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a b c, puisque ces deux surfaces étant coupées par un plan passant par un point quelconque d de cette droite, fournissent des courbes tangentes en ce point.

Il résulte de là, que si aux trois points a,b,c, on mène trois courbes quelconques A, B', C', respectivement tangentes en ces points aux courbes A, B, C, et qu'on les employe comme directrices du mouvement d'une ligne droite, la surface engendrée par cette droite sera tangente à la surface proposée dans toute l'étendue de la droite a b c.

Pour démontrer le théorême qui fait l'objet de cette note, il suffit d'observer que par les trois points ou les deux surfaces ont leurs plans tangens communs, il est possible de tracer sur ces surfaces des courbes respectivement tangentes et pouvant être considérées comme directrices des droites génératrices des surfaces proposées; et ces surfaces, par suite de ce que nous venons d'établir, seront tangentes l'une à l'autre dans toute l'étendue de leur génératrice commune.

On prouve d'une manière semblable, que deux surfaces engendrées par une ligne droite assujettie à rester constamment parallèle à un plan, sont tangentes dans toute l'étendue de cette génératrice, si en deux des points de cette droite, ces surfaces ont des plans tangens communs.

De la Pyramide Triangulaire ;

Par M. HACHETTE.

J'ai donné dans le Supplément de la Géométrie Descriptive, art. 131, une solution de ce problème : connoissant dans une pyramide triangulaire, la base et les angles des faces opposés aux côtés de la base, construire le sommet de cette pyramide. En appliquant l'analyse à cette solution, on démontre rigoureusement que ce problème a dans le cas général seize solutions.

Soient (planche. B) XYZ, fig. d, la base de la pyramide donnée; XFZf, ZoYo, XGYg, les cercles générateurs des trois surfaces de révolution qui par leur intersection déterminent le sommet de la pyramide. Les deux premières surfaces qui ont pour axes les droites XZ, ZY, se coupent suivant une ligne composée de deux branches, l'une qui résulte de l'intersec. tion des nappes de surfaces engendrées par les grands segmens XFZ et Z'Or, et des nappes de surfaces engendrées par les

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petits segmens XfZ, ZoY; l'autre, qui résulle de l'intersection des nappes engendrées par un grand seginent XFZ, et un petit segment Zot , ou par un grand segment ZOY et un petit segment XfZ.

La première branche, en tournant autour de l'axe XY, engendre une nappe de la quatrième surface de révolution, dont la section par le plan du triangle XYZ, est ZACB. La section de la seconde nappe par le même plan, est ZA'C'B'; ces deux sections ont pour normale commune l'axe XY, qui divise chacune d'elles en deux parties égales; elles sont coupées par les deux cercles XGY.; et XG'Yg', en seize points, dont huit marqués des chiffres 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, appartiennent à la courbe Z ABC. Les huit autres points marqués des mêmes chiffres accentués, appartiennent à la courbe ZA'B'C'. Les points 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, mis deux à deux dans l'ordre suivant,

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- 8, 2 -7, 3-6, 4-5, sont à égales distances de l'axe XY, et sur deux droiles perpendiculaires à cet axe. Il en est de même des points 1, 2, 3', 4'; par rapport aux points 8', 7',6',5.

D'où il suit que les sommets des pyramides cherchées sont situés sur huit cercles du diamètre 1 -- 8,2-7, 3-6, 4-5, al-8', 2' – 7,3'6',4 - 5!. Ces cercles appartiennent à la troisième surface de révolution , dont l'axe est XY, et qui a pour génératrice les axes XGY, Xgy. Chacun de ces cercles contient deux sommets des pyramides cherchées. En effet, considérons celui dont le diamètre est 1-8, et qui a pour centre un point de l'axe XY. Le point 8 de la courbe ZACB provient de l'intersection de deux cercles décrits par deux points des grands segmens ZOY, ZFX; donc, si l'on porte la droite Y 8 sur Ya, corde de l'arc ZOY, et la droite Za sur Za', corde de l'arc ZFX, ou la droite X8 sur la corde Xa' du même arc ZFX, les droites Ya, Za, = Zal et Xa', seront les trois arêtes d'une des pyramides cherchées. Abaissant la perpendiculaire a « sur l'axe ZY, et la perpendiculaire a'«, sur l'axe XZ, ces deux perpendiculaires se rencontrent en un point « du diamètre 1-8, qui est la projection du sommet de la pyramide sur le plan de la base XYZ. Le même point a est la projection du sommet d'une seconde pyramide, symétrique par rapport à la première.

Le cercle du diamètre 1-8 contient les sommets de deux pyramides; ces sommets se projetent en æ sur le plan horizontal du triangle xyz, et en «, (a), sur le plan vertical vol (fig. 2), perpendiculaire à l'axe XY. Les quatre projections horizontales a, b, n, d, des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe z ABC, forment un quadrilatère u Boyd, dont la

projection verticale (fig. 2) est le système des deux quadrilatères «Byd, et (2) (3) () (a). Les quatre projections horizontales ', b', ?, n, des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe 2 A' B' C', forment un quadrilatère a's W d, dont la projection verticale (fig. 2) est le système de deux quadrilatères a' B' W' N, et (c') (B') () (M).

