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PROPRIÉTÉS DES CENTRES DE GRAVITÉ.

Par M. BLONDAT, élève.

Soit a b c, fig. 2, pl. 4,

fig. 2, pl. 4, un triangle situé d'une manière quelconque, par rapport à un plan a' b c d'... ou (x, y).

On sait que la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de son aire est donnée par l'équation

aa' + bb' + cc

3 On sait aussi que le volume du prisme triangulaire abc al b'd! est donné par l'équation

aa' + bb! .fo CC

alld;

3 donc

V = a b c! en sorte que le volume du prisme abc a'l'c' est équivalent au produit de sa base par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de sa face supérieure.

=(

p

Conclusions.

1'. Ce théorème est général et a lieu, quel que soit le polya gone supérieur, pourvu qu'il soit plan,

En effet, la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité étant P, et pi p', pl.... étant celles correspondantes aux triangles a bc, acd,. On a l'équation :

P(abc + acd + ....)=p.abc + p' acd +...... la multipliant par cosa,[a étant l'angle du plan du polygone supérieur avec le plan (x, y)], elle devient P(abc.cosa tacd.cos a t...)=p. abc.cos a +p'.acd.cosa t... ou 'en remplaçant abc . cos a par la projection a'll d', etc, ilen résulte Pla' b'd' ta'd' d' + ...)=p.a'b'c! +p'a'c' d' + ....

Or, p.a!.6 c est, d'après la remarque précédente, le volume du prisme abc a' b'c', ainsi des autres ; donc le volume du prisme total= P(a'b'c'd'e'...)= la base du prisme par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité du polygone supérieur.

2°. Ce théoréme ayant lieu, quel que soit le nombre des côtés du polygone, a encore lieu lorsque ce polygone dégénère en courbe.

3o. Ces remarques ne fournissent, à la vérité, une expression du volume des cylindres, qu'autant que leur base est perpendiculaire à leurs arêtes ; mais on peut aussi en déduire une expression fort simple, lorsque cette base est inclinée d'une manière quelconque.

Je démontrerai d'abord que si l'on fait une suite de sections dans un cylindre , ces sections faisant entre elles des angles quelconques, leurs centres de gravité se trouvent sur une même ligue droite.

Fig. (15). Considérons un prisme quelconque (car il suffit de démontrer cette propriété pour les prismes).

Prenons pour plan(x, y ) un plan qui lui soit perpendiculaire. Soit (a' b'c' d'e'....) sa section par ce plan; la distance du centre de gravité au plan (y, z) sera dounée par l'équation

(a' b'c') x! + a'd' d'.." +...
a' b'c'

ta'c' di t.. La distance du centre de gravité de la section abcd e..., au même plan, sera donnée par

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Or, a=X', car la distance, des centres des triangles a' b'd', abc au plan des (y , z) est évidemment la même. On voit de même que

x! X".....

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a étant l'angle du plan du polygone supérieur avec le plan (x,y), donc

a'b'c! alc' d' abc Xtacd X" +...

.30! + Xabc tacd t... a'b'c' a'c'd

to..

och to...

COS a

COS u

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COS

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Donc les distances des centres de gravité des deux sections au plan (y, z) sont égales ; donc ces centres se trouvent dans un même plan parallèle au plan ( y, z). On démontreroit de la même manière qu'ils sont aussi dans un même plan parallèle au plan des (3,2).

Ces deux centres se trouvent donc dans une même ligne parallèle à l'axe des z.

Revenons maintenant à nos cylindres.

Soient A et B les deux sections d'un cylindre, ou autrement ses deux faces, soit C la section par un plan perpendiculaire à ses arêtes. On voit bien évidemment, d'après ce que j'ai démontré,

la ligne qui joint le centre de gravité A, et celui de B, étant représentée par l , l'expression du volume du cylindre sera

que

V=l.C, ou =1.A . cosa,

ou=1.B. cos b,

puisque C= A cos a=B.cos b, a et b étant les angles du plan de À et de B avec celui de C.

