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AB-F=0

et alors son équation deviendra

{xVÃ+yVB+zVC}'=H,

qui appartient au système de deux plans parallèles entr'eux ; ce qui est un cas très-particulier des surfaces cylindriques.

Des Propriétés générales des Surfaces du second degré.

M. Monge doit publier, dans le prochain cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, un mémoire sur quelques propriétés générales des surfaces du second degré; nous allons en extraire les principaux résultats, sans en rapporter les démonstrations.

I. Lorsque deux surfaces quelconques du second degré sont concentriques, il y a toujours dans chacune d'elles trois diamètres conjugués, dont les directions sont les mêmes que celles de trois diamètres conjugués considérés dans l'autre ; en sorte que, si l'on circonscrit à chacune de ces surfaces le parallélipipède formé sur les trois diamètres conjugués dont il s'agit, ces deux parallelipipèdes, qui ne seront point semblables entre eux, seront néanmoins tels, que toutes les faces de l'un seront respectivement parallèles aux faces de l'autre.

On peut donner le nom de droites diametrales conjuguées communes, aux trois directions communes de ces six diamètres considérés deux à deux.

II. Si l'on rapporte les deux surfaces concentriques à leurs trois droites diamétrales conjuguées communes par des coordonnées qui soient respectivement parallèles à ces droites, leurs équations seront symétriques, et de la forme

A =

▲ x2 + B y2 + C 2' 1 pour l'une,

et A' x2 + B'y2 + C'z2 = 1 pour l'autre.

Par conséquent l'intersection des deux surfaces sera toujours comprise en même temps sur les surfaces de trois cylindres qui auront pour bases des sections coniques, et qui seront parallèles aux trois droites diametrales conjuguées communes : en sorte que les deux surfaces du second degré et les trois surfaces cylin

driques se couperont toutes cinq dans la même intersection

commune.

Cela fournit une construction des trois droites diamétrales conjuguées communes, qui deviennent les trois axes rectangulaires de l'une des deux surfaces, lorsque l'autre est celle d'une sphère.

III. Les trois droites diamétrales conjuguées communes ne jouissent pas toutes trois des mêmes propriétés. Pour deux de ces droites, si les diamètres des deux surfaces qui se trouvent sur l'une d'elles sont égaux entr'eux, les surfaces se touchent dans deux points diametralement opposés, et n'ont pas d'autres points communs : pour la troisième, si les diamètres des deux surfaces sont égaux entr'eux, non-seulement les surfaces se touchent en deux points diametralement opposés; mais encore elles se coupent dans le systême de deux courbes planes pour lesquelles les deux points de contact des surfaces sont deux points d'inter

section.

Cela oblige à distinguer les trois droites diamétrales conjuguées communes en deux extrêmes et une moyenne.

IV. Dans le cas général, c'est-à-dire lorsque les deux surfaces quelconques du second degré ne sont pas concentriques, et quelque part que soient placés leurs centres, il y a toujours dans chacune d'elles trois diamètres conjugués, qui sont respectivement parallèles à trois diamètres conjugués considérés dans l'autre. Les deux surfaces n'en ont pas moins trois droites diamétrales conjuguées communes; mais ces trois droites ne contiennent plus effectivement, comme dans le premier cas, les deux diamètres conjugués respectifs : elles leur sont simplement parallèles.

En sorte que, si l'on rapporte les deux surfaces à ces trois droites diametrales par des coordonnées qui soient respectivement parallèles à ces droites, et en nommant a, b, c, les trois nistances des deux centres mesurées dans les sens des coordondées, les équations des deux surfaces seront

Ax+By+C2 = 1

pour celle dont le centre est placé à l'origine,

et A' (x − a ) ' + B' ( y − b ) ⋅ + C' ( z − c }' = 1 pour l'autre.

De ces trois droites diametrales conjuguées communes, deux sont extrêmes, tandis que l'autre est moyenne.

V. Lorsque deux surfaces quelconques se touchent en deux points, la corde commune qui passe par les deux points de contact est toujours parallèle à l'une des trois droites diamétrales conjuguées communes cette droite diamétrale est une des extrêmes, si les deux surfaces n'ont d'autres points communs que leurs deux points de contact; elle est, au contraire, la droite diamétrale moyenne, si les deux surfaces se coupent en même temps qu'elles se touchent, et alors l'intersection est composée du systême de deux courbes planes pour lesquelles les deux points de contact des surfaces sont deux points d'intersection.

Dans les deux cas, le plan mené par les centres des deux surfaces et par le milieu de la corde commune est le plan diamétral commun, opposé à la corde commune : et de plus, les deux plans tangens communs aux deux surfaces et menés par les deux points de contact se coupent dans une droite qui est comprise dans ce plan diamétral.

