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1o. L'équation de la surface du solide engendré par cette révolution;

2°. Par un point quelconque pris sur cette surface et déterminé par les trois coordonnées f, g, (dont deux f, g, sont dirigées suivant les axes des x et y de l'hyperbole génératrice, et la troisième, est perpendiculaire à leur plan), faire passer une ligne droite qui soit située toute entière sur cette surface.

Pour satisfaire à la seconde partie, il faudra prouver qu'en effet une ligne droite peut être menée par le point donné, de manière que tous ses points se trouvent sur la surface de l'hyperboloïde dont il s'agit, et donner en même-temps les deux équations de cette droite.

(Voyez l'article hyperboloide de révolution, page 242 du Ir volume de la Correspondance).

Physique. Expliquer le phénomène produit par l'instrument électrique, appelé Bouteille de Leyde. On fera voir comment s'exercent les actions électriques qui conduisent la bouteille par degrés jusqu'au terme où elle est chargée à saturation.

On supposera que la décharge s'opère soit par des contacts alternatifs, soit d'une manière subite, et l'on exposera les effets qui ont lieu dans l'un et l'autre cas.

MM. Larabie et Lacave, élèves du Lycée Napoléon, tous deux admis cette année à l'Ecole Polytechnique, ont obtenu l'un le prix de mathématiques, et l'autre le prix de physique.

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De la double Réfraction de la Lumière, par M. HACHETTE.

La connoissance du phénomène de la double réfraction est due à Erasme Bartholin, Danois, auteur d'un Traité sur le Cristal d'Islande, imprimé à Copenhague en 1670. Huygens a, le premier, découvert la loi que suit la lumière en se réfractant dans ce cristal; l'hypothèse qui l'a conduit à cette découverte, l'accord parfait des principaux phénomènes de la double réfraction avec cette hypothèse, sont l'objet d'un Traité sur la Lumière, écrit en françois, et publié à La Haye en 1690.

En 1809, M. Laplace'a fait voir (*) que la loi de la réfraction découverte par Huygens étoit une conséquence du principe de moindre action. Ce principe, appliqué au mouvement de la lumière, se réduit à ce que la lumière parvient d'un point pris au-dehors d'un cristal, à un point pris dans l'intérieur de ce même cristal, par une route telle, que si on ajoute le produit de la droite que la lumière décrit au-dehors par sa vitesse primitive, par le produit de la droite qu'elle décrit au-dedans par sa vitesse correspondante, la somme soit un minimum ; ďoù il conclut que la réfraction ordinaire et la réfraction extraordinaire de la lumière dans le cristal d'Islande sont dues à des forces de même genre, attractives et répulsives, et dont l'action n'est sensible qu'à des distances insensibles.

De la Réfraction d'un rayon de lumière dans le cristal d'Islande.

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Le cristal d'Islande est de forme rhomboïde. Chaque face est un rhombe dont l'angle obtus est de 101° 55' (division en 360°). Deux des angles trièdes du rhomboïde sont composés des angles oblus de trois rhombes égaux, qui se réunissent aux sommets de ces angles. La droite qui joint ces deux sommets, est l'axe du cristal. On nomme section principale d'une face quelconque naturelle ou artificielle du cristal, la section faite dans ce cristal par un plan mené perpendiculairement à la face et parallèlement à l'axe du cristal.

Lorsqu'un rayon de lumière tombe sous un angle quelconque sur une face plane naturelle ou artificielle d'un cristal d'Islande, il se décompose en deux rayons réfractés; le premier de ces rayons est dans le plan incident, c'est-à-dire dans le plan mené par le rayon incident perpendiculairement à la face; le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction est constant pour ce rayon qu'on nomme par cette raison rayon ordinaire; ce rapport est, d'après les expériences, 1, 656.

