maître, l'angle de l'axe des y avec la droite qui réunit les points de départ du maître et du chien.

Cette courbe jouit de la propriété que les rayons de courbure sont proportionnels aux abscisses des points par lesquels on mène ces rayons.

ALGEBRE.

Résolution de deux Equations à deux inconnues; par M. LEFEBURE, Répétiteur-Adjoint à l'Ecole Polytechnique.

L'élimination, considérée sous le point de vue le plus général, offre des difficultés au-dessus de la puissance actuelle de l'algèbre. Mais il y a des cas fort étendus, pour lesquels on a une solution complette. L'on doit sur-tout remarquer celui des équations algébriques, où les inconnues ne sont liées que par les quatre premières opérations. De toutes les méthodes employées dans ce cas, celle des fonctions symétriques est la seule qui donne toutes les solutions de la question sans complication de racines étrangères. Celle qui emploie la marche du plus grand commun diviseur, et que l'on donne dans les élémens d'algèbre pour deux équations à deux inconnues, a l'inconvénient de conduire à une équation finale qui contient des racines étrangères. C'est pour cette raison que Paoli, dans ses élémens d'algèbre, ne fait qu'indiquer cette méthode, à laquelle j'ai donné depuis plusieurs années l'exactitude qui lui manquoit, à-peu-près de la manière qui suit.

La résolution de deux équations à deux inconnues se réduit toujours à celle de deux équations dont les premiers membres n'ont aucun facteur commun. Soient

Ces équations, dont x et y sont les inconnues; cherchons-en les solutions.

Supposons que xa, y = ß, soient des valeurs conjuguées qui satisfont à ces équations. Si l'on substitue au lieu de y A et B seront changés en deux polynômes A' et B', qui ne contiendront plus que x; et si l'on y fait xa, ils devront devenir nuls donc ils doivent avoir - a pour : diviseur commun. Réciproquement, si yẞ substituée dans A et B, acquérir à ces polynômes un diviseur x-a; y = Bet x - x formeront une solution des équations Ao, B=o. Donc toute valeur de y, habile à former une solution aux proposées,

fait

doit faire acquérir à leurs premiers membres un diviseur commun; et vice versâ, toute valeur de y qui fait acquérir un commun diviseur aux deux premiers membres, est habile à former une solution de ces deux équations (*).

Il est démontré que tout diviseur commun à deux polynômes doit diviser le reste de leur division, et que tout diviseur commun au diviseur et au reste d'une division, doit diviser le dividende (**). Ordonnons A et B par rapport à ; supposons que soit, par rapport à cette inconnue, d'un degré plus élevé que B; divisons A par B, et arrêtons l'opération au reste R, que l'on ne peut plus diviser sans prendre des fractions aut quotient. D'après le principe que nous venons de rappeler, il est évident que toute valeurs de y, qui fait acquérir un_facteur commun à A et B, doit le faire acquérir au reste R; et toute valeurs de y, qui fait acquérir à B et à R un diviseur commun, doit aussi le faire acquérir à A. Donc, A=0,B=0 ont les mêmes solutions que les équations B = 0, R = 0 (***). Supposons qu'en ne prenant au quotient que des termes entiers, on arrive à un reste R qui soit, en x, d'un degré moindre que B; B=0, R=0 peuvent être traitées à leur tour comme les proposées. Soit R' le reste de la division de B par R, on substituera Ro, R'o, aux dernières équations.

(*) Cette conséquence très simple est le principe fondamental de la théorie de l'abaissement des équations; et sans changer tout-à-fait cette dernière, l'on ne sauroit le supprimer des élémens.

(**) Cette proposition n'a plus de sens dès que le diviseur et le reste ne sont pas entiers. Ce n'est donc pas pour éviter les fractions, qu'on supprime ou qu'on introduit des facteurs dans la recherche du plus grand commun diviseur ; c'est par nécessité.

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(***) Il est facile de démontrer directement cette proposition. Désignons par le quotient de la division, l'on aura A➡BQ+R. D'où l'on conclut que toute solution de Ao, Bo, doit rendre Ro; et toute solution de Bo, et Ro, doit résoudre A=0.

On doit remarquer que cette conséquence seroit infirmée, si Q étoit

H
K'

fractionnaire de la forme En effet, l'on auroit alors

BH

K

+R.

Supposons que des valeurs de x et de y rendent 0,B=0, il pourroit

BH
K

deviendroit

-

et

se faire qu'elles rendissent aussi Ko; alors pourroit avoir une valeur finie ou infinie: donc on ne pourroit plus conclure R=0.

C'est de cette manière que j'ai d'abord démontré cette proposition pour rectifier la théorie de l'élimination; mais il est mieux de la tirer de la propriété qui fait trouver le plus grand commun diviseur, et de lier ainsi deux théories entr'elles.

Supposons que chaque division se fasse toujours avec les mêmes conditions que celle de A par B, la division de A par R' donnera un reste R", et les équations précédentes seront remplacées par

R'=0, R"0.

Par ce procédé on arrivera enfin à un reste indépendant de x. Soit R" ce reste, la résolution des équations proposées sera ramenée à celle des équations à une seule inconnue. En effet, elles ont les mêmes solutions que les précédentes; et pour résoudre celles-ci, il suffit de prendre toutes les valeurs de y que peut fournir Ro; et en substituant chacune d'elles successivement dans R'o, on déterminera les valeurs correspondantes de x.