4°. Soient PCQ, PBQ, fig. 3, pl. 4, deux courbes égales, dont les centres de gravité soient Bl et C, et dont les plans qui se coupent suivant PQ, forment un angle BAC = a.

Le volume compris entre ces faces, et la surface cylindrique PBCQ, engendrée par une ligne de direction perpendiculaire à PQ, qui glisseroit sur les deux courbes, sera

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puisque B' C A étant un triangle isocèle,

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BIC=2.A C. sin

ou en faisant

AC=r, PBQ=S,V=S.r.sin sa

50. Maintenant considérons la surface dont les sections, par une suite de plans parallèles, présentent des polygones réguliers semblables , ayant leurs côtés parallèles et leurs centres sur une même droite perpendiculaire aux plans sécans ; les surfaces de révolution en sont des cas particuliers. Leur volume se composant d'an nombre de solides semblables à ceux que nous venous d'examiner (4°), égal au nombre des côtés du polygone, on a

V=m..sin .S, (m étant le nombre des côtés du polygone,) ou puisque ma 2 + étant la circonférence dont le

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sin a

6'. Si la surface est de révolution, le nombre des côtés est infini; l'angle « est égal à zéro, et la formule V=2.7.r.S. devient

V=2.7.1.S; ce qui démontre le théorême de Guldin d'une manière directe.

7o. Si le plan d'une courbe se meut normalement à une courbe quelconque, le volume engendré par l'aire de cette courbe a pour expression

V=A.S, (A étant l'aire de la courbe mobile, Sétant la courbe décrite par le centre de gravité de cette aire).

En effet, le volume compris entre deux positions voisines de l'aire de la courbe mobile peut être considéré comme celui d'un cylindre dont les arêtes sont perpendiculaires au plan de cette aire.

La somme des élémens successifs du volume, ou le volume lui-même, est donc

A(1+14+2" + .... ), I étant la ligne qui joint les centres de gravité de deux positions voisines de l'aire mobile; 1) étant Or 1+1! + 1" t. forment la courbe décrite par le centre de gravité; donc, etc.

Ce théorême comprend aussi les surfaces de révolution, puisqu'elles sont engendrées par une courbe dont le plan se meut normalement à un cercle.

PROBLEMES DE GÉOMÉTRIE (*).

Io. Mener un cercle tangent à trois cercles donnés ?

2°. Par un point donné dans le plan d'un parallelogramme mener avec la règle un parallèle à une droite située dans co plan?

Le premier problême peut se ramener à celui-ci : Mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés, en diminuant ou augmentant le rayon du cercle cherché du rayon

du plus petit des trois cercles, suivant qu'il doit toucher ce dernier cercle extérieurement ou intérieurement, ce qui revient à augmenter ou diminuer également les rayons des deux autres cercles d'après la nature de leur point de contact. Je vais d'abord démontrer la proposition suivante sur

laquelle se fonde la solution du problême dont il est question : Si par le point 0, fig. 4, pl. 4, où se coupent les tangentes extérieures communes aux cercles Xet Y, et par le point A où doit passer le cercle tangent à ces deux cercles, on mène une droite A0, que l'on fasse passer ensuite par le point o une sécante quelconque OT, qui

les cercles X et Y intérieurement en T et T" ; qu'enfin par ces deux points T et Tl et par le point A on fasse passer un cercle, cette circonférence de cercle coupera AO en un point B qui sera le même, quelle que soit la sécante OT,

En effet, OB et O T étant les sécantes d'un même cercle ABT,

1

vient couper

on a :

AOX OB=OT XOT'. Mais si l'on mène une nouvelle sécante Ot, on a aussi ( voyez la page 20 du 1 er vol. de la Correspondance),

'OT XOT' = 0[ X Oti donc 40 X OB=0XON

(1). Il est évident, d'après cette dernière équation (1), que les quatre points T, T'; A et B sont placés sur une même circonférence de cercle.

(*) Les solutions des deux problê mes suivans m'ont été communiquées pat: M. Poncelet, admis cette année dans le génie militaire.

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