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Les quatre petits cercles, lieux des points de contact de la sphère (c'est-à-dire dont le centre est en 4), sont perpendiculaires au plan des trois centres A, B, C, et ont pour diamètres les droites (art. 39 du Supplément),

A B C, A Be C, A Bi C', A' Bi Ci,

droites qu'on auroit pu désigner sur la figure (Planch. C) de la manière suivante :

A Bi C, A Bi C, A B C, A Be C.

Ces quatre petits cercles sont les bases de cônes droits circonscrits à la sphère A, dont les sommets f, g, h, k, sont situés sur les droites, lieux des sommets des cônes extérieurs et intérieurs, circonscrits aux trois sphères A, B, C; de sorte que

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Considérant le systême des trois sphères A, B, D (1), les points analogues à f, g, h, k, sont f', g', h', k', situés sur les droites SRR", Sr, SR", sr R". Ces quatre points ƒ', g', h', k', sont les sommets de cônes droits circonscrits à la sphère A, qui touchent cette sphère suivant les cercles des

diamètres :

A B Do, A Be Di, ♫ Bi D', A Bi Di.

Un quelconque de ces quatre petits cercles coupe en quatre points deux des quatre petits cercles qui ont pour diamètres les droites

A Bo C, A Bo C3, Æ Bi C‘, Æ B3 C1‚

ce qui détermine les points de contact de la sphère A et de la cinquième sphère, qui touche les quatre sphères A, B, C, D.

(1) Les lignes relatives au systême des trois sphères A, B, C, sont ponctuées sur le dessin en points ronds; et celles qui sont relatives au systême des trois sphères A, B, D, sont ponctuées d'un trait long

Le cercle du diamètre A B C est coupé par les deux cercles des diamètres A B Dˆ, Ao B' D', en quatre points qui se projètent sur le plan des trois centres A, B, C, aux points I 2, 3, 4. Nous allons construire sur une figure à part ( Pl. D ) les quatre points 1, 2, 3, 4, et on trouvera de la même manière les douze autres points.

D'après ce qui a été dit (art. 39 du Supplément), on a : Cercle du diamètre A'B'C', coupé par les cer

Cercle du diamètre A'B'C',

Cercle du diamètre A'B'C',

Cercle du diamètre A'B'C',

cles des diamètres A'B'D',A'B'D';

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Dans la figure (Planche D), nous ne considérerons que les points d'intersection du cercle dont le diamètre est AB C, et des cercles qui ont pour diamètres les droites AB‘Dˆ, AˆB¢D'. Des douze droites lieux des sommets des cônes droits circonscrits aux quatre sphères données, nous ne rapporterons sur cette figure, que les trois droites S S' S", SR'R", S; et les trois sommets f,f,g' des trois cônes droits circonscrits à la sphère A, qui ont pour bases les diamètres

A B C, A' Be D', A B D'.

Nommant r,,,, les rayons des quatre sphères données, R le rayon de la sphère tangente, p, p, p, p, les distances du centre de la sphère tangente aux centres des sphères données, on a les quatre équations, (Correspondance, tom. 2, pag. 63 )

R=r=p, Rr=p', R="" =p", R=r"" =p!"",

qui fournissent seize combinaisons; ce qui prouve qu'en général il y a seize sphères qui peuvent toucher quatre sphères données. En effet la première équation donne:

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Les deux équations suivantes donnent quatre combinaisons ; et pour chacune de ces combinaisons, on a :

ou R— 7""' = p", ou R+r"=p""";

ce qui élève le nombre de combinaisons possibles à huit. On a par la même raison huit combinaisons, lorsqu'on suppose dans

la première équation R+r=p; d'où il suit que quatre sphères données peuvent être touchées par une cinquième sphère de seize manières différentes.

Des seize sphères tangentes, cherchons celle dont le rayon R=+=+r'=p" +"="+", c'est-à-dire, celle qui touche intérieurement les quatre sphères données. La construction qui détermine le centre de cette sphère, donne en même temps le centre et le rayon de la sphère qui touche intérieurement les quatre sphères données.

Ayant augmenté les rayons des trois sphères A, B, C, d'une quantité TT (pl.D)prise arbitrairement, on regardera les points A, B, C, comme les centres de trois nouvelles sphères qui se couperont en un point, centre d'une sphère T, tangente aux sphères A, B, C; par le point de contact de cette sphère T, et de la sphère A, on mènera un plan tangent à cette dernière sphère, et ce plan coupera la droite S S'S" au point f, sommet du cône droit circonscrit à la sphère A, et qui la touche suivant le cercle du diamètre A B° C. Ce cercle contient les points de contact de la sphère A et de toutes les sphères qui peuvent toucher les trois sphères A, B, C extérieurement.

Considérant les trois sphères A, B, D, on construira de la même manière un second cercle du diamètre A B Do, qui contient les points de contact de la sphère A et de toutes les sphères qui peuvent toucher les trois sphères A, B, D extérieurement. L'intersection de ces deux petits cercles de la sphère A détermine sur cette sphère le point de contact d'une cinquième sphère, qui la touche en même temps que les trois autres sphères B, C, D.

Les deux petits cercles des diamètres A'B'C', A'B'D', se coupant en deux points, dont les projections sur le plan des trois centres A, B, C, sont 1 et 2; le second point appartient à la sphère qui touche les quatre sphères données intérieurement. Si des points 1 et 2, on abaisse des perpendiculaires sur la droite AB, les points d'intersection 1', 2' de ces perpendiculaires et du diamètre A B D°, sont les projections des points communs aux deux petits cercles de la sphère A, sur le plan des trois centres A, B, D.

