axes OX, OY, OZ, formant un systême de coordonnées rectangulaires; soient x=az,y=bz; x = a' z, y = b' z; x = a'' z, y=b" z; les équations de trois droites OX', or', OZ' formant un nouveau systême d'axes rectangulaires, l'on aura 1+aa'+bb'=0,1+aa"+bb"=0,1+a'a"+b'b''=0 (1). Pour que ces droites soient les axes principaux du corps, il faut, en désignant par x', y', z', les coordonnées d'une molécule quelconque relativement aux axes OX', OY', OZ', que l'on ait en core l'intégration devant embrasser toute l'étendue du corps. Pour développer ces équations, je nommerai x, y, z, les coordonnées de la molécule relativement aux axes OX, OY, OZ; D la droite qui joint cette molécule à l'origine, et par l'angle formé par cette ligne avec l'axe OX', l'on aura xD cos♪ l'on obtiendra cos en remarquant que la droite D fait avec OX, OY et OZ, des angles qui ont pour cosinus, D y z D ; que les a et que par suite l'on a ; donc l'on a x'= a'x + b' y + z' 1 2 ax + by + z Vita2+b2 ; l'on a" x + b" y + z et z' = VI+a" 2+6"!! D'après ces valeurs, si l'on pose, pour abréger, ƒ•x2μ=ƒ‚S•y2μ=g,f.z*μ=h‚f.xyμ=f' ‚f. x z μ=g', f. y z μ=h'2 les équations (a) deviendront aa' f+bb' g+h+(ab' + a' b) f'+ (a+a' ) g' + (b + b1 ) k' = 0 ) a all f+bb g+h+ (a b'l + all b) f' + (a + all) g' + (b + b") h'=0> (a) aalƒ+b'b" g+h+(a'b''+a' 'b')f'+(a'+u'') ¿' + (ò' +b11) li' =0} Ces équations réunies aux équations (1), déterminent en général les six quantités a, b, a',b', a", b". Pour arriver à l'équation finale en a, multiplions la première des équations (2) par a", la deuxième par a', et retranchons celle-ci de la precédente; multiplions-les ensuite par b" et b', et retranchons encore la deuxième de la premiere, il viendra A..... B...... B... bll. a'' Sb (a' b'l — all b') ƒ + (a' — a") h + a (a' b" — a" b')ƒ' }+a (a' — a11) g' + b (a'— a'') 'h' + (a'b"— a'' b') l' = o Les mêmes opérations faites sur les deux premières équatious (1) donnent A ... B'.. - (a' a") + b ( a' b" — a'' b' ) = 0 ( bl — b" ) + a ( a' bꞌꞌ — a'' b' ) = 0 Entre les équations A et A' éliminant a'-a" et a' b" —a" b'; entre Bet B' éliminant pareillement b'b'! et a' b'' — a" b', l'on trouve bg-bh+af-abg'-bh'+h'o eta fah+bfl-a'g'+g'—abh'o. la dernière de ces équations donne a2g' + a (h — f)—g' Cette valeur mise dans la première conduit à l'équation finale F...-h' {arg'a (h—ƒ)—g'} • + {g—h-ag'}} {a3g'+a(h~f)—g'}+{af'+h'} {ƒ'—ah's S Cette équation paroît être du quatrième degré; mais il est facile de voir que le coefficient de 4 est nul: ainsi elle n'est que du troisième; donc elle donnera pour a au moins une valeur (361) réelle, et par suite une valeur réelle pour 6. En substituant ces valeurs de a et de 6 dans la première des équations (1) et (2), l'on aura pour a' et b' des valeurs réelles qui, substituées à leur tour dans la dernière des équations (1) et (2), feront trouver aussi des valeurs réelles pour a" et b". Donc pour chaque point d'un corps, il existe toujours un systême d'axes principaux. Les équations (1) et (2) étant symétriques relativement aux inconnues, il s'ensuit que l'équation F doit donner les valeurs de a, a' et a"; mais elle n'est que du troisième degré; donc, en général, il n'y a qu'un systême d'axes principaux.. Cependant il y a des cas particuliers où il peut en exister plusieurs. La discussion de ce cas est facile, et peut se faire de plu sieurs manières; nous ne nous y arrêterons pas. Des Polygones et des Polyèdres. M. Cauchy, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, ingénieur des Ponts et Chaussées, a présenté à l'Institut, en février 1811 et janvier 1812, deux beaux mémoires sur les polygones et les polyèdres ; ils seront imprimés dans le seizième cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique de cette année. On connoîtra l'objet de ces deux mémoires, par les rapports suivans que la Classe de l'Institut a approuvés, · Rapport sur un Mémoire de M. CAUCHY, concernant les Polyėdres, par M, Malus (6 mai 1811 ). La classe nous a chargés, M. Le Gendre et moi, de lui rendre compte d'un mémoire de M. Cauchy, renfermant différentes recherches sur les polyèdres. Ce mémoire est divisé en deux parties. Dans la première, M. Cauchy démontre qu'il n'existe pas d'autres polyèdres ré guliers, que ceux dont le nombre des faces est 4, 6, 8, 12 ou 20. M, Poinsot, dans un mémoire où il a donné la description de polygones et de polyèdres d'une espèce supérieure à celle qu'on a coutume de considérer, avoit déjà observé qu'on pouvoit former tous les polygones d'espèce supérieure, en prolongeant les côtés des polygones réguliers de première espèce. C'est en