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les équations (a) deviendront a a' f+661 6+h+(ab! + a' b) $+(a +a')g' +16+61)h'=) a al f+bbg+h+(ab" ta" b)f'+(ata)g' +16+61) = o(a) aa"f+6618th+(all"'+a'b']$+(a' +4") g'+16 +61)=o)

Ces équations réunies aux équations (1), déterminent en général les six quantités a, b, a, 6', a", ". Pour arriver à l'equation finale en a , multiplions la première des équations (2) par a', la deuxième par a', et retranchons celle-ci de la precedente ; multiplions-les ensuite par b" et b', et retranchons encore la deuxième de la premiere, il viendra

(albllcall b')f+(a' - a"')h ta(a'l" - a" b')S" A...... Ita(al-a'l)g' tbla-a'l)' +(a!.8"-alu) =

=0 Sala' b" -a" b') 8-16 – 6") h + b (a' l" a"! U')' B......

-a(61 - 6")' + (a' b' - a' b') g' - (8'_6") h=0 Les mêmes opérations faites sur les deux premières équatious (1) donnent

(a' - a") + 6( a' l" - a" ')=0 B'...........- (01-b") + a( a' b" - a" b')=o

Entre les équations A et l'éliminant a'-al et al 1/" -a" b'; entre B et Béliminant pareillement b' - 6!! et a' bl-a" 6', l'on trouve

bg-bhtaf-abg-bah'th'=o et afrah+bflmmag'+ol-abh'=o.

la dernière de ces équations donne

aog' + a (k-M-s';

f!-all

O

Cette valeur mise dans la première conduit à l'équation finale P...-h{asg' talh-f)-8}• + {g-h- ag'}

{arg'ta(h-37–51}+{afi+h'} {flmahej Cette équation paroît être du quatrième degré; mais il est facile de voir que le coefficient de a4 est nul : ainsi elle n'est que du troisième ; donc elle donnera pour a au moins une valeur réelle, et par suite une valeur réelle pour b. En substituant ces valeurs de a et de b dans la première des équations (1) et (2), l'on aura pour a' et bl des valeurs réelles qui, substituées à leur tour dans la dernière des équations (1) et (2), seront trouver aussi des valeurs réelles pour a" et bil. Donc pour chaque point d'un corps, il existe toujours un système d'axes principaux.

Les équations (1) et (2) étant symétriques relativement aux inconnues , il s'ensuit que l'équation F doit donner les valeurs de a , a' et a" ; mais elle n'esi que du troisième degré; donc, en général , il n'y a qu'un systême d'axes principaux.

Cependant il y a des cas particuliers où il peut en exister plus sieurs. La discussion de ce cas est facile, et peut se faire de plu. sieurs mapières; nous ne nous y arrêterons pas.

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M. Cauchy, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, ingénieur des Ponts et Chaussées , a présenté à l'Institut, en février 1811 et janvier 1812, deux beaux mémoires sur les polyg, nes et les

polyèdres ; ils seront imprimés dans le seizième cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique de cette année. On connoîtra l'objet de ces deux mémoires, par les rapports suivans que la Classe de l'Institut a approuvés.

Rapport sur un Mémoire de M. CAUCHY , concernant les

Polyedres, par M. Malus (6 mai 1811 ).

La classe nous a chargés, M. Le Gendre et moi, de lui rendre compte d'un mémoire de M. Cauchy, renfermant différentes recherches sur les polyedres.

Ce mémoire est divisé en deux parties. Dans la première M. Cauchy démontre qu'il n'existe pas d'autres polyedres réguliers, que ceux dont le nombre des faces est 4,6,8, 12 ou 20.

M, Poinsot, dans un mémoire où il a donné la description de polygones et de polyèdres d'une espèce supérieure à celle qu'on a coutume de considérer , avoit déjà observé qu'on pouvoit for mer tous les polygones d'espèce supérieure, en prolongeant les côtés des polygones réguliers de première espèce. C'est en génér

ralisant les principes renfermés dans le mémoire de M. Poinsot, que M. Cauchy est parvenu à faire dériver les polyèdres réguliers d'espèce supérieure de ceux de première espèce, ce qui l'a conduit d'une manière simple et analytique à la solution de la question qu'il s'étoit proposée.

Il commence par prouver que, dans un ordre quelconque, on ne peut construire des polyedres réguliers d'une espèce supérieure, qu'autant qu'ils résultent du prolongement des arêtes ou des faces des polyèdres réguliers du même ordre et de première espèce qui leur servent de noyau , et que , dans chaque ordre , les faces des polyedres d'espèce supérieure doivent avoir le méme nombre de côtés que celles des polyèdres de première espèce.

Il suit de là que, comme il n'y a que cinq ordres de polyedres réguliers de première espèce , on ne doit chercher que dans ces cinq ordres, des polyèdres réguliers d'espèce supérieure; en sorte que tous les polyèdres réguliers, de quelque espèce qu'ils soient, doivent être des tétraèdres, des hexaèdres, des octaèdres, des dodécaèdres ou des icosaèdres.

Après avoir donné la solution principale, M. Cauchy examine combien chaque ordre renferme d'espèces différentes , et il conclut de ses recherches qu'on ne peut former de polyèdres réguliers d'espèce supérieure que les quatre décrits par M. Poinsot.

Dans la seconde partie de son mémoire, M. Cauchy genéralise un théorême d'Euler , relatif à l'équation qui existe entre les différens élémens qui composent la surface d'un polyedre.

Éuler avoit démontré que le nombre des sommets ajouté à celui des faces surpassoit de deux unités le nombre des arêtes.

