Du Plan tangent à l'hyperboloide à une nappe. (Voyez le Supplément de la Géométrie Descriptive, art. 56, pag.48);

Par M. HACHETTE.

Soient PS, RQ, planche A (fig. 1), les axes principaux réels de l'hyperboloïde à une nappe, PQRS l'ellipse construite sur ces droites comme axes, et XAYA', la section faite dans cette surface par un plan parallèle à celui de l'ellipse PQRS. Soient de plus xpx', ysy' (fig. 2), les deux branches de l'hyperbole contenue dans le plan XY (fig. 1) perpendiculaire au plan des axes principaux PS, QR.

ps (fig. 2) étant la projection de l'ellipse PQRS, xy ou x'y' sera la projection de l'ellipse XAYA' sur le plan de l'hyperbole principale, dont les axes sont dirigés suivant les droites pos, zoz', l'une horizontale, et l'autre verticale.

On donne la projection horizontale M d'un point de l'hyperboloïde, et on demande le plan qui le touche en ce point? La verticale élevée par le point M coupe l'hyperboloïde en deux points; d'où il suit qu'à la projection horizontale M correspondent deux points m, m', en projection verticale (fig. 2). Pour trouver ces derniers points, on mène par le point M la droite AMA', qui touche l'ellipse PQRS au point 7; on projete les points T, ▲, A' (fig. 1) en (fig. 2) t, a oua, a' ou a, et on joint les points a, t,a, par une droite, et les points a', t, «, par une autre droite. Ces deux droites sont coupées par la verticale Mmm'. aux points cherchés m, m'.

On auroit pu mener par le point M une autre tangente BMB' à l'ellipse PQRS. En projetant les points T,B, B' (fig. 1) en t', bous, b' ou s', et joignant les points bt'p', b't's, on obtient deux droites qui sont encore coupées par la verticale Mmm' aux mêmes points m, m'. Il résulte de cette construction que le point de l'hyperboloide dont la projection horizontale est M, a pour projection verticale m ou m'. Le plan tangent en ce point passe par les deux droites de la surface qui se coupent en ce point; d'où il suit que le plan tangent au point M, m, n pour trace horizontale la droite AB, et le plan tangent au point M, m', a pour trace la droite A'B'.

En considérant la droite M, (fig. 1), mm' (fig.2), comme une corde de l'hyperboloïde, on voit que des quatre droites de cetie surface, menées par les extrémités de la corde, la corde et deux

de ces droites sont dans un même plan. En substituant à la corde M, mm', toute autre corde MN, m'n', la même coïncidence aura lieu. En effet, tout plan qui passe par une corde de l'hyperboloïde et par une droite de cette surface, contient nécessairement une seconde droite, et cette dernière droite première en un point dans lequel le plan touche la surface.

coupe

la

Pour construire la fig. 1, qui représente les projections de la génératrice de l'hyperboloide dans les deux systèmes de génération, on peut diviser la demie ellipse XAY d'une manière arbitraire, et mener par chaque point de division deux tangentes à l'ellipse principale PQRS. Elles seront les projections de deux droites partant d'un même point de la surface. Mais ces couples de droites étant menées arbitrairement, la demie ellipse XA'Y ne sera pas divisée de la même manière que la première moitié XAY; pour que les deux divisions soient symétriques, M. Monge a observé que les petits arcs d'ellipse X1, 12, 34, etc., devoient être les projections d'arcs égaux X1', 1'2', 3'4', etc. d'un cercle qui auroit pour diamètre la droite XY. C'est d'après cette division du cercle, qu'il faudroit construire les figures 1 et 2, si l'on vouloit exécuter un support de vase, ou une corbeille de la forme de l'hyperboloïde à une nappe.

Nous terminerons cet article par une remarque sur les paraboloïdes. J'ai démontré que les deux paraboloïdes étoient représentées par l'équation:

pply-pp'x=0.

pet p' étant des paramètres de la surface; en coupant cette surface par un plan quelconque de l'équation

et substituant cette valeur dans l'équation précédente, les coefficiens de y2 et de z ne varient pas; d'où il suit que quel que soit le plan secant, les sections se projètent sur le plan des yz, suivant des courbes semblables, donc de quelque manière qu'un paraboloïde soit situé dans l'espace, il existe un plan sur le quel toutes les sections planes du paraboloïde se projètent sui➡ vant des courbes semblables.

Sur le Contact des Surfaces engendrées par une ligne droite;

Par M. J. BINET.

Ces surfaces sont très-fréquemment employées dans l'application de la géométrie aux arts. Quand elles ne sont pas déve loppables on les appelle surfaces gauches. Les méthodes dont on se sert pour leur mener des plans tangens, reposent sur le théorême suivant que M. Hachette a donné dans des Additions à la Géométrie Descriptive de M. Monge.

Deux surfaces engendrées d'une manière quelconque par une ligne droite, qui ont une génératrice commune, et en trois points de cette génératrice trois plans tangens communs, sont tangentes l'une à l'autre dans tous les points de cette génératrice,

