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Ces points d'application restant toujours à la même distance du plan tangent; enfin, les ordonnées n'ayant de fixe que leur origine sur ce plan, et variant d'ailleurs arbitrairement, et d'étendue , et de forme , et de direction dans l'espace :

Pourvu qu'à partir du point donné , aucune des ordonnées ne soit tangente à la surface primitive.

Premièrement, quelle que soit la transformation et la transposition imprimées au système des ordonnées, l'infinité des surfaces ainsi produites seront, au point donné, osculatrices de la primitive; elles auront avec elle un contact du second ordre.

Secondement, Si les nouvelles ordonnées sont à leur origine tangentes aux ordonnées primitives , c'est-à-dire , ont avec elles un contact du premier ordre, l'infinité des surfaces ainsi produites auront au point donné un contact du troisième ordre avec la surface primitive.

Troisièmement, si les nouvelles ordonnées ont à leur origine un contact du second ordre avec les ordonnées primitives, l'infinité des surfaces ainsi produites, auront, au point donue, un contact du quatrième ordre avec la surface primitive.

Et généralement, l'ordre du contact des nouvelles surfacesavec la primitive sera de deux unites plus grand que celui du contact des ordonnées à leur commune origine.

Et, de pius , soit que les surfaces primitive ou dérivées, soient continues ou discontinues, les propriétés que nous venons d'indiquer ne cesseront pas d'avoir lieu dans toute leur étendue.

La première conséquence générale qu'il est possible de tirer de ces principes , c'est que, si deux surfaces ont un contact d'un ordre quelconque suisunt toute une ligne courbe , deux sections planes faites dans les deux surfaces tangentiellement à cette courbe , ont, à leur point d'attouchement sur elle, un contact d'un ordre immédiatement supérieur.

Ainsi, par exemple , circonscrivons le cylindre à la sphère, il n'aura qu'un contact du premier ordre avec elle; or le petit cercle et l’ellipse que va tracer un plan tangent au cercle de contact des deux surfaces, cette ellipse, dis-je, et ce petit cercle auront toujours au point d'altouchement un contact du second ordre. De là résulte

encore,

comme une conséquence immédiate, que sur une surface quelconque, en regardant le cercle usculateur d'une section normale, comme le grand cercle osculateur d'une sphère , les rayons des petits cercles tangens au grand au point donné, sont les rayons des sections obliques de la surface, dirigées dans le plan de ces petits cercles. Ainsi les rayons des sections obliques sont, sur le plan de ces sections, la projection du rayon de courbure des sections normales : théorême déjà connu.

L'avantage de ces diverses propriétés de l'étendue est de

des sur

pouvoir, au moyen d'une surface unique , simple, facile à considérer, déterminer tout ce qui regarde la mesure de la courbure des surfaces les plus générales. Ainsi la sphère qui déjà vient de nous faire connaître la loi qui ramène la courbure des sections obliques à celle des sections. normales ; la sphère peut aussi nous conduire à la détermination des rayons des sectionsnormales d'abord des surfaces du second degré, et, par suite , faces les plus générales : puisque, comme nous l'avons démontré, ces dernières peuvent être osculées par une infinité de surfaces du second degré.

Voici comment je parviens à déterminer les rayons de courbure des surfaces du second degré pour un quelconque de leurs points. = Je conçois le plan tangent en ce point, et, par le centre, le plan diametral qui lui est parallèle; je trace les deux axes de la section faite par ce dernier plan sur la surface; je les transporte, parallèlement à leur position primitive, du centre au point donné : cela pose,

Le grand axe est tangent à la ligne de moindre courbure qui passe par ce point.

Le petit axe est tangent à la ligne de plus grande courbure qui passe par ce point.

Ensuite une troisième proportionnelle à la distance du centre au plan tangent et au demi-grand axe, est le rayon de moindre courbure.

Une troisième proportionuelle à la distance du centre au plan tangent et au demi petit axe, est le rayon de plus grande courbure.

Enfin, si nous transportions semblablement, sur le plan tangent, un diamètre quelconque de la section diametrale, il seroit tangent à une certaine section normale; or le rayon de cette section normale seroit encore une troisième proportionnelle à la distance du centre au plan tangent, et à la moitié de ce diamètre.

La simplicité de ces déterminations doit les rendre d'autant plus utiles aux applications de l'ingénieur et de l'artiste , qu'ici l'analyse couduit à des résultats , faciles sans doute, mais d'une complication de calculs véritablement effrayante.

Il faut maintenant transporter ces vérités aux surfaces les plus générales. Mais il convient pour cela de recourir à de nouveaux principes : ils constituent ce que j'appelle la théorie des tangentes conjuguées. Cette théorie et ses applications forment l'une des parties principales du travail que j'ai l'honneur de vous soumettre; et je crois devoir, avant de la faire connaître, réclamer de nouveau l'alfention et l'indulgence de la Classe.

Concevons qu'une surface développable touche une surface

générale à double courbure, dans toute l'étendue d'une certaine courbe. Je me place en un point de cette courbe , et je considère 1°. la tangente à cette courbe, 2o, la droite, qui, en ce paint, est l'arête de la surface développable. L'une de ces droiles est déterminée de position dès que l'autre l'est; et pour exprimer leur corrélation, quelle qu'elle soit d'ailleurs, je les appelle tangentes conjuguées. Nous venons donc de former un systéme de tangentes conjuguées.

A présent, concevons une seconde surface développable, pareillement circonscrite à la surface générale , mais telle, que la nouvelle courbe de contact soit tangente à la droite arele de la première développable; alors, aussi , la droite arête de la seconde développable sera tangenle à la première courbe de contact.

