construire par points l'image d'un objet vu par réflexion ou par réfraction, en regardant ces courbes comme les limites des polygones formes par leurs tangentes. M. Petit qui a rédigé avec soin les parties principales de l'optique, tant pour le lycée Bonaparte, que pour les élèves de l'Ecole Polytechnique, a trouvé un moyen facile de construire par points les caustiques dues à une réflexion et à une seule réfraction. Considérant deux rayons incidens infiniment voisins, qui partent d'un point lumineux, il nomme p la partie de ces rayons comprise entre le point lumineux et la surface réfléchissante ou réfringente; il suppose que ces deux rayons d'une longueur p, après s'être réfléchis ou réfractés, se rencontrent en un point; il nomme p' la distance de ce dernier point à la surface réfléchissante ou réfringente, et il trouve une relation entre p et p' telle, que la première de ces quantités étant connue, on puisse en déduire la seconde, en sorte que chaque point de la caustique est déterminé par les deux droites pet p'. H. C.

Des Caustiques par réflexion.

Soit (planc. D, fig. a) P le point lumineux que nous supposerons situé dans la concavité du miroir; PM un rayon incident, et MR le rayon réfléchi correspondant; Pm est un rayon incident infiniment voisin du premier, et mr le rayon réfléchi correspondant. Le point P' intersection de ces deux rayons réfléchis consécutifs, sera un point de la caustique. Pour en déterminer la position représentons par p la longueur du rayon incident PM, et par p' celle du rayon réfléchi PM. Faisons de plus MN ou MC=4 a. Si nous égalons la somme des angles du triangle PMC à celle des angles du triangle Pm C, nous aurons

or PMC

Pm C n'est autre chose que l'accroissement de l'angle d'incidence que nous pouvons représenter par d 1; on a

donc

dIm PM. -m CM.

Comparant de même les angles des triangles MCP' et m CP',

on aura

P'M C-P'm Cm CM-m P'M;

or P' MC-P' m C est l'accroissement de l'angle de réflexion, que nous représenterons par d R; donc

dRm CM- 272 n P'M.

D'ailleurs dI=dR; donc

mPM-mCM-m CM-m P'M,

MPM+mP'M=2m CM.

Remplaçant chaque angle par l'arc qui le mesure, on aura

Réduisant Nn + Rr≈ 2 Mm;

or, les trois arcs Mm, Nn, Rr étant infiniment petits,

Lorsque a sera le quart du diamètre, p et p' seront les distances des foyers conjugués au miroir.

Il est facile de s'assurer que les quantités p et p' doivent être prises positivement lorsque les lignes qu'elles représentent sont dirigées dans la concavité du miroir, et négativement dans le cas contraire.

En considérant la sphère entière du miroir, le plan mené par le point lumineux perpendiculairement à l'axe du miroir divise ce miroir en deux parties telles, que le point lumineux est pour l'une de ces parties, situé entre le centre et la surface, et pour l'autre au-delà du centre. Les branches de caustiques qui correspondent à ces parties du miroir, ont évidemment pour tangente commune le rayon réfléchi correspondant au rayon incident perpendiculaire à l'axe. Ces rayons sont alors égaux entr'eux et à 2 a; le point correspondant de la caustique est évidemment un point de rebroussement.

Si la caustique doit avoir une asymptote, p' sera infini; on aura donc = ; donc p = a; c'est-à-dire que le rayon

I

P

1

a

incident qui se réfléchira suivant l'asimptote, devra être le quart de la corde totale. On peut le construire de la manière suivante : Soit (pl. D, fig. b) Ple point lumineux qui doit être dans la concavité du miroir, puisque p est positif. On prendra PB—PC, et sur PB comme diamètre, on décrira un cercle qui coupera le miroir aux points M et M'; les lignes PM et P'M' seront les rayons qui se réfléchiront suivant les asimptotes MK, M'K'. En effet, si l'on abaisse CD perpendiculaire sur PM, les triangles BMP, CPD seront égaux; donc PM sera égal à PD, ou à la moitié de MP, ou enfin au quart de MN.