Par les trois points déterminés a, b, c sur une génératrice d'une telle surface, concevons trois courbes quelconques A,B,C, tracées sur cette même surface, et pouvant être considérées comme les trois directrices du mouveinent de la génératrice; désignons par a', b', c' les trois points où ces courbes sont rencontrées par une autre génératrice à distance de la première. Imaginons une courbe quelconque A', passant par les points a et a'; une autre courbe quelconque B' passant par les points bet b'; une troisième courbe C' passant par les points c et c'; et regardons les courbes A', B', C', comme servant de directrices au mouvement d'une ligne droite, qui alors engendrera une surface, rencontrant la première suivant les deux lignes droites abc, et a'b'c'. Que l'on conduise un plan qui rencontre la ligne abc en un point d, la ligne a'b'c', en un point d'; il coupera la première surface suivant une courbe D et la deuxième suivant une autre courbe D', et ces deux courbes Det D'auront les deux points d et d' communs. Tout cela posé, si l'on conçoit que la droite a' b'c' se meuve sur la preinière surface, de manière à se rapprocher indéfiniment de la droite a bc, les points a', b',c', d' se mouveront respectivement sur les courbes A, B, C, D, de manière à se rapprocher indéfiniment aussi des points a, b, c, d ; en sorte que lorsque la ligne a' b'c', atteignant la limite des positions qu'elle doit prendre, se confondra avec a b c, les courbes A', B', C', D' deviendront ensemble tangentes en a, b, c, d, aux courbes A, B, C, D. La surface engendrée par la droite s'appuyant sur les courbes A', B', C', devenues tangentes aux courbes A, B, C, sera tangente à la première surface, dans toute l'étendue de la droite

a bc, puisque ces deux surfaces étant coupées par un plan passant par un point quelconque d de cette droite, fournissent des courbes tangentes en ce point.

Il résulte de là, que si aux trois points a, b, c, on mène trois courbes quelconques A', B', C', respectivement tangentes en ces points aux courbes A, B, C, et qu'on les employe comme directrices du mouvement d'une ligne droite, la surface engendrée par cette droite sera tangente à la surface proposée dans toute l'étendue de la droite a b c.

Pour démontrer le théorême qui fait l'objet de cette note, il suffit d'observer que par les trois points où les deux surfaces ont leurs plans tangens communs, il est possible de tracer sur ces surfaces des courbes respectivement tangentes et pouvant être considérées comme directrices des droites génératrices des surfaces proposées; et ces surfaces, par suite de ce que nous venons d'établir, seront tangentes l'une à l'autre dans toute l'étendue de leur génératrice commune.

On prouve d'une manière semblable, que deux surfaces engendrées par une ligne droite assujettie à rester constamment parallèle à un plan, sont tangentes dans toute l'étendue de cette génératrice, si en deux des points de cette droite, ces surfaces ont des plans tangens communs.

De la Pyramide Triangulaire ;

Par M. HACHETTE.

J'ai donné dans le Supplément de la Géométrie Descriptive, art. 131, une solution de ce problême : connoissant dans une pyramide triangulaire, la base et les angles des faces opposés aux côtés de la base, construire le sommet de cette pyramide. En appliquant l'analyse à cette solution, on démontre rigoureusement que ce problême a dans le cas général seize solutions.

Soient (planche. B) XYZ, fig. 1, la base de la pyramide donnée; XFZf, ZOYO, XGYg, les cercles générateurs des trois surfaces de révolution qui par leur intersection déterminent le sommet de la pyramide. Les deux premières surfaces qui ont pour axes les droites XZ, ZY, se coupent suivant une ligne composée de deux branches, l'une qui résulte de l'intersection des nappes de surfaces engendrées par les grands segmens XFZ et ZOY, et des nappes de surfaces engendrées par les

petits segmens XfZ, ZoY; l'autre, qui résulte de l'intersection des nappes engendrées par un grand segment XFZ, et un petit segment Zor, ou par un grand segment ZOY et un petit segment XfZ.

La première branche, en tournant autour de l'axe XY, engendre une nappe de la quatrième surface de révolution, dont la section par le plan du triangle XYZ, est ZACB. La section de la seconde nappe par le même plan, est ZA'C'B' ; ces deux sections ont pour normale commune l'axe XY, qui divise chacune d'elles en deux parties égales; elles sont coupées par les deux cercles XGYg, et XG'Yg', en seize points, dont huit marqués des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, appartiennent à la courbe ZABC. Les huit autres points marqués des mêmes chiffres accentués, appartiennent à la courbe ZA'B'C'. Les points 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, mis deux à deux dans l'ordre suivant, I 7, 3. -6, 4-5, sont à égales distances de l'axe XY, et sur deux droites perpendiculaires à cet axe. Il en est de même des points 1, 2, 3', 4', par rapport aux points 8', 7', 6',5'.

8, 2

D'où il suit que les sommets des pyramides cherchées sont situés sur huit cercles du diamètre 1-8, 2-7, 3-6, 4-5, ·8,2-7, 1'-8', 27',3'-6',4'-5'. Ces cercles appartiennent à la troisième surface de révolution, dont l'axe est XY, et qui a pour génératrice les axes XGY, XgY. Chacun de ces cercles con tient deux sommets des pyramides cherchées. En effet, considérons celui dont le diamètre est 1-8, et qui a pour centre un point de l'axe XY. Le point 8 de la courbe ZACB provient de l'intersection de deux cercles décrits par deux points des grands segmens ZOY, ZFX; donc, si l'on porte la droite Y8 sur Ya, corde de l'arc ZOY, et la droite Za sur Za', corde de l'arc ZFX, ou la droite X8 sur la corde Xa' du même arc ZFX, les droites Ya, Za, = Zaꞌ et Xa', seront les trois arêtes d'une des pyramides cherchées. Abaissant la perpendiculaire a a sur l'axe ZY, et la perpendiculaire a'a, sur l'axe XZ, ces deux perpendiculaires se rencontrent en un point du diamètre I qui est la projection du sommet de la pyramide sur le plan de la base XYZ. Le même point est la projection du sommet d'une seconde pyramide, symétrique par rapport à la première.

Le cercle du diamètre 1-8 contient les sommets de deux pyramides; ces sommets se projetent en a sur le plan horizontal du triangle XYZ, et en a, (a), sur le plan vertical v′ (fig. 2), perpendiculaire à l'axe XY. Les quatre projections horizontales a, B, y, d, des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe ZABC, forment un quadrilatère aßid, dont la