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Il est démontré aussi dans l'article cité, que tout cercle tangent aux cercles X et Y, a ses deux points de contact placés sur une droite qui passe par le point 0, dans les deux cas où il laisse entièrement hors de sa circonférence, ou qu'il renferme à-la-fois les deux cercles X et Y. Il suit de là et de ce que j'ai démontré plus haut, que le cercle tangent aux cercles X et Y, et qui passe par le point A, passe aussi par

le point B. Ainsi le problême dont il s'agit se trouve ramené à celui-ci : Par deux points A et B, mener un cercle qui touche le cercle X ou Y.

Comme ce dernier problême est susceptible de deux solutions, il est bon de faire voir que celle qui correspond au cas où le cercle est touché extérieurement, appartient aussi au cercle qui, passant par le point A , toucheroit extérieurement les cercles X et Y.

Pour le démontrer, il suffit de faire voir que tout cercle passant par le point A et par deux points p et p', où une sécante quelconque 0 t vient couper extérieurement les cercles X et Y, passera aussi par le même point B; car alors le cercle qui passe par le point A , et qui touche extérieurement les cercles X et Ť, ayant ses points de contact dans la direction du point 0, passera évidemment par les points A et B. Or, on voit sans peine (*) que OT XOTI= Op X Op'; donc, d'après l'équation (1),

Op X Op' = AOX OB. Cette équation prouve que les points A , B, p,p', sont placés sur la même circonférence de cercle.

Voici maintenant comment on achevera la solution du problême : Ayant tracé le cercle ATT', ainsi que je l'ai dit, on menera la corde l T qui coupera A o en un point P. Par ce point on menera les tangentes , Pm!, an cercle X; et les points m et ml de contact seront les points de tangence des cercles cherchés, dont l'un touche intérieurement, et l'autre extérieurement, le cercle X. En effet, on a

Pm=PLX PT;

PlX PT = PB X PA; donc

Pm' = PB X PA. Cette dernière équation prouve évidemment que le cercle qui

or

(*) Il suffit de comparer chacun des produits OTXOT), Op X Op', au produit qu'on obtiendroit pour la tangente commune aux cercles X et Y.

passeroit par les trois points A , B et m, seroit touché par la droite Pm en m. On conclut aussi de la même équation , P m' étant égal à Pm, que le cercle A B m', touche le cercle X en m'.

En considérant le point o', où se croisent les tangentes intérieures, communes aux cercles X et Y, on obtiendroit, par une construction semblable, deux autres solutions du probleme de mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés. On peut voir facilement, en examinant les différentes circonstances du contact, que ce dernier problême est susceptible de quatre solutions, et que par conséquent il se trouve entièrement résolu par ce que j'ai dit.

Voici une proposition analogue à celle que j'ai démontrée précédemment, et qui donne une solution simple du probleme de mener une sphère tangente à quatre sphères données.

Si par la droite qui joint les sommets des trois cônes circonscrits deux à deux à trois sphères, et par un point donné on mène un plan P; qu'ensuite par la même droite on mène un plan qui coupe les sphères ; que par le cercle tangent aux cercles d'intersection et par le point donné, on fasse passer la surface d'une sphère, cette surface coupera le plan P suivant un cercle qui restera le même, quelle que soit la section qu'on ait faite dans les sphères. On voit aisément que la sphère qui passe par le point donné , et qui est tangente aux trois sphères dont il s'agit, devra passer aussi par ce cercle; car celte sphère doit avoir ses points de contact placés sur un plan qui passe par la droite qui joint les trois sommets des cônes.

Solution du second problême ( voyez no. 8 du 1° volume

de la Correspondance , pag. 305.)

