passer par le centre, et les équations de cet axe sont de la forme xmz y=nz dans lesquelles les constantes m, n, sont encore indéterminées. Or, les élèves savent que l'équation aux différences partielles de la surface de révolution autour de cet axe est p(nz-y)-9(mz-x)+ns-my=0; il faut donc que cette équation soit satisfaite par celle de la surface du second degré. Si l'on différencie aux différences partielles l'équation de la surface du second degré, pour avoir les valeurs de pet de g, on a A x + Fy + Ez + p {Ex+Dy+ Cz } =0, et si l'on substitue pour pet q ces valeurs dans l'équation des surfaces de révolution, on obtient -(nz-y)(Ax+Fy+Ez)+(mz-x){Fx+By+Dz} +(nx-my {Ex+Dy+Cz}=。 qui, ordonnée par rapport aux trois coordonnées x, y, z, devient x2 (En - F) -y(Dm-F) +yz{(B-C) m-Fn+E} +zx((C-A)n + Fm-D} 0= Cette équation appartient à une troisième surface qui passe par la courbe de contact de la surface de révolution et de celle du second degré. Mais il faut que ces deux dernières surfaces se touchent par-tout, et par conséquent se confondent; donc la dernière équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de x, y, z, c'est-à-dire indépendamment de ces valeurs; donc il faut que les six coefficiens soient chacun égal à zéro, ou que l'on ait en même temps les six équations Mais, de ces six équations, les deux premières comportent la troisième, et servent à déterminer les valeurs de met n, qui sont et par conséquent à déterminer la direction de l'axe de révolution; de plus, si l'on met pour met n leurs valeurs dans les trois dernières, elles deviennent (A-B)DE + F (D' - E')=0 (C-A) FD + E (F* − D*) =0 dont deux quelconques comportent encore la troisième. Donc, la surface du second degré sera de révolution, lorsque deux quelconques des trois dernières équations seront satisfaites; et les équations de l'axe de révolution seront Dx=Fz, Ey=Fz ce qui est conforme aux résultats donnés par MM. Urban, Merle et Mondot. II. On peut employer de la même manière l'équation aux différences partielles de toute autre surface générale; je vais en donner quelques exemples. Posons qu'il s'agisse de trouver la relation qui doit exister entre les coefficiens de l'équation de la surface du second degré, pour que cette surface soit cylindrique. On sait que si les équations de la droite menée par l'origine, et à laquelle la génératrice de la surface est constamment parallèle, sont x=mz,y=nz l'équation générale des surfaces cylindriques est mp+nq= I. Si l'on substitue pour pet q les valeurs que donne l'équation des surfaces du second degré, et que nous avons données dans l'article précédent, on a m{Ax+Fy+Ez}+n{Fx+By+Dz}+Ex+Dy+Cz=o qui, ordonnée par rapport aux coordonnées x, y, z, devient 3{Am+Fn+E}+y{Fm+Bn+D}+z {Em+Dn+C}=0; Cette équation doit être satisfaite, indépendamment des valeurs de x, v, z; on aura donc les trois équations Am + Fn + E = 0 Fm+Bn+ D = o Em+Dn+C=o dont deux quelconques, par exemple les deux premières, détermineront les valeurs suivantes de m et n, m(AB-F) + BE-DF=o n (AB-F) + A D - EF=0 et qui, par l'élimination de met n, donneront l'équation AD + BE + CF2 = ABC +2DEF qui doit avoir lieu entre les coefficiens. Ainsi, la surface du second degré sera cylindrique, lorsque les coefficiens de l'équation génerale satisferont à l'équation précédente; et alors la direction de la droite génératrice du cylindre sera déterminée par les valeurs de met n. III. S'il s'agit de trouver la relation qui doit exister entre les coefficiens de la surface du second degré pour que cette sur face soit conique, on remarquera d'abord que le centre, c'està-dire le sommet, de la surface conique sera placé à l'origine. Or, l'équation des surfaces coniques, dont le sommet est à l'origine, est z-px-qy=0 Substituant donc pour pet q leurs valeurs prises dans l'équation de la surface du second degré, on aura z{Ax+Fy+Ez}+y{Fx+By+Dz}+z{Ex+Dy+Cz}=a qui, ordonnée par rapport aux coordonnées, devient A x 2 + By + C z2 + 2 { Dyz + Ez x + Fxy} = 0 et qui doit être satisfaite. Mais cette équation n'est autre chose que le premier membre de l'équation des surfaces du second degré, et ne peut subsister à moins que le second membre soit aussi égal à zéro. Donc la surface du second degré sera conique, lorsque son dernier terme sera nul, c'est-à-dire lorsqu'on aura H = o. Ce que l'on savoit déjà. IV. Pour terminer, je vais chercher les relations qui doivent exister entre les coefficiens de la surface du second degré, pour que cette surface soit développable. On sait que l'équation générale des surfaces développables est il faut donc différencier partiellement les valeurs de pet q qui appartiennent à la surface du second degré, pour avoir celles der,s,t. Cette différenciation donne A+2Ep+Cp Substituant ces valeurs der, s, t, dans rt-so, ona {A+2Ep+Cp} {B+2Dq+Cq2}-{F+Eq+Dp+Cpq}*= qui, ordonnée par rapport aux deux variables p,q, devient p2(BC-D2)+q2(CA-E*)+AB-F }= +2{pg(DE-CF)+p (BE-DF)+q(AD-EF)}} Substituant enfin pour petq, leurs valeurs en x, y, z, que nous avons données, art. I, on a (M) {A x + Fy + Ez}(BC-D) + {Fx+By+D z} *(CA-E*) +{Ex+Dy+ Cz}(AB - F2) 0= +2{Ax+Fy+Ez} {Fx+By+Dz} (DE-CF) +2{Ex+Dy+Cz}{Ax+Fy+Ez} (DF-BE) +2{Fx+By+Dz} {Ex+Dy+Cz} (EF-AD) équation qui doit être satisfaite, quelles que soient les valeursx,y,z, pour que la surface du second degré soit développable: or, si I'on développe cette équation, on reconnoît facilement qu'elle est composée des deux facteurs Ax+By+Cz2+2(Dyz+Ezx+Fxy)=0 AD+ BE + CF - A B C-2 DEF 0= qui peuvent avoir lieu indépendamment l'un de l'autre ; de plus, le premier de ces facteurs est le premier membre de l'équation des surfaces du second degré, et se réduit à H = o, donc la surface du second degré sera développable dans les deux cas suivans, 1o. Lorsqu'on aura 2°. Lorsqu'on aura H=0, A D2 + BE + C F - ABC-2 D E F = 0 ce qui reproduit le cas des surfaces cylindriques et celui des surfaces coniques, que nous avons traités, art. II et III. Enfin la surface du second degré sera encore développable lorsque l'équation (M) sera satisfaite, indépendamment des valeurs de x, y, z, ce qui aura lieu lorsqu'on aura les six équations suivantes, BC-D=0, CA - E2 = 0, AB - F2 = 0, Or, il est facile de voir que si les trois équations de la première ligne ont lieu, celles de la seconde ligne s'ensuivent nécessairement; donc la surface du second degré sera encore développable, lorsqu'on aura les trois équations |