Cette solution fait voir que les pyramides qui ont pour bases le triangle XYZ, et pour angles opposés aux côtés de cette base, les angles déterminés par les arcs XFZ, ZOY, YGX, et leurs supplémens, sont au nombre de seize; nous allons démontrer que ce nombre de solutions est le plus grand possible. M. Lagrange a appliqué la méthode

des Courbes d'Erreurs à la solution de cette même question, relative à la pyramide triangulaire. (Voyez ses leçons à l'ancienne Ecole Normale, qu'on vient de réimprimer pour en former les cahiers 7 et 8 du Journal de l'Ecole Polytechnique.) Nommant a, b, c les trois côtés de la base; a, ß, y les cosinus des angles des faces opposés aux côtés; x,y,z les trois arêtes, on a les trois équations suivantes :

a = x + y - 2 e xy.
b'=y' + - 2 By 2.
c'es' +- Byz.

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M. Lagrange observe qu'en faisant «=u, 5 trois équations deviennent,

a'=x'(1 tu' – 2 « u ).
bo= x(u' +ť — 2ß ut).

cʻ=x*(1 +ť – 29t). De ces trois équations on déduit les deux suivantes du second degré en u et t';

sa’ (1 +1 -29t)=coli tu'-2«u). (E).

b' (1 +ť – 2yt)=c(u' ti' - 2 B ut). L'élimination de u ou de t entre ces deux équations, conduit à une équation du quatrième degré en u ou t. Substituant les quatre valeurs de u dans l'équation

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on aura les quatre valeurs de x correspondantes, et à cause de la double valeur du cosinus «, qui peut être pris positivement ou négativement, l'arête x a huit valeurs différentes. Les huit valeurs correspondantes de l'arète y sont données par l'équation y = xu. Mais par l'élimination de t entre les équations (E), on obtient une équation linéaire en t, qui détermine les quatre valeurs de t qui correspondent aux quatre valeurs de u et aux huit valeurs de x; combinant les valeurs de x et de t qui se correspondent, l'équation z=xt, donnera les huit valeurs de z qui correspondent aux huit valeurs de x. De cette manière on déter minera les huit systèmes d'arêtes x, y, z, qui forment la ругаmide dont la base triangulaire a pour côtés les droites a, b, c, et dont les angles compris entre les arêtes ont pour cosinus ta, EB,y

Aux huit pyramides qui ont pour arêtes les droites x, y,%, on doit en ajouter huit autres qui leur sont symétriques. Ces dernières ont même base que les premières, mêmes arêtes, inêmes angles opposés aux côtés de la base; elles n'en different que par la position des sommets. Les sommets d'une pyramide et de celle qui lui est symétrique, sont placés à des distances égales et opposées du plan de la base.

En appliquant l'analyse à la solution géométrique précédente, on arrive aux mêmes conclusions.

Soient a, b, 2c, les trois côtés xz, ZY, YX , de la base XYZ ( fig. 1), p et a les cosinus des angles opposés aux côtés a et b, et l, m, n, les trois arêtes de la pyramide. Prenant pour origine des coordonnées le milieu de la droite XY, chaque point de la courbe ZABC, ZA'B'C', résulte de l'intersection de deux cercles décrits des points X et Y comme centres, avec des rayons égaux aux arêtes 2 et ni, qui passent par les points X et Y. de la base ; ces cercles ont pour équations,

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Les arêtes let n comprennent entr'elles l'angle dont le cosinus est p; les arètes met n comprennent l'angle dont le cosinus est q; d'où il suit qu'on aura les équations suivantes

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projection verticale (fig. 2) est le système des deux quadriIatères Boyd, et (el) (3) (w) (). Les quatre projections horizontales ', ', WAN, des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe Z A' B'C', forment un quadrilatère a' B'y! N, dont la projection verticale (fig. 2) est le système de deux quadrilatères al Blg! N, et (c) (B') (7) (OM).

Cette solution fait voir que les pyramides qui ont pour bases le triangle XYZ, et pour angles opposés aux côtés de cette base, les angles déterminés

par les arcs XFZ, ZOY, YGX, et leurs supplémens, sont au nombre de seize; nous allons démontrer que ce nombre de solutions est le plus grand possible.

M. Lagrange a appliqué la méthode des Courbes d'Erreurs à la solution de cette même question, relative à la pyramide triangulaire. (Voyez ses leçons à l'ancienne Ecole Normale , qu'on vient de réimprimer pour en former les cahiers 7 et 8 du Journal de l'Ecole Polytechnique.) Nommant a, b, c les trois côtés de la base; a, b, les cosinus des angles des faces opposés aux côtés; x, y, z les trois arêtes, on a les trois équations suivantes :

a' = x + yo
b'=y' + 3 - 2 By .

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M. Lagrange observe qu'en faisant

у trois équations deviennent,

a=(1 tu' - 2 & u).
bo= x (u' + - 2 ßut).

c'=x*(1 +ť - 2y + ). De ces trois équations on déduit les deux suivantes du second degré en u et t';

Ja (1 +12yt)=co(1 tu'—2 « u). (E).

6(1 ' - 20t) = c(u' to ť— 2 But). L'élimination de u ou de t entre ces deux équations, conduit à une équation du quatrième degré en u ou i. Substituant les quatre valeurs de u dans l'équation

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