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Le cercle du diamètre A B C est coupé par les deux cercle des diamètres A B D', A Bo D', en quatre points qui s projètent sur le plan des trois centres A, B, C, aux poins 1,2,3, 4. Nous allons construire sur une figure à part ( Pl. D les quatre points 1,2,3, 4, et on trouvera de la mêine manière les douze autres points.

D'après ce qui a été dit ( art. 39 du Supplément), on a : Cercle du diamètre AB'C, coupé par les cer

cles des diamètres A'B'D', A'B'D; Cercle du diamètre AB'C', idem.

idem. Cercle du diamètre A'B'C', idem. ABD ABD Cercle du diamètre A'B'C, idem.

idem.

Dans la figure (Planche D), nous ne considérerons que les points d'intersection du cercle dont le diamètre est A' BC, et des cercles qui ont pour diamètres les droites A'B'D', ABD. Des douze droites lieux des sommets des cônes droits circonscrits aux quatre sphères données, nous ne rapporterons sur cette figure, que les trois droites S Sis", S R' R", S Nal; et les trois sommets F, f, g' des trois cônes droits circonscrits à la sphère A, qui ont pour bases les diamètres

A BC, A B° D', A B' D'. Nommant r, rl, ",", les rayons des quatre sphères données, R le rayon de la sphère tangente, po p's ph, p", les distances du centre de la sphère tangente aux centres des sphères données, on a les quatre équations, (Correspondance , tom. 2, pag. 63 )

R=r=po REN=p, RFN=p", REM=p", qui fournissent seize combinaisons ; ce qui prouve qu'en général ly a seize sphères qui peuvent toucher quatre sphères données.

En effet la première équation donne :

R-rp.

Les deux équations suivantes donnent quatre combinaisons ; et pour chacune de ces combinaisons, on a :

ou R-=p', ou R+"=p"; ce qui élève le nombre de combinaisons possibles à huit. On a

or la même raison huit combinaisons , lorsqu'on suppose dans

la première équation R tr=p; d'où il suit que quatre sphères données peuvent être touchées par une cinquième sphère de seize manières différentes.

Des seize sphères tangentes, cherchons celle dont le rayon R= ptr=p. +rl=p.tpl = p + !", c'est-à-dire, celle qui touche intérieurement les quatre sphères données. La construction qui détermine le centre de cette sphère, donne en même temps le centre et le rayon de la sphère qui touche intérieurement les quatre sphères données.

Ayant augmenté les rayons des trois sphères A, B, C, d'une quantité TT"(pl.D)prise arbitrairement, on regardera les points A, B, C, comme les centres de trois nouvelles sphères qui se couperont en un point, centre d'une sphère T, tangente aux sphères A, B, C; par le point de contact de cette sphère T, et de la sphère A, on mènera un plan tangent à cette dernière sphère, et ce plan coupera la droite S S' ST au point f, sommet du cône droit circonscrit à la sphère A , et qui la touche suivant le cercle du diamètre A Bo Co. Ce cercle contient les points de contact de la sphère A et de toutes les sphères qui peuvent toucher les trois sphères A, B, C extérieurement.

Considérant les trois sphères A, B, D, on construira de la même manière un second cercle du diamètre AR B° D, qui contient les points de contact de la sphère A et de toutes les sphères qui peuvent toucher les trois sphères A, B, D extérieurement. L'intersection de ces deux petits cercles de la sphère A détermine sur cette sphère le point de contact d'une cinquième sphère , qui la touche en même temps que les trois autres sphères B, C, D.

Les deux petits cercles des diamètres A'B'C', A'B'D', se coupant en deux points, dont les projections sur le plan des trois centres A, B, C, sont i et 2; le second point appartient à la sphère qui touche les quatre sphères données intérieurement. Si des points 1 et 2, on abaisse des perpendiculaires sur la droite AB, les points d'intersection 1', 2' de ces perpendiculaires et du diamètre A' B' , sont les projections des points communs aux deux petits cercles de la sphère A, sur le plan des trois centres A, B, D.

