l'équation (11), qui, dans le cas de Ro, peut être mise sous la forme

(B'u — Bt) (B Bꞌꞌ u + B' B' t + B B')=0.

d'où, substituant dans l'équation (9)

[2B' B" (A—4')+B (B'''—B'2 ) ]u=0,

équation qui a pour valeur uo; d'où l'on déduit

B
B

Mais ce systême de valeurs est étranger; car, en le substituant dans l'équation (10), on reconnoît qu'elle n'est pas satisfaite. Ce systême étranger provient de la manière dont l'équation (11) a été formée avec les équations (9) et (10).

2o. Soit Qo, il en résulte

u=o...... RBu2+[2 R ( A—A!)—PB']+PB'!— RB=0,

équation à laquelle on parviendroit facilement (n° 4), en observant que l'équation (10) peut, dans le cas de Q=0, être mise sous la forme

(Bt — B') (B 'B'' u + B' B'' ¿ + BB') = 0.

3. Soit Po, il en résulte

2 Bu3+[2R (A—A') + QB ] u2+ [2 Q (A—A') — RB]u—QB=0,

BB' u3+ [2 B' (A—A') — BB"] u3-[2 B''(A-A')+BB'] u+BB".

Cette équation peut se mettre sous la forme

Bu2 (B'u - B'')+ 2 ( A—A') u ( B'u - B'') -B (B' u — B'' ) = o ;

Et en effet, d'après la condition Po, l'équation (9) peut (n. 3) se mettre sous la forme

(B'u — B") (BB" u + B' B'' t + B B')=0,

équation qui est satisfaite en posant B'u-B"

0.

4°. Enfin supposons que l'on ait à-la-fois P = 0; Q=0;R=0, l'équation en u se réduit à oo, et u reste entièrement indéterminé.

Cette indétermination tient, comme nous l'avons déjà vu, à l'existence d'un facteur commun entre les équations (9), (10) et (11).

GÉOMÉTRIE.

Sur les Polyèdres, par M. CAUCHY, aspirant ingénieur des Ponts et Chaussées.

Euler a déterminé le premier, dans les Mémoires de Pétersbourg, année 1758, la relation qui existe entre le nombre des différens élémens qui constituent un polyèdre quelconque pris à volonté. Le théorême qui exprime cette relation n'est qu'un cas particulier d'un autre théorême plus général, dont voici l'énoncé :

THÉORÊME.

Si l'on décompose un polyèdre en tant d'autres que l'on voudra, en prenant à volonté dans l'intérieur de nouveaux

sommets; que l'on représente par P le nombre des nouveaux polyèdres ainsi formés, par S le nombre total des sommets y compris ceux du premier polyèdre, par H le nombre total des faces, et par A le nombre total des arêtes, on aura

S+H=4+P+I,.

c'est-à-dire, que la somme faite du nombre des sommets et de celui des faces surpassera d'une unité la somme faite du nombre des arêtes et de celui des polyèdres.

Démonstration.

Décomposons tous les polyèdres en pyramides triangulaires, en faisant passer par les arêtes ou diagonales des faces de chaque polyèdre et les sommets situés hors de ces faces, des plans diagonaux. Toutes les faces se trouveront décomposées en triangles. Soient m le nombre des plans diagonaux, et n le nombre des diagonales formées par les intersections des plans diagonaux, soit entr'eux, soit avec les anciennes faces, le nombre des faces tant anciennes que nouvelles sera H + m; et le nombre des triangles dans lesquels chaque face se trouve partagée étant égal au nombre des diagonales formées sur cette face, augmenté de

l'unité, le nombre total des triangles qui forment les faces des pyramides sera égal au nombre total des diagonales augmenté du nombre total des faces,

Le nombre des pyramides sera égal à celui des polyèdres, plus au nombre des plans diagonaux,

Le nombre des arêtes des pyramides sera égal à celui des anciennes arêtes, plus au nombre total des diagonales,

Enfin, le nombre des sommets des pyramides sera toujours égal

Supposons maintenant que l'on enlève successivement du polyèdre total les diverses pyramides triangulaires qui le composent, de manière à n'en laisser subsister à la fin qu'une seule, en commençant par celles qui ont des triangles sur la surface extérieure du premier polyèdre, et n'enlevant dans la suite que celles dont une ou plusieurs faces auront été découvertes par des suppressions antérieures. Chaque pyramide que l'on enlevera aura une, deux, ou trois faces découvertes. Soit p' le nombre des pyramides qui ont une face découverte au moment où on les enlève, p" le nombre des pyramides qui ont alors deux faces découvertes, et p" le nombre de celles qui ont alors trois faces découvertes. La destruction de chaque pyramide sera suivie, dans le premier cas, de la destruction d'une face; dans le second cas, de la destruction de deux faces et de l'arête commune à ces deux faces; dans le troisième cas, de la destruction d'un sommet, de trois faces, et de trois arêtes. Il suit de là qu'au moment où l'on aura détruit toutes les pyramides, à l'exception d'une seule,

Le nombre des sommets restans pourra donc être représenté par

H+m+n—(p' +2p" +3p"") =4,

celui des arêtes restantes, par

A+n- ·(pll +3p")

0

= 6.

Si l'on ajoute la première équation à la troisième, on aura

S+H+m+n~ (p' + 2 p" +4 p" ) = 8

si l'on ajoute la deuxième à la quatrième, on aura

A+P+m+n—(p'+2p" +4p"!! )=7.

Si l'on retranche l'une de l'autre les deux équations précédentes, on aura

Ou

S+HA-P=I,

S+H=A+P+I.

Corollaire I.

Si l'on suppose que tous les sommets intérieurs soient détruits, il n'y aura plus qu'un seul polyèdre. Il faudra faire alors P=1, et l'on aura

S+H=1+2,

ce qui est le théorême d'Euler.

Corollaire 2.

Si l'on considère une figure plane composée de plusieurs polygones renfermés dans un contour donné, il faudra faire dans la formule générale Po, et l'on aura alors

S+H=A+I,

d'où l'on conclut que la somme faite du nombre des polygones et du nombre des sommets surpasse d'une unité le nombre des droites qui forment les côtés de ces mêmes polygones.

Nota. Dans un Mémoire sur les Polyèdres,imprimé X.Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, M. Poinsot a démontré