Le problême est donc complètement résolu : j'observerai cependant que la valeur de P seroit plus simple, si on la rendoit fonction de la latitude L': en effet, dans le triangle spherique P M M', fig. 2, on a évidemment

J'ai fait voir ailleurs comment on obtenoit ces séries par le moyen du théorême de Taylor; mais j'ai voulu parvenir ici au même but, à l'aide d'une méthode absolument élémentaire, afin de suppléer à ce qui manque dans tous les traités de trigono

métrie.

Pour appliquer réellement le calcul numérique à ces formules, il est nécessaire d'y écrire au lieu de , r étant le rayon de

la terre. De plus, pour avoir L L, V'Vet P en secondes de degrés décimaux, on doit multiplier tous les termes en 4`, 2000000" , représentant la demi-circonférence d'un

par

cercle dont le rayon = 1.

Il faut pourtant prévenir que, dans la pratique de la géod'ésie, l'on rejette des formules précédentes tous les termes qui s ont multipliés par la troisième puissance du côté o, vu sa petitesse; mais qu'il est nécessaire, pour plus d'exactitude, d'introduire dans la formule par laquelle on calcule la latitude, les

termes dépendans de l'excentricité de la terre, dont la surface, abstraction faite de ses inégalités, est sensiblement celle d'un sphéroïde de révolution aplati aux pôles, et de remplacer r par le rayon de courbure de l'arc ; cela nous engageroit dans des détails et des théories qu'il n'appartient pas de donner ici.

Formule générale pour déterminer l'aire d'un polygone rectiligne quelconque.

Dans la plupart des nouveaux traités de géométrie analytique, on donne l'expression de l'aire d'un triangle rectiligne, en fonction des coordonnées des sommets de ses angles : rien n'est plus facile que d'en obtenir une semblable pour un polygone d'un nombre de côtés; la voici:

les coordonnées rectangulaires des sommets des angles d'un polygone rectiligne quelconque, et l'aire de sa surface; on aura S = { [(Y‚—yn)x,+(y 3−Y1)x,+(Y4—Y2)x3+(Y5−X 3)x4..... +(y1-yn-1)xn]

Note sur les propriétés de la Projection stéréographique. Par M. HACHETTE.

Le centre et le rayon d'une sphère étant donnés, on obtient la projection stéréographique d'une ligne quelconque, tracée sur la surface de la sphère, en considérant un point déterminé de cette surface, comme le sommet d'un cône qui a pour base la ligne qu'il s'agit de projeter; la projection de cette ligne résulte de l'intersection du cône, et d'un plan mené par le centre de la sphère, perpendiculairement au rayon qui correspond au sommet de ce cône.

On a vu (page 76 du 1er volume de la Correspondance que la projection stéréographique jouit de ces deux propriétés 1°. Que tous les cercles de la sphère se projettent suivant d'autres cercles,

2°. Que deux sections quelconques se coupent toujours sous le même angle que leurs projections; d'où il résulte que toute figure peu étendue en tous sens sur la sphère, est représentée par une figure semblable sur le plan de projection.

En démontrant synthétiquement ces deux propositions (page 363 du 1er. vol. de la Correspondance), je me suis servi des expressions usitées, section sous-contraire section anti-paratlèle, pour distinguer les sections paralleles aux deux systêmes de plans qui coupent un cône oblique suivant des cercles; on s'exprimeroit plus correctement, en nommant la section circulaire d'un cône oblique, et la section sous-contraire, les sections du cône oblique par une même sphère, ou par toute autre surface du second degré.

Le cône oblique étant ce que devient un hyperboloide elliptique, dont la section principale elliptique se réduit à un point et ayant démontré dans notre traité des surfaces du 2o. degré, que cette dernière surface peut être engendrée par un cercle de deux manières différentes, cette double génération par le cercle s'applique également au cône oblique. On arrive à la même conclusion par la considération suivante: deux surfaces du 2. degré qui se pénètrent, se coupent suivant une ligne dont les projections sont en général des courbes du 4°. degré; mais dans quelques cas particuliers, les équations de ces deux surfaces sont équivalentes à deux équations du second degré entre trois variables, dont l'une se décompose en deux facteurs du premier degré. Lorsque cette décomposition a lieu, les facteurs du 1° degré sont les équations des plans qui contiennent les deux courbes du second degré, qu'on obtient par l'intersection des deux surfaces. L'une de ces courbes étant plane, l'autre l'est nécessairement. D'où il suit qu'un cône qui a pour base un cercle d'une sphère, coupe cette même sphère suivant un autre cercle, quel que soit le sommet du cône. Il suit de cette dernière proposition; qu'on doit considérer les deux sections circulaires d'un cône oblique, situées dans des plans non parallèles, comme la ligne d'intersection du cône et de la sphère qui passent par ces deux

sections.