VI. Deux surfaces quelconques du second degré étant données, si 1°. leurs centres sont placés sur une même droite diamétrale conjuguée commune extrême ; et si 2o. les sections faites dans les deux surfaces par le plan diamétral opposé à cette droite diamétrale commune sont semblables entr'elles et semblablement placées, l'intersection des deux surfaces est composée du systême de deux courbes planes du second degré, semblables entr'elles, semblablement placées, et dont les deux plans sont parallèles au plan diamétral, et par conséquent parallèles entre eux. La distance de ces deux plans dépend alors de celle des deux centres et du rapport commun qui existe entre les dimensions homologues des sections semblables faites par le plan diamétral.

Si, de plus, le rapport entre les dimensions homologues des sections semblables est tel, que la distance de ces deux plans soit nulle, les deux surfaces sont circonscrites l'une à l'autre, c'està-dire qu'elles se touchent dans une courbe. Cette courbe est toujours plane, et son plan est parallèle au plan diamétral opposé à la droite diamétrale menée par les deux centres.

Deux surfaces du second degré ne peuvent être circonscrites l'une à l'autre, à moins que ces conditions soient toutes trois satisfaites.

VII. Lorsque deux surfaces quelconques du second degré sont circonscrites à une même troisième surface du second degré, elles se coupent toujours dans le systême de deux courbes planes du second degré.

Les plans de ces deux courbes se coupent toujours dans la même droite que les plans des courbes de contact des deux sur

faces avec la troisième, et cette droite est parallèle à la droite diametrale conjuguée moyenne commune aux deux surfaces.

Les deux courbes planes de l'intersection et les deux courbes planes de contact des deux surfaces avec la troisième passent toutes quatre par deux mêmes points qui sont en même temps deux points de contact communs aux trois surfaces.

Enfin, en regardant le systême de deux plans comme une surface du second degré, les cinq surfaces du second degré suivantes, savoir,

Les deux surfaces circonscrites à la même troisième,

Le systême des deux plans de leurs courbes de contact avec la troisième,

Le systême des deux plans de leur intersection mutuelle,

Et le systême des deux plans tangens communs aux trois surfaces, ont toutes les mêmes droites diamétrales conjuguées communes; et la moyenne de ces droites diametrales est celle qui est parallèle à la droite menée par les deux points de contact

communs.

VIII. Lorsque deux surfaces quelconques du second degré se coupent dans le systême de deux courbes planes, ces deux courbes se trouvent toujours en même temps sur deux surfaces coniques du second degré, et sont par conséquent les intersections mutuelles de quatre surfaces du second degré.

Ces quatre surfaces, et le systême des deux plans de leur intersection commune, ont les mêmes droites diamétrales conjuguées communes; la moyenne de ces droites diamètrales est parallèle à la droite dans laquelle se coupent les deux plans de l'intersection; et le plan diametral opposé à cette droite contient les sommets des deux surfaces coniques.

IX. Etant données une surface quelconque du second degré et une droite placée d'une manière quelconque par rapport à elle : si par la droite on fait passer tant de plans qu'on voudra, et dont chacun coupe la surface suivant une courbe; et si pour chaque plan on conçoit la surface conique circonscrite à la surface donnée, et qui la touche dans la section faite par le plan, on aura autant de surfaces coniques différentes, circonscrites à la même surface du second degré, qu'on aura de plans. Cela posé,

1o. Les sommets de toutes les surfaces coniques circonscrites seront dans une même seconde ligne droite ;

2o. Chaque surface conique coupera chacune des autres dans le systême de deux courbes planes;

3o. Les plans des intersections mutuelles des surfaces coniques passeront tous par la droite donnée ;

4°. La surface donnée, toutes les surfaces coniques circonscrites et tous les systêmes de plans qui renferment les intersections des surfaces coniques, considérées deux à deux, auront les mêmes droites diametrales conjuguées communes. La droite donnée sera parallèle à la droite diametrale moyenne, et la droite qui passe par les sommets des surfaces coniques sera parallèle à une des droites diamétrales extrêmes.

Les deux droites que nous avons considérées dans cet article jouissent, l'une par rapport à l'autre, de propriétés qui sont réciproques; c'est-à-dire que tout ce que nous avons dit de la seconde par rapport à la première, doit être dit réciproquement de la première par rapport à la seconde; excepté que si l'une d'elles coupe la surface, l'autre ne la coupe pas.

Enfin, si par le centre de la surface on mène la droite qui coupe en même temps les deux droites que nous venons de considérer chacune en un point, cette troisième droite coupera la surface en un troisième point. Cela posé, les distances de ces trois points au centre de la surface sont en proportion géométrique continue, et c'est la distance du point de la surface qui est la moyenne.

THEOREME

Sur les Surfaces du second degré.

Par M. J. BINET.

Dans le deuxième numéro du premier volume de cette Correspondance, M. Livet a énoncé les deux théorêmes suivans: La somme des carrés des trois axes conjugués d'une surface du deuxième degré est constante ;

Le volume du parallelipipède construit sur ces axes est

constant.

Il existe une troisième relation entre ces axes conjugués, que l'on peut énoncer ainsi :

La somme des carrés des faces de ce parallelipipède est

constante.

Si donc l'on désigne par a',b',c', les trois demi axes conjugués, réels ou imaginaires, d'une surface du second ordre, on aura

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