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SUR

L’ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE,

Rédigée par M. HACHETTE.

No. 5. Janvier 1813. (2. volume.)

Tulle , le 15 septembre 1812.

S. Ier.

GÉOMÉTRIE DE LA RÈGLE;

Par M. BRIANCHON, Officier d'artillerie.

PROBLÊME.

I.

« Décrire une section conique assujettie à passer par n points » et à toucher 5 in droites données. » (n ne peut avoir que l'une des six valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5.)

Voici quelques-uns des cas pour lesquels ce problême peut être résolu avec la règle seule.

II. n=o. On connoît cinq droites que la courbe doit toucher, c'est-à-dire qu'on veut inscrire une section conique à un pentagone donné. Les cinquième et huitième numéros du premier volume de la Correspondance contiennent une méthode pour déterminer, sans compas, non-seulement une infinité d'autres tangentes , mais encore les points de contact de chacune de ces tangentes. Les points où le pentagone donné est touché par la courbe , s'obtiennent aussi par des intersections de lignes droites,

III.

P'l.I.

n=1. On a pour conditions quatre droites tangentes AB,BC, Fig.1. CE, EA, et un point D de la courbe placé sur l'une CE de ces

droites. Ce qui revient à inscrire une section dans un quadrilatère ABCE, dont un des côtés CE doit toucher la courbe en un point connu D. (Fig. 1, pl. 1.)

Construction. Joignez, par une droite indéfinie, le point de contact D avec l'un des sommets opposés du quadrilatere donne, avec A par exemple; puis, d'un point quelconque de AD, tirez aux sommets B, C, des droites prolongees suffisanıment pour couper b et c, respectivement, les côtés, ou les prolongemens des côtés CE, ÉA: la ligne droite be sera tangente à la courbe cherchée, eton en déterminera le point de contact avec la règle seulement. (Cinquième cahier du premier volume, page 151.)

Scholie.

Si b se confond avec le sommet E, c sera le point de contact de E A. Donc on peut trouver les trois autres points de contingence du quadrilatère ABCE sans faire usage du compas.

IV.

Fig. 3.

n=2. Trois tangentes BC, CE, EB sont données, ainsi que les points de contact D, A des deux dernières CE,

EB,

, respectivement.

Construction.

D'un point pris à volonté sur l'indéfinie AD, menez des droites aux sommets B, C, du triangle connu BCE, et prolongez-les, s'il le faut, pour qu'elles rencontrent en b et c, respectivement, les côtés opposés CE, EB; la droite be sera tangente à la section conique demandée , et on en obtiendra le point de contact, comme il a été dit précédemment (9. III , scholie). Le point où BC touche la courbe se trouve sur la droite qui joint le sommet E avec le point d'intersection de CA et BD.

V.

Fig. 3.

n= 3. Déterminer une section conique qui touche deux droites BI, DI, et passe par trois points B, D, C, dont les deux

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