divisera chaque tranche en deux parties égales, parce qu'il passera par les milieux des côtés de cette tranche, parallèles à l'arête opposée; il passera donc par le centre de gravité de chacune des tranches. Par la même raison, si par la seconde arête et par le milieu de la première on mène un second plan, ce plan coupera toutes les tranches en deux parties égales, et passera par le centre de gravité de chacune d'elles; donc l'intersection de ces deux plans passera par les centres de gravité de chacune des tranches. Mais chacun de ces deux plans passe par les milieux des deux arêtes opposées; leur intersection passe donc par ses deux points; donc la droite menée par les milieux des deux arêtes opposées passe par le centre de gravité de chacune des tranches parallèles à ces arétes. Actuellement, si parmi toutes les tranches on en considère deux quelconques qui soient à distances égales des deux arêtes opposées, leurs solidités seront égales entr'elles. En effet, ces deux tranches ayant même épaisseur, leurs solidites seront entr'elles comme les aires des parallelogrammes qui leur servent de bases; et les parallelogramines ayant leurs angles correspondans égaux, leurs aires seront entr'elles comme les produits de leurs côtés contigus; ainsi les solidités des deux tranches seront entr'elles comme les produits des côtés contigus de leurs parallélogrammes. Or, ces deux produits sont égaux entr'eux car en nommant M, N, les côtés contigus du parallèlogramme de la première tranche, et M', N', les côtés correspondans de la seconde; si l'on exprime par A la longueur de la droite qui joint les milieux des arêtes opposées, et par a la partie de cette droite comprise entre chacune de ses extrémités et celle des deux tranches qui en est plus voisine, on aura M: M':: a: A—a 1 N': Na : A -a on aura donc ce qui donne M: M':: N': N, Ainsi deux tranches quelconques prises à égales distances des extrémités (ou du milieu de la droite qui joint les milieux des, arêtes opposées, sont egales en solidité; donc, le centre de gravité du systême de ces deux tranches est au milieu de la droite qui passe par leurs centres de gravité particuliers; donc il est au milieu de la droite qui joint les milieux des deux arètes opposées. Donc le centre de gravité du systême de toutes les traiches, c'est-à-dire le centre de gravité de toute la pyramide, est au milieu de cette droite. C. Q. F. D. Le théorème que nous venons de démontrer fournit la cons truction la plus simple du centre de gravité de la pyramide triangulaire, et doit être de quelqu'utilité dans les opérations relatives aux déblais et remblais. C'est aussi ce théorême qui conduit le plus directement à la proposition suivante déjà connue, la distance du centre de gravité d'une pyramide triangulaire à un plan quelconque, est le quart de la somme des distances des sommets des quatre angles au même plan. Réciproquement, cette dernière proposition supposée connue, fournit une démonstration très - simple du théorême. J'ajouterai ici quelques détails qui trouveroient difficilement place ailleurs. Si par chacune des six arêtes d'une pyramide triangulaire quelconque, et par le milieu de l'arête opposée, on mène un plan, on aura six plans, qui passeront par le centre commun de gravité de la pyramide, du parallelipipède circonscrit et de la pyramide conjuguée (1). Chacun de ces plans sera diagonal par rapport au parallelipipede circonscrit, c'est-à-dire passera par deux arêtes parallèles opposées de ce parallelipipède, et ils rempliront la même fonction dans la pyramide conjuguée, c'est-à-dire que chacun d'eux passera par une des arêtes de cette seconde pyramide, et par le milieu de l'arête opposée. Ces six plans se couperont les uns les autres en sept droites. Parmi ces plans, les trois qui passeront par les arêtes contiguës au sommet d'un même angle de la pyramide ou de la conjuguée, se couperont dans une même droite. Ainsi, la pyramide étant désignée par les lettres A, B, C, D, les trois plans qui passeront par les arêtes AB, AC, AD, se couperont dans une même droite; il en sera de même des plans menés par les arêtes BC, BD, BA, de ceux menés par les arêtes et de ceux menés par les arêtes Chacune de ces quatre droites passera : CD, CA, CB, DA, DB, DC. 1o. Par le centre commun de gravité du parallelipipède et des deux pyramides conjuguées; 2°. Par le sommet d'un des angles d'une des pyramides; 3o. Par le centre de gravité de la face opposee à cet angle; 4. Par le sommet opposé de la pyramide conjuguée; 5o. Par le centre de gravité de la face opposée à cet angle, dans la pyramide conjuguée; 6. Par les centres de gravité des deux faces du noyau qu'elle