En démontrant (page citée, 363) la seconde propriété de la projection stéréographique, j'ai supposé qu'on s'aideroit d'une figure que je n'ai pas tracée; il m'a paru que la démonstration deviendroit plus claire, en y ajoutant la figure que je vais expliquer.

Ayant mené par le point commun à deux sections de la sphère, une tangente à chacune d'elles, et projetant l'angle des deux tangentes par des droites concourantes au point A d'une sphère

(fig. 4), il s'agit de faire voir que la projection de cet angle sur un plan de grand cercle de la sphère, perpendiculaire au rayon AC, ne differe pas de l'angle projeté. Soit AE la droite d'intersection des plans menés par le point et par chacune des tangentes. L'angle des tangentes est dans un plan LM, tangent à la sphère, et perpendiculaire au rayon ĈE; et la projection de cet angle est dans le plan HG, perpendiculaire au rayon AC. Or le plan HG, ou un parallèle h Eg, et le plan LM font avec la droite AE des angles égaux, et ils sont perpendiculaires à un même plan ACE passant par cette droite; d'où il suit qu'ils coupent les plans menés par le point A et par deux tangentes, suivant des angles égaux.

les

En effet, considérant l'intersection AE (fig. 5) de ces plans sur un plan vertical AME, soit BAC l'angle de ces mêmes plans sur le plan horizontal AMBC; si on les suppose coupés par deux autres plans EM, Eh, qui font avec la droite AE des angles égaux AEM, AEh, et qui sont perpendiculaires à un plan passant par cette droite, on peut démontrer que les sections angulaires seront égales. L'angle contenu dans le plan EMBC, a pour projection horizontale BAC, et pour projection verticale EM; il est opposé au côté BC du triangle qui a aussi pour projections BAC et EM. Si par le point A distant du point E de EA' EA, on mène un plan horizontal 'g, ce plan coupera le plan Ehg suivant une horizontale g, et la portion de cette horizontale comprise entre les côtés de l'angle contenu dans le plan h Eg est évidemment égale à BC; donc le second angle qui a la même projection horizontale ABC que le premier, est opposé au côté BC d'un triangle qui se projette verticalement en Eg=EM. Ce second triangle est évidemment égal à celui qui se projette en BAC et EM, donc les angles de ces deux triangles, opposés à l'horizontale qui se projette en BC et en M pour l'un, en BC et en g pour l'autre, sont égaux. Donc fig. (4), l'angle des deux tangentes contenues dans le plan EM, et l'angle de sa projection stéréographique sur le plan HG ou Bon parallèle hg, sont égaux.

C. D. F. D.

Solution analytique du probléme(*) énoncé pag. 57 du 2° cahier du 20% volume de la Correspondance.

Par M. HACHETTE.

Soient ET(fig. 6)la longitude donnée, TM la projection de l'axe dela terre sur l'écliptique, PTM l'angle de cet axe avec le plan de l'écliptique, construit dans le plan vertical du triangle PTM qui coupe le plan vertical TN du cercle de séparation du jour et de la nuit suivant une verticale TQ; ayant projeté l'axe de la terre sur le plan vertical TN, cet axe, sa projection et la verticale TQ forment un triangle spherique, dans lequel on connoît l'angle NTM et les deux côtés adjacens à cet angle, formés par la verticale QT, l'axe TP, et la projection de cet axe TP sur le plan vertical TN.

Nommant I l'angle de l'axe de la terre avec le plan de l'écliptique, L la longitude ET du soleil, et prenant le rayon ST de l'écliptique pour le rayon des tables, l'angle QTP= — E = 90° — 1 ; l'angle NTM- L

Ayant abaissé du point M la perpendiculaire MN sur TN, et ramenant le point N en N' par un arc de cercle, si par le point N'on élève la perpendiculaire N' P' égale à MP, QTP' sera l'angle que la verticale TQ fait avec la projection de l'axe de la terre sur le plan TN; on a démontré, pag. 57 du 2o cahier de ce volume, que les angles QTP, QTP, sont les faces adjacentes à un angle MTN d'une pyramide, dont la troisième face est le complément de la latitude du parallèle demandé; cette troisième face se calcule par la formule

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos ▲,

a, b, c, étant les trois faces de la pyramide, et ▲ l'angle opposé à la face à.

(*) Probleme. Etant donnée la position de l'axe de la terre pour un jour de l'année, trouver le parallèle à l'équateur qui, pour cette époque, est la limite des parallèles qui sont tout entiers dans l'hémisphère éclairé par le soleil, du tout entiers dans l'ombre de cet astre.