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D'ailleurs dl=dR; donc

mPM - m CM=mCM - m PM,

MPM+mP'M=2 m C M.
Remplaçant chaque angle par l'arc qui le mesure, on aura

Mm+ Nn Mm + Rr

+

= 2 Mm.

2

2

or ,

on a

a

Réduisant Nn + Rr=2 Mm; les trois arcs Mm, Nn, Rr étant infiniment petits, -P

. р Substituant et divisant par

on trouve 40-P

4a-pl P

p'

Nn=Mm.4 a

, et Rr=Mm. 4a - p!

p'

Mm

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+

2

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p'

a

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P Lorsque a sera le quart du diamètre , p et pl seront les distances des foyers conjugués au miroir.

Il est facile de s'assurer que les quantités p et p' doivent être prises positivement lorsque les lignes qu'elles représentent sont dirigées dans la concavité du miroir , et négativement dans le cas contraire.

En considérant la sphère entière du miroir , le plan mené par le point lumineux perpendiculairement à l'axe du miroir divise ce miroir en deux parties telles, que le point lumineux est pour l'une de ces parties, situé entre le centre et la surface, et pour l'autre au-delà du centre. Les branches de caustiques qui correspondent à ces parties du miroir, ont évidemment pour tangente commune le rayon réfléchi correspondant au rayon incident perpendiculaire à l'axe. Ces rayons sont alors égaux entr'eux et à 2 a; le point correspondant de la caustique est évidemment un point de rebroussement.

Si la caustique doit avoir une asymptote, pl sera infini; on aura donc

ز

I

1

p = a; c'est-à-dire

que р.

i donc

le rayon

UL

incident qui se réfléchira suivant l'asimptote, devra être le quart de la corde totale. On peut le construire de la manière suivante :

Soit (pl. D, fig. 6) P le point lumineux qui doit être dans la concavité du miroir, puisque p est positif. On prendra PB=PC, et sur PB comme diamètre, on décrira un cercle qui coupera

le miroir aux points M et M.; les lignes PM et PM seront les rayons qui se réfléchiront suivant les asimptotes MK, M'K'. En effet, si l'on abaisse CD perpendiculaire sur PM , les triangles BMP, CPD seront égaux ; donc PM sera égal à PD, ou à la moitié de MP, ou enfin au quart de MN.

Cette construction fait voir que la caustique ne peut avoir d'asimptotes, ou, ce qui revient au même, de branches infinies , que dans le cas où la distance PC est plus grande que la

moitié du rayon.

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Des Caustiques par réfraction. Soient (pl. D', fig. c) P le point lumineux ; PM, Pm les deux

rayons incidens infiniment voisins, qui se réfractent suivant deux droites MS, ms, qui se coupent au point P! de la caustique par refraction.

Nommantr le rayon CM de la sphère, p le rayon incident PM, p' le rayon réfracté MP', 1ʻle rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction , 2 a la corde MN du cercle dont le rayon est r, et qui est dans la direction du

rayon

de lumière PM, 2 b la corde MS dirigée suivant le

rayon

réfracté MS, I l'angle d'incidence, Ř l'angle de réfraction, on a entre les quantités 1, Ril, a,b,r, les relations suivantes :

sin I (2) a=rcos I,
(1)1=
SIR'

(3){b=rcos R.

Mm + Nn dI = MPm + M Cm=

2

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Considérant les petits arcs Mm, N1, Ss, comme les cordes d'un même cercle, on a les proportions suivantes :

p to 2 a p:p + 2a:: Mm: Nn =

MIm. P

2b-p pl: 26 p' :: Mm: Ss =

Mina p'

dI

dR=

Mm.

Substituant ces valeurs de Nn et Ss, on a
dl=p+a. Mm,
pta

p'-6
р

p! L'équation (1) donne

dI icos R pp' + ap'
dR

ppl - po

cos /

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a'

bo 1 (4)

bla=

+

P p! Nommant c la tangente menée par le point lumineux P au cercle du rayon CM , on a (5)

c' =P(p +2a), ayant cinq équations entre les six quantités I, R, a, b, p,p', la valeur de l'une d'elles, de p' par exemple, sera déterminée lorsqu'on donnera la valeur de p.