Mais il n'arrivera que dans des cas particuliers,que l'on puisse faire les divisions successives sous les conditions précédemment énoncées ; c'est-à-dire, en ne prenant que des quotiens entiers, et poussant chaque division jusqu'à un reste, dont le premier terme contienne à un exposant moindre que le premier terme du diviseur. Tâchons de ramener tous les cas à celui-ci. Il suffit pour cela de supprimer dans le diviseur ou d'introduire au besoin. des facteurs dans le dividende. Dans la recherche du plus grand commun diviseur, ces opérations n'altèrent pas le résultat qu'on se propose d'obtenir; mais il n'en est pas ainsi dans la recherche qui nous occupe; il convient donc d'examiner les effets qu'elles doivent produire.

Reprenons les équations Ao, Bo que je suppose être les proposées, ou deux équations qui en ont pris la place. Supposons que la division de A par B ne puisse pas se faire en termes entiers; ce cas ne peut arriver que parce que le coefficient du premier terme de B contient des facteurs qui ne sont point dans le premier terme de A. Soit D le produit de ces facteurs, et supposons d'abord que D divise tous les termes de B, alors les équations Ao, Bo peuvent prendre la forme

A=0, B'D=0;

or, celles-ci peuvent se résoudre, soit en faisant A=0, B=0,

soit en faisant

A=0, D=0.

Donc, on pourra supprimer le facteur D dans le diviseur,

pourvu qu'on joigne aux solutions déterminées par la suite du calcul celles des deux dernières équations (*).

Supposons, en deuxième lieu, que D soit un facteur en y étranger au premier terme du dividende, et qui ne soit pas commun à tous les termes du diviseur : la division deviendra possible en termes entiers, en multipliant A par D. Mais alors aux équations A≈o, B= o, l'on substitue A D=0,B=0. Or, celles-ci sont satisfaites non seulement par les solutions de

A=0,B=0,

mais encore par celles de

D=0,B=0.

D'où l'on voit que la suite du calcul doit donner de trop les solutions des deux dernières équations; donc il faudra les supprimer.

Enfin, il pourroit arriver que parmi les facteurs du premier terme du diviseur qui empêchent la division de réussir, les uns fussent communs à tous les termes du diviseur, et que les autres ne le fussent point. Soit D le produit des premiers, et D' celui des seconds, il ne suffira pas, pour rendre la division possible, de supprimer D dans B; mais il faudra encore multiplier A par D'. La première opération supprime dans le calcul toutes les solutions de A≈0,D=0; donc il faudra les rétablir: au contraire, la deuxième introduit celles de D'o, Bo; donc il faudra les supprimer.

Concluons à présent qu'une marche tout-à-fait semblable à celle qui fait trouver le plus grand commun diviseur de deux polynomes, conduira enfin à deux restes, dont le dernier ne contiendra que y. Soient Z' et Z ces deux restes, les équations

donneront les solutions des proposées, abstraction faite de celles que l'on a introduites ou supprimées.

Pour déterminer ces dernières, nommons S, S', etc., les facteurs en y, supprimés pour rendre les divisions possibles sur les dividendes respectifs U, U', etc.; nommons I, I', etc., les facteurs que l'on a introduits pour rendre possibles les divi

(*) Il est bon de remarquer, en général, que si B peut se décomposer en facteurs B, B, etc., l'on pourra ramener la résolution de A0,B=0, à celle des systêmes d'équation A➡o, B' — 0 ; A — 0, B'—o; etc.

sions par les diviseurs V, V, etc. Il faut joindre aux solutions de Z'=0, Zo, celles des systémes d'équations

U=0,S=0; U' = 0, S' = 0; etc.;

et parmi toutes ces solutions réunies, supprimer celles des systêmes suivans:

V=0,I= 0; Vo, I'=0; etc.

Ce qui précède réduit toute la difficulté à la résolution de deux équations, dont la première est à une seule inconnue. Soient donc

M=0, N=0

deux semblables équations, M ne contenant que y. Pour les résoudre, il suffit de déduire de la première toutes les valeurs qu'elle donne pour y, et de les substituer dans la deuxième, qui fait alors connoître les valeurs de x correspondantes.

Si une de ces valeurs de y rendoit N égale à une quantité donnée, elle devroit être rejetée. Il est même facile de séparer de Mo cette sorte de racines, sans résoudre aucune équation. Nous ne nous y arrêtons pas.

Nous terminerons par faire remarquer que s'il étoit intéressant d'obtenir l'équation finale, c'est-à-dire celle qui contient toutes les valeurs de y, habiles à former des solutions aux équations proposées Ao, Bo, et qui n'en contient pas d'autres, l'opération n'auroit aucune difficulté: il suffit, pour y parvenir, d'effectuer des multiplications et des divisions.

Nous ne présentons pas de remarques sur le sujet que nous venons de traiter; celles qui méritent quelqu'attention s'offriront d'elles-mêmes.

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES DE PARIS.

On a proposé au dernier concours (de l'an 1810) les deux questions suivantes :

Mathématiques. L'hyperbole dont l'équation est

étant supposé faire une révolution autour de l'axe des x, trouver,