« Par un point d, fig. 5, pl. 5, donné dans le plan d'un parallelogramine BCDE, mener avec la règle une parallèle à la droite MN située dans ce plan. »

Prolongez les côtés B E et D E jusqu'à leur rencontre avec M N ; par ces points de rencontre et par un point quelconque K de la diagonale EC, menez les droites K G et KH qui viennent couper les deux autres côtés du parallelogramme respectivement en G et en H; menez la droite GH qui sera parallèle à M N. On achevera ensuite la solution, d'après ce qui à été dit dans le n'. 8 du premier volume de la Correspondance, où il s'agissoit de mener par un point donné une droite qui allât concourir avec deux droites données, sans employer le compas;

Il est démontré aussi dans l'article cité, 23 sont pas tangent aux cercles X et Y, a ses deux point sur une droite qui passe par le point

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1x qui tombe en ce même point, est pas isocèle. Donc, si l'on porte le est sur la parallèle au rayon incident, on réfléchi, on obtiendra sur ce rayon le

dont l'intersection avec une autre ligne lieu des pieds des perpendiculaires abaissées ne révolution par la droite qui joint le point lumi+) détermine le point brillant de la surface de révo

H. C.

MÉCANIQUE. Un ancien Elève, Directeur des Douanes à Foligno, département de Trasimène (M. Dubois-Aymé), se promenoit sur le bord de la mer; il aperçut à quelque distance une personne de

sa connoissance, et se mit à courir pour l'atteindre; son chien : qui s'étoit écarté, courut vers lui en décrivant une courbe dont

l'empreinte resta sur le sable. M. Dubois revenant sur ses pas , fut frappé de la régularité de cette courbe, et il. en chercha l'équation, en supposant 1°. que le chien se dirigeoit toujours vers le lieu que le maître venoit de quitter; 2o.

que

le maître parcouroit une ligne droite ; 3o. que les vitesses du maître et du chien étoient uniformes.

Prenant pour axe des y le chemin du maître, et pour axe des a la perpendiculaire abaissée du point de départ du chien sur l'axe des y, on trouve pour l'équation de la courbe,

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( 5)? (.*_*)

n

n+1

tang (pa dans laquelle n est le rapport des vitesses du chien et de son

car la solution convient aussi au cas où les deux droites sont parallèles, comme le sont les droites MN et G H.

Il resteroit à démontrer ce qui est supposé dans cette solution, savoir, que GH est parallèle à MN. Pour cela j'observe que le triangle MEK étant semblable au triangle CKH, et le triangle EKI au triangle CKG, on a la proportion

G C: CH::EI:ME.

De plus, les angles MEI, GCH, sont égaux ; donc les triangles MEI et GCH sont semblables, comme ayant un angle égal compris entre des côtés proportionnels

et la droite G H est parallèle à MN.

C. Q. F. D.

Sur le point brillant d'une surface de révolution.

M. Delavenne (élève admis cette année dans l'artillerie ) m'a remis une note sur la détermination du point brillant d'une surface de révolution. Il propose une modification à la solution que j'ai donnée page 303 du jer volume de la Correspondance. Il suppose qu'on ait

construit sur la surface de révolution la ligne qui est le lieu des pieds des perpendiculaires à ceite surface

, abaissées de tous les points de la droite qui joint le point lum. neux et l'oeil du spectateur. Les rayons de lumière réfléchis de tous les points de cette ligne courbe étant projetés sur un des plans de projection, M. Delavenne construit une courbe tangente à ces rayons de lumière projetés; et, par la projection de l'oeil sur le même plan, il mène une tangente à cette dernière courbe: cette tangente prolongée coupe la ligne des pieds des normales en un point qui est le point brillant demandé.

Quoique cette construction ne soit pas rigoureuse , puisqu'il faut mener une tangente à une courbe du genre des caustiques par un point donné hors de cette courbe , en faisant tourner une règle autour de ce point jusqu'à ce qu'elle touche la courbe; cependant elle est suffisante pour la pratique, parce qu'elle donne la position de la tangente et le point où cette tangente coupe une courbe connue, sans qu'on soit obligé de considérer le point où elle touche la caustique des rayons réfléchis.

Dans une seconde note, M. Delavenne détermine par une autre considération le point brillant d'une surface de révolution, dans l'hypothèse d'un point lumineux. Il conçoit par le point brillant la normale à la surface, et les rayons incident, réfléchi,

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