Toutes les sphères qui touchent les sphères A et B extérieurement, et la sphère D intérieurement, touchent la sphère A, suivant un cercle du diamètre ƈ Bo D'. Pour déterminer ce diamètre, nommons r, r, les rayons des sphères A, B, D, et supposons qu'on ait augmenté les rayons r, d'une quantité arbitraire TT' (pl. D); regardant les points A,B,D comme les centres de trois sphères qui ont pour rayons, la premièrer+7'T,

la seconde,+TT' et la troisième, TT; ces trois sphères se couperont en un point centre d'une sphère T' du rayon TT', qui touchera les sphères A et B extérieurement, et la sphère D intérieurement. Cette sphère T" touchera la sphère en un point ; si par ce point on mène un plan tangent à la sphère A, ce plan coupera la droite S en un point g', sommet du cône circonscrit à la sphère A, et qui touche cette sphère suivant le petit cercle du diamètre A Be Di. Le plan de ce petit cercle perpendiculaire à celui des trois centres A, B, D, coupe le petit cercle du diamètre A Be De, en deux points qui se projètent en 3 et 4 sur le plan des trois centres A, B, Cet en 3',4' sur le plan des trois centres A,B,D.

e

En raisonnant de la même manière, on verra (Planche C) que la sphère A est touchée par un cône droit, qui a son sommet en g sur la droite S ss", et par deux autres cônes droits qui ont leurs sommets, l'un en f' sur la droite S R' R", l'autre en g' sur la droite Srr", et dont les bases sont des cercles des diamètres A'B'D', ABD'. Le cercle de contact de la sphère et du premier cône, et les cercles de contact de la même sphère A et des deux autres cônes, se coupent en quatre points, qui se projètent sur le plan des trois centres A,B,C, suivant le diamètre A B C. Par deux de ces quatre points de la sphère A, il faut concevoir deux sphères, dont l'une touche les sphères A, B, D extérieurement, et la sphère C intérieurement, et dont l'autre touche les sphères A, B, D intérieurement, et la sphère Cextérieurement. Par les deux autres points de la sphère A, qui se projètent sur le diamètre A'B' C, on peut mener deux sphères telles que la première touchant les sphères A et B extérieurement, et les sphères C et D intérieurement, la seconde touche les sphères A et B intérieurement, et les sphères Cet D extérieurement.

Ayant déterminé le centre de la sphère qu'on a désignée (page précédente) par la lettre T, le plan mené par le centre perpendiculairement à la droite SS'S", contient (art. 34 du Suppl.) les centres de toutes les sphères qui peuvent toucher à-la-fois les trois sphères A, B, C extérieurement ou intérieurement, et par conséquent le centre de la sphère comprise dans cette série, qui touche les quatre sphères A, B, C, D. Or, on a déterminé le point de contact de cette sphère et de la sphère ; donc le rayon de la sphère A qui passe par ce point de contact, coupe le plan des centres perpendiculaire à la droite SS' S", en un point centre de l'une des seize sphères, qui peuvent toucher les quatre sphères données A,B,C,D. D'ailleurs, connoissant le point de contact de l'une des seize sphères tangentes et de la sphère A, il est très-facile de le trouver sur les sphères

B, C, D, en se rappelant cette proposition, démontrée art. 29 du Supplément, que lorsqu'une sphère touche trois sphères données A, B, C, les droites menées par les points de contact, passent par l'un des sommets des cônes intérieurs ou extérieurs, circonscrits aux sphères données.

Si des quatre sphères données A, B, C, D une quelconque, (C par exemple), embrassoit les trois autres, auquel cas on n'auroit pas les sommets des cônes circonscrits à la sphère Cet aux trois sphères A, B, D, alors on détermineroit sur la sphère A, un cercle du diamètre tel que AB C, en considérant deux sphères de rayons quelconque, qui toucheroient extérieurement les deux sphères A et B, et intérieurement la sphère C, et on construiroit les points de contact de ces sphères et de la sphère ; la projection de ces deux points de contact sur le plan des trois centres A, B, C, appartiendroit au diamètre ABC.

Observations Barométriques correspondantes faites en octobre 1811, à l'Aqueduc de Marly, et dans la plaine du Vesinet.

Par M. PUISSANT.

Les observations suivantes ont été faites avec deux excellens baromètres de mêmes dimensions, construits par Fortin, et que M. Hachette avoit eu la bonté de me prêter. La première expérience a été faite le 13 octobre 1811; M. Hachette observoit à la station supérieure. Les jours suivans, deux de mes amis ont bien voulu m'aider à continuer ce travail. Les observations des stations supérieure et inférieure ont toujours été faites aux mêmes heures.

Nous avons eu soin de comparer entr'eux les deux baromètres, à diverses reprises et à différentes hauteurs; ce qui nous a fait connoître la nécessité d'augmenter de om,0004 toutes les hauteurs fournies par le baromètre désigné par E dans le tableau (pag. 345), quantité dont la colonne de mercure qu'il renfermoit, se tenoit plus basse que celle contenue dans l'autre baromètre A.

Les quatre thermomètres ont été comparés de même, et trouvés parfaitement d'accord à différentes températures.

Pendant les observations, les thermomètres libres ont été élevés au-dessus du sol autant qu'il a été possible, et préservés de

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