Les signes des rayons p et p','l'un incident, et l'autre réfracté, dépendent de leur position par rapport à la surface refringente. Lorsque ces rayons sont du même côté par rapport à cette surface, ils sont de signes différens , et ils sont de mêmes signes dans le cas contraire. Examen de l'équation (4), dans quelques cas particuliers.

622 (4)

61

+

р p' 2° On suppose a = b =r;

Dans cette hypothèse , l'extrémité de p' est le point conjugué du point d'où part le rayon p; l'équation (4) devient

a

a

+

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2°. Le rayon incident se confond avec la tangente PM (fig. d) menée par le point lumineux P.

Dans ce cas a =0, et pl = b; c'est-à-dire que le point P! milieu de la corde MS=2b, appartient à la caustique.

ز

3o. rest infini.

T

Substituant dans l'équation (4) pour a et b leurs valeurs r cos I, rcos R, et supposant r=00

elle donne

cos’I

cos? R +2

=0. р

pl

(6)

Les valeurs de pet pl étant nécessairement de signes différens , on doit conclure que le point lumineux et la caustique sont du même côté de la surface réfringente.

4o. Pour avoir le point de rebroussement de la caustique, il faut supposer dans l'équation (6), I=0, et par conséquent R=0; on a alors p'=-pl, c'est-à-dire , que les distances du point

= lumineux et du point de rebroussement de la caustique à la surface réfringente, sont dans le rapport de l à i.

M. Hassenfratz a fait graver, pour l'usage de l'Ecole Polytechnique , deux planches de caustiques, d'après les dessins de M. Girard. La première planche contient six caustiques par réflexion , et la seconde douze caustiques par réfraction. Les points singuliers de ces courbes ont été déterminés par les constructions qui résultent de l'analyse précédente de M. Petit.

H. C.

a

MÉCANIQUE

Sur les Axes principaux , par M. LEFEBURE DE FOURCY

répétiteur-adjoint de l'École Polytechnique.

L'on sait de quelle importance sont en mécanique les axes principaux des corps. La propriété d'être des axes naturels de rotation les caraciérise de la manière la plus saillante. On les détermine encore lorsqu'on cherche les axes par rapport auxquels le moment d'inertie est un maximum ou un minimum. Énfin, l'on peut les considérer comme formant un système de coordonnées orthogonales par rapport auquel la somme des produits de chaque molécule par le rectangle de deux quelconques de ses coordonnées est égale à zéro. Cette proprieté, , qui sert immédiatementà simplifier les équations du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, va nous faire trouver les axes principaux, par un calcul qui réunit la symétrie à la simplicité.

Concevons par un point quelconque O d'un corps solide, trois es OX, OY, OZ, formant un systême de coordonnées rectanulaires; soient x=az,y=bz; =az, y=62; <= allz, y="z; :s équations de trois droites OXI, OY", OZ'formant un nouveau rstême d'axes rectangulaires, l'on aura itaa'+bb=0,1+aa!!+bb"=0,1 ta'a" + b'8"=0 (1).

our que ces droites soient les axes principaux du corps, il faut, n désignant par x', y', z', les coordonnées d'une molécule quelonque je relativement aux axes OX', OY', OZ', que l'on ait ena

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.

x'y'v=o, for' z'p=0, S. y' z' p=0....

(«) 'intégration devant embrasser toute l'étendue du corps.

Pour développer ces équations , je nommerai x, y, z, les coordonnées de la molécule pi relativement aux axes OX, OY, OZ; D la droite qui joint cette molécule à l'origine, et par d l'angle formé par cette ligne avec l'axe OX' , l'on aura

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l'on obtiendra cos d'en remarquant que la droite D fait avec OX,

у OY et OZ, des angles qui ont pour cosinus

D'D D

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i que les

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1

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; l'on

b Vitast bo'Vitastbi

et que par suite l'on a ax + by to

a x+by+z cod=

s; donc l'on a x= DVita'+bo

Vita2t6 a' x +by+z

a' x + 2 y +2, a de même y' =

et z' = Vital: 0

Vita" : +6"!

D'après ces valeurs, si l'on pose, pour abréger ,
Sox?r=F.S.gap=./.z*=h, foxy p=S".S. s z p=8'/.7% p=l',

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