traverse. Enfin, chacune d'elles sera une des diagonales du parallelipipède circonscrit. (1) Voyez 1. volume, page 44o. Ceux des six plans qui seront menés par les arêtes opposées de la pyramide se couperont deux à deux dans trois droites, dont chacune passera : 1o. Par le centre commun de gravité du parallélipipède, et des deux pyramides inscrites; 2o. Par les centres de gravité de deux faces parallèles du parallelipipède, et chacune d'elles sera une des trois diagonales de l'octaèdre, qui est le noyau commun aux deux pyramides conjuguées. SUR LA SOLIDITÉ DE LA PYRAMID E. THEORÊME I. En représentant par A, B, C, les longueurs des trois arêtes d'un parallelipipède, contigues au sommet d'un même angle, et par a, b, c, les angles que forment entr'elles ces trois arêtes considérées deux à deux, on démontre facilement que la solidité du parallelipipède est exprimée par ABCV - cos a cos' b --- cos c+2 cos a. cos b. cos c. Nous savons d'ailleurs que les trois arêtes A, B, C, du parallélipipède sont respectivement égales aux trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées de la pyramide inscrite, et que les trois angles que forment entr'elles ces trois droites sont respectivement égaux aux trois angles a, b, c, formés par les arêtes du parallelipipède. Cela donne lieu à la proposition suivante : THEOREME II. Dans une pyramide triangulaire, si l'on représente par A, B, C, les longueurs des trois droites menées par les milieux des arétes opposées, et par a, b, c, les angles que forment entr'elles ces trois droites considérées deux à deux, la solidité de la pyramide est exprimée par ABC V -- cosa cos b-cos' c + 2 cos a. cos 6. cos c. où il faut remarquer que les six quantités A, B, C, a, b, c, sont communes aux deux pyramides conjuguées. De même, en représentant par A', B', C', les trois distances des faces parallèles d'un parallelipipède, et par a, 6, y, les angles que font entr'elles les trois faces différentes prises deux à deux; on démontre facilement que la solidité du parallelipipède est exprimée par A'B' C' I — cos2 α — cos2 6 — cos2 ሃ -- 2 COS α, Cos 6. cos y ; of, les trois distances A', B', C', sont respectivement égales aux trois plus courtes distances des arêtes opposées de la pyramide inscrite, et les angles que forment entr'elles les droites sur lesquelles se mesurent les plus courtes distances, sont respectivement égaux aux angles a, 6, 7, formés par les faces du parallélipipède; en observant que ces trois droites qui ne se rencontrent pas, ne font point entr'elles d'angles proprement dits, mais qu'il s'agit ici des angles que formeroient trois nouvelles droites inenées par un même point, et respectivement parallèles aux trois premières; on a donc encore la proposition suivante : THEOKE ME III. Dans une pyramide triangulaire, si l'on représente par A', B', C', les longueurs des trois plus courtes distances des arétes opposées, et par a, b, y, les angles que formeroient entre elles trois droites menées par un même point respectivement parallèles à ces trois plus courtes distances, la solidité de la pyramide est exprimée par A'B' C 31-cos1 « — cos-cos y + 2 cos a. Cos 6. cos y, où il faut remarquer que les six quantités A', B', C', a, b, y, sont communes aux deux pyramides conjuguées. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. Sur la Transformation des coordonnées(1); par M. HACHETTE. M. François, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, capitaine au Corps du Genie, a donné, daus le 14. cahier du (1) J'invite MM. les Elèves à substituer cet article au paragraphe V de notre application de l'Algèbre à la Géométrie, pag. 20. Journal de l'Ecole (page 182), un mémoire remarquable, et par la notation et par l'élégance des formules; je me suis proposé d'arriver à ces mêmes formules par des considérations géométriqués et d'éviter les opérations de calcul. La notation de M. François consiste à représenter un angle de deux axes, par exemple, de l'axe des x et de l'axe des y, par une parenthèse qui renferme ces deux lettres; ainsi (x, y) signifie, angle de l'axe des x et de l'axe des y; (xy, yz) signifie, angle de deux plans, l'un xy, mené par les axes des x et y, l'autre yz mené par les axes des y et z; enfin (x, y) est l'angle d'un axe tel que celui des x avec le plan yz. Cette notation étant adoptée, voici les formules de M. François, pour la transformation des coordonnées rectangulaires en d'autres coordonnées obliques. x,y,z sont les coordonnées rectangulaires, et x', y', ', les nouvelles coordonnées obliques. (E) x=x' cos (x', x)+ y' cos (y', x) + z' cos (z', x) Ces expressions de x, y, z, ont l'avantage de faire voir que l'une |