négatives et une positive, trois racines positives, une racine positive et deux imaginaires. Dans le premier cas, soit B, les deux racines négatives, et y la racine positive, on a V-V-BV y = 9, ou a v B √ y = 9; donc les racines de l'équation du quatrième degré sont Les racines que l'on a données jusqu'à présent, sont pour q négatif, les mêmes racines prises avec le signe —. Donc ces formules sont en défaut dans toutes les équations du quatrième degré, dont les réduites auront deux racines négatives. Des Nombres figures; par M. BARRUEL, bibliothécaire de l'Ecole Polytechnique. Nous ne donnons ici la théorie de ces nombres, que pour faire voir que l'on peut trouver la loi de leur sommation d'une manière beaucoup plus abrégée qu'on ne le fait ordinairement; ensuite pour en montrer l'application à la loi des coefficiens du binôme, dont la démonstration devient par là plus simple, plus directe, et pour laquelle on n'a pas besoin de recourir aux combinaisons, qui n'y tiennent que d'une manière très-éloignée, et que d'ailleurs les commençans ont beaucoup de peine à bien concevoir. Nous verrons tout-à-l'heure que c'est dans l'observation seule de ce qui se passe en multipliant un binôme un certain nombre de fois par lui-même, que l'on doit chercher la démonstration de cette dernière loi. Avant de passer aux nombres figurés, posons d'abord les remarqués suivantes : Iero remarque. Soit la suite IX2, 2×3,3×4, 4×5: pour en prendre la somme, on pourroit employer la méthode des coefficiens indéterminés; mais cela ne fourniroit qu'un résultat isolé, dont on ne pourroit tirer aucune conséquence pour prendre la somme d'autres suites semblables, qu'il faudroit chercher de la même manière. Pour sommer donc cette suite, nous allons employer une autre méthode qui lie ces diverses sommes entre elles, et qui en fasse découvrir la foi. En effet, observons que l'on a Ainsi de suite. Donc, si le nombre des termes est n', le dernier terme sera n' (n+1), et par conséquent la somme S' donnera (x2 + 1 ) ( x' + 2) S'n' (n + 1) 3 (M). |