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les équations (a) deviendront a al f+bbs+h+(ab' + a' b) $+(a ta') g' +16+61) h'=) a all f+bb"gth tabli tallb)f'+(at all)g' + b+011) h'=o. aalf to blb1lgth +(all" ta'b')81+(a' tall)g' +(+b)h'=0

=o Ces équations réunies aux équations (1), déterminent en ga néral les six quantités a, b, a, b', a", ". Pour arriver à l'équation finale en a, multiplions la première des équations (2) par a", la deuxième par a', et retranchons celle-ci de la prece dente ; multiplions les ensuite par b" et b', et retranchons er core ia deuxième de la premiere, il viendra Sb (a'bll-all b') f+(a' - a")h ta(a'b" - a" b')!

.S) + . A.....

ab'is Itaal-a'l)g'+b(al-a'l)''+(a! 6"-a0') H= Şaca' 8" -a" b') 8-16 - 5") + b (a' bhl a!!L')! (

" f 6) h B......

-albl - 6") s' + (a' bhl a!! b')s! (6'-6"') h=; Les mêmes opérations faites sur les deux premières équatious (1) donnent

(a' - a") + 6( a' l" - ab')=0
-a

o B'...

- (b1-6") + a (a' l" - a" 3)=
(01 ) .

all!= Entre les équations A et A' éliminant a'mal' et a' l"a" b'; entre B et Béliminant pareillement b' - 6!! et a' bil - a' b',

a'b l'on trouve

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(

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bgmbh trafl-abg-bah'th'so et a firmah+bflamang'g'-abh'=o.

la dernière de ces équations donne

a’gi tah--f)-g! 2 =

f!-al Cette valeur mise dans la première conduit à l'équation finale P...-h{as g'+ach--)-84} + {g-h- ag'}}=.

{arg'tah-)-$'}+{afi+h} {f--akeses Cette équation paroît être du quatrième degré; mais il est facile de voir que le coefficient de a4 est nul : ainsi elle n'est que du troisième ; donc elle donnera pour a au moins une valeur

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réelle, et par suite une valeur réelle pour b. En substituant ces valeurs de a et de b dans la première des équations (1) et (2), l'on aura pour a' et b' des valeurs réelles qui, substiluées à leur tour dans la dernière des équations (1) et (2), seront trouver aussi des valeurs réelles pour a" et b". Donc pour chaque point d'un corps, il existe toujours un système d'axes principaux.

Les équations (1) et (2) étant symétriques relativement aux inconnues , il s'ensuit que l'équation F doit donner les valeurs de a , a' et a' ; mais elle n'esi que du troisième degré; donc, en général , il n'y a qu'un systême d'axes principaux..

Cependant il y a des cas particuliers où il peut en exister plus sieurs. La discussion de ce cas est facile , et peut se faire de plus sieurs mapières, nous ne nous y arrêterons pas.

Des Polygones et des Polyėdres.

M. Cauchy, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, ingénieur des Ponts et Chaussées, a présenté à l'Institut, en février 1811 et janvier 1812, deux beaux mémoires sur les polygones et les po1yèdres ; ils seront imprimés dans le seizième cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique de celte année. On connoîtra l'objet de ces deux mémoires , par les rapports suiyans que la Classe de l'Institut a approuvés,

Rapport sur un Mémoire de M. CAUCHY , concernant les

Polyedres , par M. Malus (6 mai 1811 ).

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La classe nous a chargés, M. Le Gendre et moi , de lui rendre compte d'un mémoire de M. Cauchy , renfermant différentes recherches sur les polyèdres.

Ce mémoire est divisé en deux parties. Dans la première , M. Cauchy démontre qu'il n'existe pas d'autres polyedres réguliers, que ceux dont le nombre des faces est 4,6,8, 12 ou 20.

M, Poinsot, dans un mémoire où il a donné la description de polygones et de polyèdres d'une espèce supérieure à celle qu'on a coutume de considérer , avoit déjà observé qu'on pouvoit for mer tous les polygones d'espèce supérieure , en prolongeant les côtés des polygones réguliers de première espèce. C'est en génér

ralisant les principes renfermés dans le mémoire de M. Poinsot, que M. Cauchy est parvenu à faire dériver les polyèdres réguliers d'espèce supérieure de ceux de première espèce, ce qui l'a conduit d'une manière simple et analytique à la solution de la question qu'il s'étoit proposée.

Il commence par prouver que, dans un ordre quelconque, on ne peut construire des polyedres réguliers d'une espèce supérieure, qu'autant qu'ils résultent du prolongement des arêtes ou des faces des polyèdres réguliers du même ordre et de première espèce qui leur servent de noyau , et que, dans chaque ordre , les faces des polyèdres d'espèce supérieure doivent avoir le même nombre de côtés que celles des polyèdres de première espèce.

Il suit de là que, comme il n'y a que cing ordres de polyèdres réguliers de première espèce, on ne doit chercher que dans ces cinq ordres, des polyèdres réguliers d'espèce supérieure; en sorte que tous les polyèdres réguliers, de quelque espèce qu'ils soient, doivent être des tétraèdres, des hexaèdres, des octaèdres, des dodécaèdres ou des icosaèdres.

Après avoir donné la solution principale, M. Cauchy examine combien chaque ordre renferme d'espèces différentes , et il conclut de ses recherches qu'on ne peut former de polyèdres réguliers d'espèce supérieure que les quatre décrits par M. Poinsot.

Dans la seconde partie de son mémoire, M. Cauchy gé. néralise un théorême d'Euler , relatif à l'équation qui existe entre les différens élémens qui composent la surface d'un polyèdre.

Euler avoit démontré que le nombre des sommets ajouté à celui des faces surpassoit de deux unités le nombre des arêtes.