Cette construction fait voir que la caustique ne peut avoir d'asimptotes, ou, ce qui revient au même, de branches infinies , que dans le cas où la distance PC est plus grande que la moitié du rayon.

Des Caustiques par réfraction.

Soient (pl. D', fig. c) P le point lumineux; PM, Pm les deux rayons incidens infiniment voisins, qui se réfractent_suivant deux droites MS, m S, qui se coupent au point P' de la caustique par réfraction.

Nommant le rayon CM de la sphère, p le rayon incident PM, p' le rayon réfracté MP', l'le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction, 2 a la corde MN du cercle dont le rayon est r, et qui est dans la direction du rayon de lumière PM, 2 b la corde MS dirigée suivant le rayon réfracté MS, I l'angle d'incidence, R l'angle de réfraction, on a entre les quantités 1, R, 1, a, b, r, les relations suivantes : (2) Ja=rcos I,

(1)7=

sin I Sin R

d I = MPm+ MCm=

d RMCm-MP'm=

Considérant les petits arcs Mm, cordes d'un même cercle, on a les

pip+2a:: Mm: Nn=

sa valeur tirée des équations (2), (3), on a

Nommant c la tangente menée par le point lumineux P au cercle du rayon CM, on a

ayant cinq équations entre les six quantités I, R, a, b, p, p', la valeur de l'une d'elles, de p' par exemple, sera déterminée lorsqu'on donnera la valeur de p.

Les signes des rayons p et p', 'l'un incident, et l'autre réfracté, dépendent de leur position par rapport à la surface refringente. Lorsque ces rayons sont du même côté par rapport à cette surface, ils sont de signes différens, et ils sont de mêmes signes dans le cas contraire.

(4)

Examen de l'équation (4), dans quelques cas particuliers.

bla

1° On suppose a = b = r;

Dans cette hypothèse, l'extrémité de p'est le point conjugué du point d'où part le rayon p; l'équation (4) devient

+ P

2°. Le rayon incident se confond avec la tangente PM (fig. d) menée par le point lumineux P.

Dans ce cas ao, et p': = b; c'est-à-dire que le point P! milieu de la corde MS 26, appartient à la caustique.

3o. r est infini.

Substituant dans l'équation (4) pour a et b leurs valeurs rcos I, rcos R, et supposant r∞, elle donne

Les valeurs de pet p' étant nécessairement de signes différens, on doit conclure que le point lumineux et la caustique sont du même côté de la surface réfringente.

4. Pour avoir le point de rebroussement de la caustique, il faut supposer dans l'équation (6), I=o, et par conséquent R=0; on a alors p' — pl, c'est-à-dire, que les distances du point lumineux et du point de rebroussement de la caustique à la sur face réfringente, sont dans le rapport de là 1.

M. Hassenfratz a fait graver, pour l'usage de l'Ecole Polytechnique, deux planches de caustiques, d'après les dessins de M. Girard. La première planche contient six caustiques par réflexion, et la seconde douze caustiques par réfraction. Les points singuliers de ces courbes ont été déterminés par les constructions qui résultent de l'analyse précédente de M. Petit. H. C.

MÉCANIQUE.

Sur les Axes principaux, par M. LEFEBURE DE FOURCY répétiteur-adjoint de l'Ecole Polytechnique.

L'on sait de quelle importance sont en mécanique les axes principaux des corps. La propriété d'être des axes naturels de rotation les caractérise de la manière la plus saillante. On les détermine encore lorsqu'on cherche les axes par rapport auxquels le moment d'inertie est un maximum ou un minimum. Enfin, l'on peut les considérer comme formant un systémé de coordonnées orthogonales par rapport auquel la somme des produits de chaque molécule par le rectangle de deux quelconques de ses coordonnées est égale à zéro. Cette propriété, qui sert immédiatement à simplifier les équations du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, va nous faire trouver les axes principaux, par un calcul qui réunit la symétrie à la simplicité.

Concevons par un point quelconque O d'un corps solide, trois