géné ralisant les principes renfermés dans le mémoire de M. Poinsot, que M. Cauchy est parvenu à faire dériver les polyèdres réguliers d'espèce supérieure de ceux de première espèce, ce qui l'a conduit d'une manière simple et analytique à la solution de la question qu'il s'étoit proposée. Il commence par prouver que, dans un ordre quelconque, on ne peut construire des polyèdres réguliers d'une espèce supérieure, qu'autant qu'ils résultent du prolongement des arêtes ou des faces des polyèdres réguliers du même ordre et de première espèce qui leur servent de noyau, et que, dans chaque ordre, les faces des polyèdres d'espèce supérieure doivent avoir le même nombre de côtés que celles des polyèdres de première espèce. Il suit de là que, comme il n'y a que cinq ordres de polyèdres réguliers de première espèce, on ne doit chercher que dans ces cinq ordres, des polyèdres réguliers d'espèce supérieure; en sorte que tous les polyèdres réguliers, de quelque espèce qu'ils soient, doivent être des tétraèdres, des hexaèdres, des octaèdres, dodécaèdres ou des icosaèdres. Après avoir donné la solution principale, M. Cauchy examine combien chaque ordre renferme d'espèces différentes, et il conclut de ses recherches qu'on ne peut former de polyèdres réguliers d'espèce supérieure que les quatre décrits par M. Poinsot. Dans la seconde partie de son mémoire, M. Cauchy généralise un théorême d'Euler, relatif à l'équation qui existe entre les différens élémens qui composent la surface d'un polyèdre. Euler avoit démontré que le nombre des sommets ajouté à celui des faces surpassoit de deux unités le nombre des arêtes. M. Cauchy a étendu ce théorême de la manière suivante : Si on décompose un polyèdre en tant d'autres que l'on voudra, en prenant à volonté dans l'intérieur de nouveaux sommets, somme faite du nombre des sommets et de celui des faces surpas sera d'une unité la somme faite du nombre des arêtes et de celui des polyèdres. la Le théorême d'Euler n'est qu'un cas particulier de celui-ci, dans lequel on suppose qu'on ne considère qu'un seul polyèdre. M. Cauchy, en décomposant le polyèdre, déduit de son théorême général un second théorême relatif à la géométrie plane. Si on prend une des faces du polyèdre pour base, et si on transporte sur cette face tous les autres sommets sans changer leur nombre, on obtient une figure plane composée de plusieurs polygones renfermés dans un contour donné. Dans ce cas, la somme faite du nombre des polygones et de celui des sommets surpasse d'une unité le nombre des droites qui forment les côtés de ces polygones. M. Cauchy parvient directement à ce résultat, en égalant à zéro, dans son théorême général, la quantite qui represente le nombre des polyèdres. Ce second théorême est, dans la géométrie plane, l'équivalent du premier dans la géométrie des polyèdres. Les démonstrations sur lesquelles M. Cauchy appuie ses théorêmes sont rigoureuses et exposées d'une manière élégante. Vos commissaires pensent que ces considérations sur les polygones et les polyèdres sont assez curieuses et assez neuves pour intéresser les géomètres, et que le mémoire de M. Cauchy mérite d'être approuvé par la classe et imprimé dans le Recueil des Savans étrangers. Rapport fait par M. Le Gendre; 17 février 1812. Il y a environ un an que M. Cauchy présenta à la classe un mémoire portant le même titre que celui-ci, dont l'objet étoit de généraliser un théorême d'Euler et de compléter la théorie d'une nouvelle espèce de polyèdres réguliers, découverte par M. Poinsot. Ce mémoire obtint l'approbation de la classe sur le rapport de M. Malus. On le regarda comme le fruit d'un talent déjà exercé, et qui devoit par la suite obtenir de plus grands succès. J'engageai alors l'auteur à continuer ses recherches sur les polyèdres, dans la vue de démontrer un théorême intéressant que supposent les définitions 9 et 10 du 11° livre d'Euclide, et qui n'est pas encore démontré. Ce théorême dont j'ai parlé fort au long dans les notes de ma géométrie, et auquel j'ai ajouté la restriction nécessaire, pour qu'il ne fût pas sujet à l'objection faite par Robert Simson dans son édition des Elémens d'Euclide, , peut s'énoncer de la ma nière suivante : << Deux polyèdres convexes sont égaux lorsqu'ils sont compris >> sous un même nombre de polygones égaux chacun à chacun » et disposés entr'eux de la même manière. » Le sens de ce théorême est qu'un polyèdre convexe étant donné, il est impossible de faire varier les inclinaisons mutuelles des plans qui le terminent, de manière à produire un second polyèdre convexe compris sous les mêmes faces et dis |