Page images
PDF
EPUB

premiers, B, D, sont situés, respectivement, l'un sur la première, l'autre sur la seconde droite.

Construction. Soit I le point de concours des deux droites condues BI, DI. Ayant tiré les indéfinies CB, CD, on tracera arbitrairement une droite qui passe par I, et coupe en Het K, respectivement, les côtés CB, CD de l'angle BCD ; et l'intersection F, des deux droites HD, KB, appartiendra à la courbe qu'on s'est proposé de construire. Pour avoir maintenant la tangente en F, par par

le point de jonction des deux diagonales du quadrilatere inscrit BCDF, menez une droite qui coupe en P et Q, respectivement, les deux droites BI, DI; PF et QC seront tangentes à la section conique en Fet C respectivemeni.

Het

VI.

n = 4. On donne quatre points B, C, D, E, de la courbe, Fig. 40 et, de plus, une tangente BI passant par l'un, B, de ces points.

Construction.

Tracez les indéfinies BC, CD; et par le point I, où la tangente donnée est rencontrée par , menez à volonté une droite prolongée suffisamment pour couper en Het K , respectivement, les deux côtés BC, CD, de l'angle BCD. Joignez ensuite Het E, K et B par des droiles dont le point de concours F sera un de ceux de la section conique.

Ayant ainsi cinq points B, C, D, E, F, de la courbe , la fig. 4 montre par quelle construction simple on déterinine la tangente en l'un quelconque, B, de ces cinq points.

VII.

n=5. Circonscrire une courbe du second ordre à un pentagone donné (1 volume de la Correspondance, no. 8, p. 310).

VIII. Revenons sur l'hypothèse n = 1. Ce cas peut être résolu avec Fig. 5. la règle, quand le point donné D se trouve sur l'une, BE, des deux diagonales du quadrilatère circonscrit ABCE.

Construction.
Par les extrémités, A, C, de l'autre diagonale, et par D,

menez les droites indéfinies AD, CD, qui coupent en a et c les côtés CE, AE, respectivement. Soit R le point de rencontre de AC et ac; la droite RD touchera la courbe en D, et ainsi la question est réduite à celle du 9. III.

IX.

Fig. 6.

Dans l'hypothèse n= 4, la construction s'effectue aussi sans compas , lorsque la tangente donnée IT passe par l'un , 1, des points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit BCDE.

Construction. R étant le point de concours des deux autres côtés opposés, et O celui des deux diagonales du quadrilatère connu BCDE, tracez l'indéfinie RO qui, par son intersection avec IT, déterminera le point T où cette tangente IT doit toucher la section conique. Le problème est donc ramené à ceux des G. VI et VII.

X.

Quelques-uns de ces problèmes sont traités spécialement dans les cours d'architecture. Consultez , à cet égard , un ouvrage de Blondel, iutitulé : Résolution des quatre principaux Problêmes d'Architecture ; au Louvre , 1673, in-folio.

XI.

Toutes les constructions précédentes se déduisent de la propriété bien connue des hexagones inscrits aux courbes du second degré. Il paroît que cette propriété a été découverte par Pascal, qui se contenta de l'indiquer dans son Essai sur les Coniques, publié en 1640. Elle a depuis été démontrée et reproduite sous d'autres formes par plusieurs géomètres ; et cette diversité dans la manière d'énoncer une même proposition a beaucoup contribué à en faire connoître toute la fécondité. Tout porte à croire que ce théorême fondamental est le même que celui de l'hexagone mystique, sur lequel Pascal avoit établi tout un traité de sections coniques, qui ne nous est pas parvenu. (Voyez , dans les Euvres de cet auteur, une lettre écrite par Leibnitz et placée à la fin du 5€ ! ou dernier volume de l'édition de 1779.)

XII.

L'hexagone de Pascal conduit à cet autre théorême général :
s Sion construit une suite de triangles dont les sommets soient

» respectivement sur les droites données, et dont les deux » premiers côtés, prolongés , s'il le faut, passent respectivement » par deux points donnés, tous les derniers côtés de ces triangles » toucheront une même courbe du second ordre dont les points » de contact pourront s'obtenir avec la règle seulement.»

Cette proposition est démontrée sous un autre énoncé, dans le 13°. cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, pag. 301, 3. IX.

La courbe enveloppée par les troisièmes côtés de ces triangles variables se réduit à un point dans les deux cas suivans :

1°. Quand les trois droites fixes se croisent toutes en un même point (c'est le théorême du 9. I. de la page 297 du 13. cahier);

20. Lorsque la droite qui joint les deux points donnés passe par le point de concours des deux droites fixes qui comprennent tous les derniers côtés des triangles mobiles. Ce cas particulier n'est autre que la cent trente-neuvième proposition de Pappus , qu'on retrouve dans le 1er, vol. de la Correspondance (89. cahier, pag. 308), et dans le 10°. cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, pag. 13.

Analyse de plusieurs Mémoires de Géométrie ; lue à la pre

miere Classe de l'Institut, le 14 décembre 1812, par Ch. DUPIN, Capitaine en premier au Corps du Génie maritime.

Vers la fin de 1805 , au milieu d'un voyage que je dus faire pour me rendre de la Hollande en Italie où j'étais appelé, je commençai les recherches dont j'ai l'honneur de vous présenter les résultats.

Je les ai continuées pendant 1806 à Gênes, et pendant 1807 à Toulon, toujours dans les momens de loisir que me laissait mon service.