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Pour déterminer la position du second rayon, ou du rayon extraordinaire, que l'on se représente un ellipsoïde de révolution, qui a son centre au point d'incidence du rayon de lu mière direct, et dont l'axe de révolution est parallèle à l'axe du cristal; le rayon extraordinaire se dirige nécessairement suivant un diamètre de l'ellipsoïde, donc, si par ce diamètre

(*) Voyez le nouveau Bulletin de la Société Philomatique, pag. 303 du er. volume.

et par l'axe de révolution, petit axe de l'ellipsoïde, on imagine l'ellipse génératrice, la direction du rayon extraordinaire se confond avec l'un des diamètres de cette ellipse. Nommant a et b les demi-axes de l'ellipsoïde ou de l'ellipse génératrice, on' démontre dans tous les traités de géométrie analytique, que V étant l'angle d'un diamètre de l'ellipse génératrice, avec le petit axe 2 b, on a pour l'expression d'un diamètre

Va2 — (a2

a b

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M. Laplace a prouvé par le principe de la moindre action, que la vitesse du rayon direct dans le vide étant l'unité, on pouvoit prendre pour la vitesse du rayon extraordinaire suivant un diametre de l'ellipsoide, une quantité égale à l'unité divisée par ce diamètre ; cette expression de la vitesse du rayon extraordinaire, qui s'accorde avec la loi d'Huygens, devient

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d'où il suit: 1o. que, lorsque le rayon extraordinaire se réfractera

1

dans le sens de l'axe du cristal, sa vitesse sera, puisque, dans

ce cas, `sin = 0; 2°. lorsque le rayon extraordinaire se réfractera perpendiculairement à l'axe du cristal, sa vitesse sera I puisqu'alors sin V≈ 1.

a

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Lorsque la face d'incidence est perpendiculaire à l'axe du cristal, et que le rayon direct est parallèle à cet axe, les rayons ordinaire et extraordinaire qui resultent de la double réfraction se confondent; ils sont tous deux dirigés suivant une parallèle à l'axe du cristal; mais dans ce cas la vitesse du rayon extraordinaire est, donc la vitesse du rayon ordinaire est la même;

Ъ

1

b

d'où il suit que b est le rapport de la vitesse 1 du rayon direct dans le vide à la vitesse du rayon ordinaire dans le cristal, donc best, ainsi qu'Huygens l'avoit déjà remarqué, le rapport des sinus d'incidence et de réfraction du rayon ordinaire; rapport qu'on a trouvé par expérience de 1,656.

La droite suivant laquelle la double réfraction se réduit à une réfraction simple, est une ligne très-remarquable dans les substances du genre du cristal d'Islande; on la nomme Axe de réfraction. Il paroît qu'en général cet axe est placé symétriquement par rapport aux faces des cristaux de forme primitive.

On détermine par une seconde expérience dont il sera question ci-après, la valeur du demi grand axe a de l'ellipsoïde.

Cela posé, quel que soit le rayon incident, pour trouver le rayon réfracté extraordinaire, on imaginera le plan d'incidence qui passe par le rayon direct et par une perpendiculaire à la face d'incidence; on menera dans ce plan et par le point d'incidence, une perpendiculaire au rayon direct; on placera dans l'angle de cette perpendiculaire et de sa projection sur la face d'incidence, une droite parallèle au rayon direct qui représente la vitesse de ce rayon dans le vide, et qu'on peut supposer égale à l'unité par le point où cette droite rencontre la projection du rayon direct, on élève une perpendiculaire au plan d'incidence; enfin par cette droite on mène un plan tangent à l'ellipsoïde de révolution, qui a un centre au point d'incidence, et dont on a déterminé les axes 2 a et 2 b. Le diamètre de l'ellipsoide qui passe par le point de contact est la droite suivant laquelle se dirige le rayon réfracté extraordinaire.

:

Cette construction géométrique est une conséquence de la loi d'Huygens.

On résout graphiquement la question relative au plan tangent à l'ellipsoide, par les méthodes connues de la géométrie descriptive. On voit cette solution, dessin 4, pl. 5.

Explication du dessin A, composé de trois figures, fig. 1a, fig. 1 b, fig. I c, pl. 5.

