a''+b''+c'1=L, a' 1 b'' sina (a', b')+a'a c'2 sin3 (a', c') + b11c'' sin'(b',c′)—M, 1 — cos2 (a',b') — cos2 (a', c!) — cos2 (b', c.) \_N. + 2 cos (a', b') cos (a', c') cos (b',c') Lorsque les angles (a', b'), (a', c'), (b', c') de ces axes conjugués deviendront droits, ces axes se confondront avec les axes principaux de la surface. On aura donc alors, en désignant par a, b, c, ces demi axes principaux, a2+b2+c2=L, a2b3+a2c2+b2c2=M, a2bc'=N; en sorte que les trois constantes L, M, N, sont les coefficiens d'une équation ayant pour racines les carrés des trois demi axes principaux : cette équation seroit De l'Equation qui a pourracines les carrés des demi-axes principaux d'une surface du second degré. Par M. HACHETTE. L'équation générale des surfaces du second degré rapportées à trois axes rectangulaires, passant par le centre de ces surfaces, est (1) Ax2+A'y2 + A"z2 + 2 Byz + 2 B'xz + 2 B'xy=1; équation qui se réduit à (2) Px+P'y'+P" %' = 1, lorsque les axes des coordonnées se confondent avec les axes principaux de la surface. Les axes réels ou imaginaires étant 2 a, 2 b, 2c, on a les valeurs de P, P', P", sont les trois racines de l'équation suivante en t, ¿3 — (A+A'+A")t2 +(A'A"+A"A+AA'—B2—B'2 —B"2) t +AB2 + A'B' + A"B"2 — 2 BB'B" - AA'A" =0(E), et les valeurs des carrés a2, b2, c2, des demi axes principaux sont les racines de l'équation en u = 1 u3 _ (A'A' +A"A+AA' — B2 — B" — B''2) K=‚Ã'A" + 2 BB'B" — AB2 — A'B'2 — A"B"3 : Cette équation en u est identique avec l'équation en p de l'article précédent, p3- Lp2+Mp-No. quant à l'équation (E), M. Petit l'obtient par un calcul trèssimple, qui est fondé sur cette considération, que l'expression de x2 + y2 + z2, ne change pas, quel que soit le systême des trois coordonnées rectangulaires x, y, z, auxquelles la surface est rapportée. Nommant z cette expression, x2+ y2+z3‚ mettant dans cette équation pour z'sa valeur tirée de l'équation (1), on a (a) t = Aa2 + A'ß2 + A" + 2 B3 + 2 B'a + 2 B" aß Substituant dans l'équation (2) pour x et y les valeurs a', '; (b) Pa"+P''+P" t= I + a'2 + Bla Les valeurs maxima ou minima, et en général les valeurs singulières de , seront également données par les équations (a) et (6), pourvu qu'on fasse dans la première (a), mais si on met l'équation (6) sous la forme : ¿(1+a's + B'a) = Pa'2 + P'ß'2 + P", en la différenciant successivement par rapport à a', et à s', et éliminant a', ß', l'équation finale (c) (c) (t — P) ( t — P') ( t — P') = 0. a évidemment pour racines les quantités P, P',P". Mettant l'équation (a) sous la forme (a') (1+a2+ß3)=Aa2+A'ß2+A''+2Bß+2B'a+2B'aß. la différenciant successivement par rapport à « et à ß, et faisant Si maintenant des équations (a'), (3), (4), on élimine α, ß, l'équation finale en devra avoir les mêmes racines que l'équation (c). Tirant les valeurs de a, s, des équations (3) et (4), on trouve a = B' ( t — A') + BB' : (t—A) (¿ — A') — B''', Idem. ajoutant l'équation (3), multipliée par «, à l'équation (4) multipliée par s, et retranchant de l'équation (a'), on trouve t-A" BB + B'a. Substituant dans cette dernière les valeurs précédentes de a, ß, on a A)(t− A')(t—A")—B2 (t—A)—B'2 (t~ A') — B"2 (t—A"!)—2BB'B'=0; Si l'on effectue les produits indiqués, on retrouve l'équation (E), qui a pour racines les trois quantités P, P', P" de l'équation (2). Cette équation ayant nécessairement ses trois racines réelles, puisque les quantités P, P, P, le sont, M. Petit conclut qu'on pourra déterminer les signes de ces racines, au moyen de la règle de Descartes. Ou les trois racines seront positives, ou deux seront positives et une négative, ou on aura une racine positive et deux négatives, ou enfin les trois racines seront négatives. Dans le premier cas, la surface sera un ellipsoide; dans le second cas, un hyperboloïde à une nappe; dans le troisième cas, un hyperboloïde à deux nappes; dans le quatrième cas, la surface est imaginaire. Si l'une des valeurs de test nulle, la surface sera évidemment un cylindre, et la nature de sa base sera déterminée par les signes des deux autres racines. S'il y a deux valeurs de nulles, la surface sera le systême de deux plans parallèles. Si le dernier terme de l'équation (1), au lieu d'être l'unité, se réduit à zéro, il est facile de s'assurer que si P,P', P", sont tous trois positifs, ou tous trois négatifs, la surface se réduit à un_point. Si les trois quantités P,P',P", ne sont pas de même signe, la surface est un cône. Si l'une des trois quantités P,P',P", est nulle, la surface se réduit à une droite, si les deux autres quantités sont de même signe, ou au systême de deux plans, si elles sont de signes différens. Enfin, si deux des trois quantités P,P',P", sont nulles, la surface se réduit à un plan. Méthode pour discuter l'équation générale du second degré entre trois variables, x, y, z. On cherchera d'abord les coordonnées du centre de la surface. La manière la plus simple de les obtenir consiste à différencier l'équation proposée successivement par rapport à x, ày, à z. Les trois équations linéaires qui résultent de cette différentiation donneront pour les coordonnées du centre, ou trois valeurs finies, ou des valeurs indéterminées, ou des valeurs infinies. 1o. Supposons les trois valeurs finies. La surface ayant un centre, on la rapportera à ce centre comme origine des coordonnées rectangulaires; on formera l'équation (E), et on déterminera la nature de la surface par la règle énoncée page précédente. 2o. On suppose que les équations qui donnent les coordonnées du centre se réduisent à une ou à deux, auquel cas ces coordonnées sont indéterminées; si les trois équations se réduisent à une seule, la surface est le systême de deux plans parallèles; si elles se réduisent à deux, la surface est alors un cylindre dont l'axe est la droite représentée par les deux équations restantes; en coupant ce cylindre par un plan perpendiculaire à son axe, la section déterminera la nature du cylindre; lorsque cette section sera le systême de deux droites, le cylindre sera réduit à deux plans qui se coupent. 3o. On suppose que les coordonnées du centre soient infinies, ce qui est indiqué par les trois équations qui doivent donner les coordonnées du centre, et qui deviennent incompatibles; alors on coupera la surface par un plan quelconque. Si, quelle que soit la position du plan sécant, la section est une parabole, la surface sera un cylindre parabolique. Si la section ne peut pas devenir une ellipse, la surface proposée sera un paraboloïde hyperbolique; si la section ne peut pas devenir une hyperbole, l'équation proposée représente un paraboloïde elliptique. On a d'ailleurs indiqué (pages 203 et 315 de ce volume) un moyen de reconnoître si la surface proposée est de révolution. On a alors entre les constantes de l'équation générale (1), les équations suivantes : dont deux quelconques comportent la troisième. La droite des équations BxBzo, B'y➡ B" z = o, est parallèle à l'axe de révolution. |