Toutes les sphères qui touchent les sphères A et B extérieurement, et la sphère D intérieurement, touchent la sphère A, suivant un cercle du diamètre A Bo Di. Pour déterminer ce diamètre , nommons r, n', w les rayons des sphères A, B, D, et supposons qu'on ait augmenté les rayons r , n' d'une quantité arbitraire TT' (pl. D); regardant les points A,B,D comme les centres de trois sphères qui ont pour rayons, la premièrer+ T'T,

la seconde, gol + T T' et la troisième, TT' - '; ces trois sphères se couperont en un point centre d'une sphere T du rayon TT', qui touchera les sphères A et B extérieurement, et la sphère D intérieurement. Cette sphère T touchera la sphère A en un point; si par ce point on mène un plan tangent à la sphère A, ce plan coupera la droite s ml poll en un point g', sommet du cône circonscrit à la sphère A, et qui touche cette sphère suivant le petit cercle du diamètre A' BDi. Le plan de ce petit cercle perpendiculaire à celui des trois centres A, B, D, coupe le petit cercle du diamètre A Bo De , en deux points qui se projètent en 3 et 4 sur le plan des trois centres A, B, C et en 3',4' sur le plan des trois centres A,B,D.

En raisonnant de la même manière, on verra ( Planche C) que la sphère A est touchée par un cône droit , qui a son sommet en g sur la droite S sis!, et par deux autres cônes droits qui ont leurs sommets, l'un en fi sur la droite S R' R", l'autre en g! sur la droite s my pli, et dont les bases sont des cercles des diamètres A'B'D', ABD'. Le cercle de contact de la sphère A et du premier cône, et les cercles de contact de la même sphère A et des deux autres cônes, se coupent en quatre points, qui se projètent sur le plan des trois centres A,B,C, suivant le diamètre A B C. Par deux de ces quatre points de la sphère A, il faut concevoir deux sphères, dont l'une touche les sphères A, B, D extérieurement, et la sphère Cintérieurement, et dont l'autre touche les sphères A, B, D intérieurement, et la sphère C extérieurement. Par les deux autres points de la sphère A, qui se projètent sur le diamètre A' B' C', on peut mener deus sphères telles que la première touchant les sphères A et B extérieurement, et les sphères C et D intérieurement, la seconde touche les sphères A et B intérieurement, et les sphères Cet D extérieurement.

Ayant déterminé le centre de la sphère qu'on a désignée (page précédente) par la lettre T, le plan mené par le centre perpendiculairement à la droite SS'S", contient (art. 34 du Suppl.) les centres de toutes les sphères qui peuvent toucher à-la-fois les trois sphères A, B, C extérieurement ou intérieurement, et par conséquent le centre de la sphère comprise dans cette série qui touche les quatre sphères A, B, C, D. Or, on a déterminé le point de contact de cette sphère et de la sphère A ; donc le rayon de la sphère A qui passe par ce point de contact, coupe le plan des centres perpendiculaire à la droite SSS", en un point centre de l'une des seize sphères, qui peuvent toucher les quatre sphères données A,B,C,D. D'ailleurs , connoissant le point de contact de l'une des seize sphères tangentes et de la sphère A, il est très-facile de le trouver sur les sphères

B, C, D, en se rappelant cette proposition, démontrée art. 29 du Supplément, que lorsqu'une sphère touche trois sphères données A, B, C, les droites menées par les points de contact, passent par l'un des sommets des cônes intérieurs qu extérieurs, circonscrits aux sphères données.

Si des quatre sphères données A, B, C, D une quelconque, (C par exemple), embrassoit les trois autres, auquel cas on n'auroit pas les sommets des cônes circonscrits à la sphère C et aux trois sphères A, B, D, alors on détermineroit sur la sphère A, un cercle du diamètre tel que A'B'C', en considérant deux sphères de rayons quelconque, qui toucheroient extérieurement les deux sphères A et B, et intérieurement la sphère C, et on construiroit les points de contact de ces sphères et de la sphère 4; la projection de ces deux points de contact sur le plan des trois centres A, B, C, appartiendroit au diamètre A B Ci.