La fig. 1 a est une projection verticale faite parallèlement au plan d'incidence du rayon de lumière LI, tombant sur la face AC, naturelle ou artificielle, du cristal ABCD.

La fig. 1b est une projection horizontale faite parallèlement à la face d'incidence AC(fig. 1a), ABCD (fig. 1b).

MN (fig. 1b) étant la projection Horizontale de l'axe du cristal, la fig. 1 c est une projection verticale, parallèle au plan vertical passant par la projection horizontale de l'axe MN (fig. 1a, fig. 1b) du cristal.

SR (fig. 1a) étant la vitesse de la lumière dans le vide, IM, IP (fig. 1c) étant les demi-axes de l'ellipsoïde de révolution, il s'agit de trouver la direction du rayon extraordi naire, ou les projections Ia de ce rayon sur les plans fig. 1 a, fig. 1 b.

Du plan tangent à l'ellipsoide de révolution, mené par une droite donnée hors de cet ellipsoide.

Soient IR (fig. i a) une droite perpendiculaire au rayon de lumière IL, et SR une parallèle à ce rayon, dont la longueur comprise dans l'angle AIR représente la vitesse de la lumière dans le vide. Ayant élevé la perpendiculaire ST (fig. 1b) à 1AS, cette perpendiculaire est la droite par laquelle il s'agi

de mener le plan tangent à l'ellipsoïde dont le centre est en I. Le plan vertical MN, fig. 1b, coupe l'ellipsoïde de révolution suivant l'ellipse génératrice MNPQ (fig. I c), et la droite ST au point T, qui se projette en T' (fig. I c). On considère ce point comme le sommet d'un cône circonscrit à l'ellipsoide. Ce cône touche l'ellipsoïde suivant une ellipse projettée (fig. 1 c) suivant la droite UV, qui joint les points de contact de l'ellipse génératrice et des tangentes T'U, T'V. L'horizontale IT' (fig. 1c) divisant la droite UV en deux parties égales au point O, si on mène la parallèle Op à IP, qui coupe l'axe MN au point i, l'ordonnée OU' du cercle décrit du point i comme faite avec ip pour rayon, et la droite OU=OV seront les demi-axes principaux de l'ellipse, base du cône circonscrit. Le demi-axe dont la longueur est ÒU' est dirigé suivant la droite Ox (fig. 1b) parallèle à II', et coupe la droite ST au point X; or, le plan tangent demandé contiendra la tangente à la base du cône circonscrit, menée par le point X; donc si l'on fait tourner le plan de cette base autour de la droite Xx comme charnière, jusqu'à ce qu'elle soit appliquée sur le plan de la fig. 1b, xuO U' serà l'un des axes de cette base, et le cercle décrit du point x comme centre avec zu pour rayon, aura même sous-tangente que l'ellipse, base du cône. D'où il suit qu'en menant par le point X la tangente XY au cercle du rayon x 1, la tangente menée par le même point à l'ellipse, base du cône, touchera cette ellipse en un point dont la projection horizontale (fig. 1b) sera sur Y parallèle à MN. Projettant Yen Y' (fig. 1c) sur l'horizontale I' T', et ramenant le point en par un arc de cercle décrit du point I' comme centre avec I pour rayon; w et ' sont les deux projections (fig. 1 b, fig. 1c) des points où le plan tangent à l'ellipsoide de révolution mené par l'horizontale ST, touche cet ellipsoïde. La droite I (fig. 1a, fig. 1b) qui joint le point de contact et le centre de l'ellipsoïde, est la direction du rayon extraordinaire correspondant au rayon incident IL.

En appliquant ce calcul à cette construction, on détermineroit les angles du rayon extraordinaire avec les plans de la section principale du cristal et de la face d'incidence; mais pour simplifier ce calcul, nous considérerons un rayon direct dans le plan de la section principale, rayon qui se réfracte extraordinairement dans ce même plan suivant un diamètre d de l'ellipsoïde.

On a, d'après les propriétés des sections coniques,

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mètre d avec l'axe de révolution 2 b, et si on nomme d' le diamètre conjugué de d,

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