M. Cauchy a étendu ce théorème de la manière suivante :

Si on décompose un polyèdre en tant d'autres que l'on voudra, en prenant à volonté dans l'intérieur de nouveaux sommets, la somme faite du nombre des sommets et de celui des faces surpassera d'une unité la somme faite du nombre des arêtes et de celui des polyèdres.

Le théorême d'Euler n'est qu'un cas particulier de celui-ci, dans lequel on suppose qu'on ne considère qu'un seul polyèdre.

M. Cauchy, en décomposant le polyèdre, déduit de son théorême général un second théorême relatif à la géométrie plane. Si on prend une des faces du polyedre pour base , et si on transporte surcette face tous les autres sommets sans changer leur nombre, on obtient une figure plane composée de plusieurs polygones renfermés dans un contour donné. Dans ce cas , la somme faite du nombre des polygones et de celui des sommets surpasse d'une unité le nombre des droites qui forment les côtés de ces polygones. M. Cauchy parvient directement à ce résultat, en égalant à zéro, dans son théorème général, la quantite qui represente le nombre des polyedres. Ce second théorêine est, dans la géométrie plane, l'équivalent du premier dans la géométrie des polyèdres.

Les démonstrations sur lesquelles M. Cauchy appuie ses théorêmes sont rigoureuses et exposées d'une manière élégante. Vos commissaires pensent que ces considérations sur les polygones et les polyèdres sont assez curieuses et assez neuves pour intéresser les géomètres , et que le mémoire de M. Cauchy mérite d'être approuvé par la classe et imprimé dans le Recueil des Savans étrangers.

Rapport fait par M. Le Gendre ; 17 février 1812.

Il y a environ un an que M. Cauchy présenta à la classe un mémoire portant le même titre que celui-ci, dont l'objet étoit de généraliser un théorême d'Euler et de compléter la théorie d'une nouvelle espèce de polyèdres réguliers, découverte par M. Poinsot. Ce mémoire obtint l'approbation de la classe sur le rapport de M. Malus. On le regarda comme le fruit d'un talent déjà exercé, et qui devoit par la suite obtenir de plus grands succès. J'engageai alors l'auteur à continuer ses recherches sur les polyedres, dans la vue de démontrer un théorême intéressant que supposent les définitions 9 et 10 du 11° livre d’Euclide, et qui n'est pas encore démontré.

Ce théorême dont j'ai parlé fort au long dans les notes de ma géométrie, et auquel j'ai ajouté la restriction nécessaire, pour qu'il ne fût pas sujet à l'objection faite par Robert Simson dans son édition des Elémens d’Euclide , peut s'énoncer de la manière suivante ;

« Deux polyèdres convexes sont égaux lorsqu'ils sont compris » sous un même nombre de polygones égaux chacun à chacun » et disposés entr'eux de la même manière. »

Le sens de ce théorême est qu'un polyèdre convexe étant donné, il est impossible de faire varier les inclinaisons mutuelles des plans qui le terminent, de manière à produire un second polyèdre convexe compris sous les mêmes faces et disposé de la même manière ; on peut bien former un second poIyèdre symétrique au premier et qui lui soit égal dans toutes

ses parties constituantes, mais les faces y seroient disposées dans un ordre inverse autour de chaque angle solide, et ces deux solides ne pourroient être superposés. Ainsi ce cas ne fait aucune exception à la proposition générale.

C'est sans doute un problême plus que déterminé, que celui de construire un polyèdre avec des faces données et assemblées suivant un ordre donné; mais l'analyse ne s'applique pas avec succès à ce genre de problème, il n'y a pas précisément de caractère analytique qui distingue un polyedre convexe d'un polyèdre qui a des angles rentrans. D'ailleurs l'analyse d'où l'on devroit conclure qu'un seul polyedre satisfait à la question, ne manqueroit pas d'être extrêmement compliquée. Il faut donc savoir en pareil cas se tracer une route particulière pour parvenir à la solution; ce n'est que par une profonde méditation du sujet et par des réductions a l'absurde qu'on peut espérer de réussir dans ces sortes de recherches qui, pour la difficulté et pour le genre de méthodes, ont quelque analogie avec celles qui s'offrent à chaque pas dans la théorie des nombres.

En donnant une idée de la difficulté de la question que nous avions proposée à M. Cauchy, nous mettons la classe à portée d'apprécier le mérite de la solution qu'il en a donnée dans le mémoire dont nous avons à rendre compte.

Ce mémoire est divisé en deux parties : la première contient huit théorêmes sur les polygones convexes rectilignes ou sphériques. La seconde en contient cinq sur les angles solides et les polyèdres convexes. Mais ce dernier est l'objet principal du Mémoire, et les autres ne doivent être considérés que comme des lemmes nécessaires à la démonstration de celui-ci.

Dans la première partie , l'auteur considère les variations qui peuvent avoir lieu dans les angles d'un polygone convexe, rectiligne ou sphérique, dont les côtés demeurent constans. Si le polygone n'avoit que trois côtés , il ne pourroit y avoir aucune variation dans les angles. Ainsi on suppose constamment que

le polygone a au moins quatre côtés ; alors on voit que sans cesser d'être convexe , il peut, en conservant les mêmes côtés, prendre une infinité de formes différentes. J'avois donné deux propositions sur cet objet dans la première édition de ma Géométrie; M. Cauchy a porté jusqu'à huit le nombre de ces propositions, et les a démontrées d'une manière qui lui est propre.

Dans la seconde partie , l'auteur applique d'abord aux angles solides les résultats qu'il avoit trouvés pour les polygones sphé

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