Observations Barométriques correspondantes faites en oc

tobre 1811, d l' Aqueduc de Marly, et dans la plaine du Vesinet.

Pär M. PUISSANT.

Les observations suivantes ont été faites avec deux excellens baromètres de mêmes dimensions, construits par Fortin , et que M. Hachette avoit eu la bonté de me prêter. La première expésience a été faite le 13 octobre 1811; M. Hachette observoit à la station supérieure. Les jours suivans, deux de mes amis ont bien voulu m'aider à continuer ce travail. Les observations des stations supérieure et inférieure ont toujours été faites aux mêmes heures.

Nous avons eu soin de comparer entr'eux les deux baromètres, à diverses reprises et à différentes hauteurs; ce qui nous a fait connoître la nécessité d'augmenter de o",0004 toutes les hauteurs fournies par le baromètre désigné par É dans le tableau (pag. 345), quantité dont la colonne de mercure qu'il rensermoit , se tenoit plus basse que celle contenue dans l'autre baromètre A.

Les quatre thermomètres ont été comparés de même, et trouvés parfaitement d'accord à différentes températures.

Pendant les observations, les thermomètres libres ont été élevés au-dessus du sol autant qu'il a été possible, et préservés de

l'action des rayons directs et réfléchis du soleil. Les mêmes précautions oni été prises relativement aux thermomètres et aux cuveltes des baromètres.

Tous les nombres qui sont insérés dans le tableau sont des moyennes arithmétiques résultantes de trois lectures successives faites à des instans convenus.

Avant d'observer les hauteurs des baromètres, on lisoit les degrés de leurs thermomètres.

Un nivellement trigonométrique , fait avec toute l'exactitude

que
l'on

peut désirer, et qui porte avec lui sa verification, a donné pour la différence de niveau cherché 145,5 mètres.

Malgré ces précautions , ainsi que d'autres dont il est inutile de parler , nous n'avons pu nous procurer des observations qui fussent parfaitement exemptes d'anomalies. Les seules qui paroissent réunir assez bien les conditions requises, sont les observations des 19 et 23 octobre, parce que la marche des instrumens étoit alors plus régulière, et que les variations de densité de l'air se manifestoient dans le même sens aux deux stations,

tandis

que le contraire avoit eu lieu le 14 et le 15 da même mois. Ainsi, la différence de niveau, déterminée par les baromètres , et conclue des quatre meilleures observations, ne différe

que

de 1,6 de celle obtenue par la mesure trigonométrique.

M. Ramond , qui a discuté les cas les plus favorables à ce genre d'observations , et qui a établi des règles certaines pour les reconnoître, s'est convaincu, par un bien plus grand nombre d'expériences, de l'exactitude de la formule de M. Laplace , pour des hauteurs aussi petites que celles dont il s'agit ici. Voici ce que M. Ramond m'écrivit le 30 janvier dernier, en réponse à ce que je lui avais marqué relativement au peu de succès de nos premières observations barométriques.

« J'ai le plaisir de me trouver entièrement de votre opinion » sur la cause principale des erreurs que vous présentent vos ob» servations baroméiriques de Marly. Les erreurs du baromètre » et celles que la réfraction occasionnent ont la même origine, » savoir l'intercalation ou la juxta-position de couches d'air » qui sont hors du rang que leur assigneroit leur densité. Or » les causes qui troublent la régularité du décroissement, » sont beaucoup plus fréquentes et plus énergiques à la sur» face de la terre, et quand les deux stations du baromètre » se trouvent au niveau de grandes plaines, les indications de » cet instrument en sont souvent tellement altérés que la loi » qui sert de base à nos formules, cesse de leur devenir appli

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