De là suit cette autre loi, que chacun des coefficiens A,B,C,D,E... est égal à la somme des coefficiens qui le précèdent immédiatement dans toutes les puissances inférieures à m. Or, cette loi n'est autre chose que celle des nombres figurés (*).

sont

En effet il est aisé de voir, d'après ce qui précède, que A est formé de la suite des nombres constans; que A, A', A", A""..... sont la suite des nombres naturels; que B, B', B", B'"'. la suite des nombres triangulaires; que C, C, C", C... sont la suite des nombres pyramidaux; que D, D', D", D'''..... sont la suite des nombres de l'ordre suivant, etc.

.....

Donc, 1°. le coefficient A est égal à l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever le binôme, c'est-à-dire que l'on a A = m.

+1=

2o. Puisque B=A' + A" + A"" + A". =(m-1)+(m−2)+(m−3) + (m −4)............+i, ce

Un simple coup-d'œil jeté sur ce tableau, fait reconnoître que les diago

nales ub, cd, ef, gh, ik, Im..

sances 1ere, 2o, 3.

....

......

du binôme.

sont les coefficiens des puis

Note de M. MONGE, examinateur de la marine.

coefficient B est la somme des nombres naturels dont le nombre des termes est m 1. Donc cette somme donne

il

3o. Puisque l'on a CB'+B" + B"" -- B1.......... + 1, est évident que ce coefficient C est la somme des nombres triangulaires, dont le nombre des termes est m 2. Par conséquent,

puisque cette somme est n'.

de n' on substitue m- 2

C=m.

2

on aura

M-1

m2

4°. Puisque l'on a D C+ C" + C'""' + C..........+1, il n'est pas moins clair que ce coefficient D est la somme des nombres pyramidaux dont le nombre des termes est m-3. Par n"+1 n"+2 n"+3

conséquent, puisque cette somme est n". 2

à la place de n!! on substitue m-3, il viendra,

4

si

5°. Puisque l'on auroit de même E-D'+D"+D"+D1ˇ.....+I, on voit que ce coefficient E est la somme des nombres qui suivent les nombres pyramidaux, et que cette somme a pour nombre de termes m-4. Par conséquent, puisque cette même 72"" + I 72"+2 n +3 72!!! +4 somme est n"!!.

2

3

si à la place de n"", on substitue m

ainsi de suite. D'où résulte cette règle connue : Pour trouver le coefficient d'un terme quelconque, multipliez celui du terme et divisez précédent par l'exposant de x dans le même terme, le produit par le nombre des termes qui précèdent le terme que vous cherchez.

Démonstration des théorêmes sur la courbure des surfaces, énoncés page 86 du 2° volume de la Correspondance.

Par M. DESJARDINS, élève de l'Administration des Poudres et Salpêtres.

Avant de commencer la démonstration de ces théorêmes je vais examiner ce qui a lieu quand des surfaces se touchent.

Lorsque deux surfaces se coupent suivant courbes, en cherchant les équations des projections de leur intersection, il arrive qu'une au moins de ces trois équations est décomposable en n facteurs (*) particuliers; chacun de ces facteurs étant l'équation de la projection de l'une des z courbes. Si l'on suppose que deux de ces n courbes se réduisent à une seule, les facteurs qui les représentoient deviendront égaux, et parmi les z facteurs il y en aura n-2 différens, et un dernier qui sera élevé au carré. Les surfaces se toucheront alors suivant une courbe, et se couperont suivant les 2-2 autres ; si trois facteurs deviennent égaux, auquel cas trois courbes se réduisent à une seule, les deux surfaces ont un contact du deuxième ordre suivant cette courbe, et se coupent suivant les n-3 courbes restantes. L'équation de la projection est alors décomposable en n-3 facteurs différens, et en un autre qui est élevé au cube; et ainsi de suite. Si enfin ces n courbes se réduisent à une seule, les n facteurs deviennent égaux, et l'équation de la projection est la zième puissance de l'un d'eux. Les deux surfaces ont un contact du (n-1)ième ordre.

Par conséquent, si nous prenons deux surfaces ayant un contact du (n-1)ième ordre suivant une courbe, et pouvant se couper suivant plusieurs autres, une au moins des trois équations des projections de leur intersection, contiendra en facteur, la puissance nième de l'équation de la projection sur le plan que l'on considère, de la courbe suivant laquelle elles ont ce contact. L'autre facteur contiendra le produit des équations des projections sur ce même plan de chacune des courbes suivant lesquelles ces surfaces peuvent encore se couper.

(*) Je dis une au moins, parce qu'il peut arriver que ces n courbes soient placées de telle sorte que leurs projections sur deux des plans coordonnés se réduisent à une courbe unique; mais alors il y aura n courbes différentes sur le troisième plan coordonné.

Ainsi, si les équations de ces surfaces sont mises sous la forme

le plan des xy, par exemple, devant satisfaire à la condition énoncée, la projection de leur intersection sur ce plan sera

F(x,y)—f(x,y) = 0;

et si ces surfaces ont un contact du (n-1) ième ordre, on devra avoir

F(x,y) − f(x,y)=4(x,y)" ↓ (x,y) = 0 ;

(x,y)o sera l'équation de la projection horizontale de la courbé de contact, et (x,y) = o sera le produit des équations des projections des autres courbes d'intersection.

Réciproquement, si les fonctions Fet fsatisfont à cette condition, les deux surfaces auront un contact du (2-1) iène ordre suivant une courbe (*).

PREMIER THEOREM E.

Si deux surfaces ont un contact de l'ordre (n-1) suivant une courbe, et si par la tangente en un point quelconque de cette courbe, on mène un plan quelconque, ce plan coupera les deux surfaces suivant deux courbes, qui auront un contact de l'ordre n au point que l'on a pris sur la courbe de contact des deux surfaces.

Soient z= F(x,y), z = f(x,y), les équations des deux surfaces; la projection de leur intersection sur le plan horizontal

sera

F(x,y)—f(x,y) = 0 ;

et si (x,y)o est l'équation de la projection de la courbe suivant laquelle elles ont un contact de l'ordre (n − 1), on aura, d'après ce qui a été dit,

F(x,y) − f(x,y) = ¢(x,y)′′ ↓ (x,y)=0.

(*) La vérité de cette réciproque est incontestable.

La projection horizontale de la tangente à la courbe de contact en un point quelconque x'y', a pour équation

Les deux surfaces étant situées arbitrairement par rapport au plan des xy, je puis prendre pour plan quelconque, passant par la tangente, le plan qui projette cette tangente, sans rien particulariser.

Cherchant la projection sur le plan des zx, de l'intersection du plan qui projette la tangente, avec les deux surfaces, j'ai

Voyons maintenant si ces coefficiens différentiels deviennent égaux chacun à chacun, au point x! y'; pour cela j'observe que l'on a

F(x,y)—f(x,y) = 4 ( x,y)" + (x,y)