M. Cauchy a étendu ce théorème de la manière suivante :

Si on décompose un polyèdre en tant d'autres que l'on voudra, en prenant à volonté dans l'intérieur de nouveaux sommets, la somme faite du nombre des sommets et de celui des faces

surpassera d'une unité la somme faite du nombre des arêtes et de celui des polyèdres.

Le théorême d'Euler n'est qu'un cas particulier de celui-ci, dans lequel on suppose qu'on ne considère qu'un seul polyèdre.

M. Cauchy, en décomposant le polyèdre, déduit de son théorême général un second theorême relatif à la géométrie plane. Si on prend une des faces du polyedre pour base , et si on transporte sur cette face tous les autres sommets sans changer leur nombre, on obtient une figure plane composée de plusieurs polygones renfermés dans un contour donné. Dans ce cas, la somme faite du

a

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nombre des polygones et de celui des sommets surpasse d'une unilé le nombre des droites qui forment les côtés de ces polygones. M. Cauchy parvient directement à ce résultat, en égalant à zéro , dans son théorême général, la quantite qui represente le nombre des polyèdres. Ce second théorêine est, dans la géométrie plane, l'équivalent du premier dans la géométrie des polyèdres.

Les démonstrations sur lesquelles M. Cauchy appuie ses théorêmes sont rigoureuses et exposées d'une manière élégante. Vos commissaires pensent que ces considérations sur les polygones et les polyèdres sont assez curieuses et assez neuves pour intéresser les géomètres, et que le mémoire de M. Cauchy mérite d'être approuvé par la classe et imprimé dans le Recueil des Savans étrangers.

Rapport fait par M. Le Gendre ; 17 février 1812.

Il y a environ un an que M. Cauchy présenta à la classe un mémoire portant le même titre que celui-ci , dont l'objet étoit de généraliser un théorême d'Euler et de compléter la théorie d'une nouvelle espèce de polyèdres réguliers, découverte par M. Poinsot. Ce mémoire obtint l'approbation de la classe sur le rapport de M. Malus. On le regarda comme le fruit d'un talent déjà exercé, et qui devoit par la suite obtenir de plus grands succès. J'engageai alors l'auteur à continuer ses recherches sur les polyèdres, dans la vue de démontrer un théorême intéressant que supposent les définitions 9 et 10 du 11° livre d’Euclide et qui n'est pas encore démontré.

Ce théorême dont j'ai parlé fort au long dans les notes de ma géométrie, et auquel j'ai ajouté la restriction nécessaire, pour qu'il ne fût pas sujet à l'objection faite par Robert Simson dans

à son édition des Elémens d’Euclide , peut s'énoncer de la manière suivante :

« Deux polyèdres convexes sont égaux lorsqu'ils sont compris

sous un même nombre de polygones égaux chacun à chacun » et disposés entr'eux de la même manière. »

Le sens de ce théorême est qu'un polyèdre convexe étant donné, il est impossible de faire varier les inclinaisons mutuelles des plans qui le terminent, de manière à produire un second polyèdre convexe compris sous les mêmes faces et dis

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posé de la même manière ; on peut bien former un second poIyèdre symétrique au premier et qui lui soit égal dans toutes

ses parties constituantes, mais les faces y seroient disposées dans un ordre inverse autour de chaque angle solide, et ces deux solides ne pourroient être superposés. Ainsi ce cas ne fait aucune exception à la proposition générale.

C'est sans doute un problême plus que déterminé, que celui de construire un polyèdre avec des faces données et asseinblées suivant un ordre donné; mais l'analyse ne s'applique pas avec succès à ce genre de problême, il n'y a pas précisément de caractère analytique qui distingue un polyèdre convexe d'un polyèdre qui a des angles rentrans. D'ailleurs l'analyse d'où l'on devroit conclure qu'un seul polyedre satisfait à la question, ne manqueroit pas

d'être extrêmement compliquée. Il faut donc savoir en pareil cas se tracer une route particulière pour parvenir à la soIulion; ce n'est que par une profonde méditation du sujet et par des réductions à l'absurde qu'on peut espérer de réussir dans ces sortes de recherches qui, pour la difficulté et pour le genre de méthodes , ont quelque analogie avec celles qui s'offrent à chaque pas dans la théorie des nombres.

En donnant une idée de la difficulté de la question que nous avions proposée à M. Cauchy, nous mettons la classe à portée d'apprécier le mérite de la solution qu'il en a donnée dans le mémoire dont nous avons à rendre compte.

Ce mémoire est divisé en deux parties : la première contient huit théorêmes ' sur les polygones convexes rectilignes ou sphériques. La seconde en contient cinq sur les angles solides et les polyedres convexes. Mais ce dernier est l'objet principal du Mémoire, et les autres ne doivent être considérés que comme des lemmes nécessaires à la démonstration de celui-ci.

Dans la première partie , l'auteur considère les variations qui peuvent avoir lieu dans les angles d'un polygone convexe, rectiligne ou sphérique, dont les côtés demeurent constans. Si le : polygone n'avoit que trois côtés , il ne pourroit y avoir aucune variation dans les angles. Ainsi on suppose constamment que

le polygone a au moins quatre côtés ; alors on voit que sans cesser d'éire convexe ,

il peut, en conservant les mêmes côtés, prendre une infinité de formes différentes. J'avois donné deux propositions sur cet objet dans la première édition de ma Géométrie; M. Cauchy a porté jusqu'à huit le nombre de ces propositions, et les a démontrées d'une manière qui lui est propre.

Dans la seconde partie , l'auteur applique d'abord aux angles solides les résultats qu'il avoit trouvés pour les polygones sphé

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