Au commencement de 1808 ;'obtins de suivre l'amiral Gantheaume dans les Iles Ioniennes , et d'y rester. Toujours aux. extrémités de l’Einpire, je me suis vu forcé, par des circonstances uniques peut être, de me livrer à mes recherches ina ématiques, je dirai presque sans secours, sans conseils, sans livres même. Il in'a fallu souvent épuiser mes forces pour retrouver des vérités déjà connues , ou les démontrer de nouveau. Enfin, sans cesse occupé par inille objets divers et commande par

les devoirs de mon état, c'est le travail d'un ingénieur que je vous présente, et non le fruit des méditations d'un savant.. J'annonce ainsi que je me bornerai à des principes mathématiques qui ne seront pas d'une grande élévation, mais dont l'usage.

dans les arts peut être toujours utile et quelquefois important.

Mon objet principal est de développer la théorie de la courbure des surfaces, et celle des contacts du même ordre ; puis de montrer à-la-fois, par des explications nombreuses puisées dans les travaux des services publics, et l'utilité dont peut être cette même théorie , et les moyens généraux de s'en servir.

J'ai donc divisé cet ouvrage en deux parties, la théorie et les applicalions : chacune d'elles est composée de cinq mémoires. Les trois premiers , et les seuls dont je doive entretenir la Classe aujourd'hui , traitent de la courbure des surfaces considérée à partir d'un point unique ; les deux suivans envisagent cette courhure sur toute l'étendue des surfaces.

J'ai développé séparément la même théorie, et par la géométrie pure, et par l'application de l'analyse, sans figures, sans constructions accessoires ou préliminaires. J'avois, pour suivre cette méthode, les plus grands et les plus beaux exemples, dans les traités de géométrie et de mécanique publiés depuis peu d'années par nos mathématiciens les plus illustres. Mais pour donner la même généralité aux méthodes de la géométrie rationnelle, il m'a fallu chercher souvent une route, pour ainsi dire nouvelle, et je me hâte d'en prévenir; afin qu'on me pardonne d'être resté trop au-dessous de mon sujet en la suivant.

Je vais maintenant exposer les principaux résultats auxquels je crois ètre parvenu.

Je démontre, d'abord, par la géométrie pure, un principe évident pour tous ceux qui n'y ont pas profondément réfléchi: c'est que toute étendue à deux dimensions, je veux dire toute surface , ne peut généralement avoir en chacun de ses points plus d'un seul plan tangent, et qu'en chaque point'elle est su:ceptible d'avoir une tangence, sous toutes les directions possibles, avec un seul et même plan : c'est précisément celui qu'on appelle le plan tangent.

Passant ensuite aux contacts du second ordre , j'examine les conditions nécessaires pour qu'un tel contact ait lieu entre les surfaces, à partir d'un point qui leur est commun, et sous toutes les directions possibles.

Il existe toujours une infinité de surfaces du second degré, qui peuvent osculer ainsi une surface quelconque, en chacun de ses points ( qui n'est pas un point singulier).

Or, parmi toutes ces osculairices du second degré, il en est encore une infinité ayant pour axe la normale de la surface au point donné qui, par conséquent, est un des sommets de ces osculatrices.

Et comme au sommet d'une surface du second degré, se croisent à angle droit deux sections planes principales, l'une dont la courbure est un maximum, l'auire un minimum (relativement

à toutes les sections normales ), toutes les propriétés de la courbure des surfaces, trouvées par Euler et par M. Monge, se présentent ici comme les conséquences nécessaires de cette première remarque.

Ainsi, par exemple, les deux sections principales de l'osculatrice du second degré sont celles du maximum et du minimum de courbure; elles sont tangentes aux sections analogues de la surface osculée; elles sont d'ailleurs à angle droit.

Doncen chaque point d'une surface quelconque non singulier), pour toutes les sections normales, il y a simplement deux directions, l'une de plus grande et l'autre de moindre courbure; et ces deux directions sont constamment à angle droit. Les courbes tracées par M. Monge, tangentiellement à l'une de ces directions, et les courbes qu'il a tracées tangentiellement à la seconde direction, forment donc deux systemes de lignes trajectoires orthogonales : ce sont les lignes de courbure.

De plus, dans le cas général, où les axes d'une surface du second degré sont inégaux, les seules normales qui puissent couper un des axes , sont dans les deux sections principales qui contiennent cet axe : Donc aussi sur les surfaces quetconques, à partir d'une première normale, on ne peut trouver de normales qui la rencontrent, que

dans deux directions différentes, l'une suivant la plus grande, l'autre suivant la moindre courbure; et ces deux directions sont constamment orthogonales. Ces normales, qui se rencontrent consécutivement, vont former deux séries de surfaces développables, celles d'une série traversant à angle droit toutes celles de l'autre série ; les normales elles-mêmes seront les intersections de ces développables, etc.

Voilà comment, par la simple substitution d'une osculatrice du second degré, aux surfaces quelconques , un facile enchainement de conséquences nous conduit aux propriétés les plus générales de la courbure des surfaces.

Mais il ne suffit pas de connoître des théorêmes remarquables sur cette courbure, il faut, dans tous les cas, savoir la mesurer, pour en conserver les données, et la reproduire au besoin : c'est ce que nous allons bientôt faire.

Après avoir déduit ces premières vérités du rapprochement des surfaces quelconques avec les surfaces du second degré, je compare entr'elles les surfaces les plus générales, et je cherche les conditions de leurs contacts de différens ordres : voici le théorême fondamental de celle seconde partie.

Si nous prenons un point sur une surface générale, et que, duplan langent en ce point à la surface, parient des ordonnées, ou rectilignes, ou curvilignes , qui, suivant une loi quelconque, ayent leur point d'application sur la surface;

« PreviousContinue »