Ces deux droites sont donc à-la-fois et respectivement pour les deux développables et pour les deux courbes de contact, et des arêtes et des tangentes : ce qui déjà justifie leur dénomination de tangentes conjuguées.

Appliquons un moment ces considérations:

Lorsqu'une batterie rasante est placée sur une colline, la ligue magistrale, ou la direction de la batterie , est la courbe de contact d'une surface développable circonscrite au terrain de la colline, et qui va íracer en avant la ligne de démarcation des points soumis au feu de la batterie, et de ceux au contraire, qui s'en trouvent défilés par la seule configuration de la colline. La ligne des feux, dirigee sur celle développable, et la direction de la batterie, forment précisément un systême de tangentes conjuguées sur la surface de la colline : donc cette ligne de feux étant connue, pour enfiler la batterie par d'autres feux, il faudra se diriger sur la tangente conjuguée à celle ligne. Je n'offre cet exemple que pour rendre sensible mon idée, parce qu'une telle méthode ne convient qu'aux recherches du cabinet, ou bien à des opérations exéculées à loisir sur le terrain même; mais à la guerre il faut suivre une tout autre marche. Poursuivons.

La direction donnée d'une tangente entraine, il est vrai , la détermination de sa tangente conjuguée ; mais rien ne détermine la première tangente : si donc on suppose qu'elle prenne tour-à-tour, ur le plan tangent, toutes les directions imagimiables antour du point donne, à chacune d'elles correspondra une nouvelle tangente conjuguée. En suivant celle methode , pous allons trouver , pour un seul point de la surface primitive à double courbure, une infiniié de systèmes différens de langentes conjuguées.

Il esi facile d'apercevoir que ces différens systêmes dépendent essentiellement de la forme de la surface à partir du point

donné ; ils sont des élémens secondaires de la courbure : cherchons donc la chaîne qui les rattache aux élémens mêmes de cette courbure des surfaces; et d'abord tous les systèmes de langentes conjuguées, appartenant au même point d'une surface, doivent être liés entr'eux par une loi unique et constante; la voici :

Quelle que soit la forme de la surface primitive, chacun de ses points peut être regardé comme le centre d'une certaine courbe du second degre, tracée sur le plan tangent, et telle, que chacun des systèmes de tangentes conjuguées correspondant à ce point, est un des systèmes de diamètres conjugués de cette courbe, que j'appelle indicatrice; parce qu'elle specifie, parce qu'elle indique complètement la forme de la courbure des surfaces, à partir du point qui lui sert de centre.

Mais parmi tous les systemes de diamètres conjugués, il en est un où les deux diamètres se coupent à angle droit, c'est celui des axes: le système des tangentes conjuguees représenté par ces axes , sera celui des deux tangentes aux lignes de plus grande et de moindre courbure.

Je vais maintenant, en peu de mols, exposer quelques propriétés des tangentes conjuguées et de l'indicatrice.

Les rayons des sections normales de la sursace sont directement proportionnels aux quarrés des diamètres de l'indicatrice tangens à ces sections...... Il suit delà , que, si l'on fait deux sections normales dirigées suivant deux tangentes conjuguées, la somme des deux

rayons

de courbure de ces sections sera constante et égale à Ja somme des rayons de courbure de la surface elle-même:c'est une équation du premier degré entre ces rayons. Dans la partie analytique de notre théorie, nous faisons un trèsgrand usage de cette équation, qui simplifie et les considérations et les calculs.

Mais le plus grand avantage de l'indicatrice n'est pas de conduire à quelques propriétés plus ou moins remarquables, de la courbure des surlaces; c'esi d'offrir pour tous les cas un moyen vraiment élémentaire de discuter et de déterminer cette courbure.

Suivant que l'indicatrice est une ellipse ou une hyperbole , les deux courbures de la surface sont dirigées dans le même sens ou en sens opposés ; et suivans ces deux cas, tous les rayons des sections normales sont dirigés dans le même sens, ou bien première série de rayous l'est dans un sens , et tous les rayons des sections conjuguées dans un sens opposé : par conséquent les deux rayons de chaque système de sections normales conjuguées , seront simultanément , dans tous les syslêmes, de même signe ou de signe différent, et des-lors, ou leur somme ou leur différence constante et égale à la somme ou à la différence des

une

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deux rayons de courbure de la surface, suivant que ces rayons principaux sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire.

Dans le premier cas, où, comme nous venons de le dire, l'indicatrice est une ellipse , si cette ellipse devient un cercle, le point qui correspond alors à l'indicatrice est un point singulier dont la considération est importante. Lorsque ces points, dont l'indicatrice est circulaire, sont isolés sur la surface, ils en sont ce qu'on appelle des ombilics'; lorsqu'ils forment une courbe continue, c'est la ligne des courbures égales. Nous avons cherché à développer la théorie de ces points singuliers, par une analyse qui nous a conduit à des résuliats

que nous croyons

nouveaux. Passons maintenant au cas où l'indicatrice est une hyperbole; les asymptotes de cette indicatrice sont deux droiies infiniment remarquables : chacune d'elles représente à elle seule un système de deux tangentes conjuguées ; chacune d'elles représente, en outre, toute une surface développable circonscrite à la surface donnée, et qui devroit la toucher tangentiellement à cette asymptote; enfin ces deux asymptoles ont pour caractère d'avoir, avec la surface donnée, vou pas un simple attouchement comme les autres tangentes, mais un contact du second ordre.

Les lignes asymptotiques, je veux dire les courbes par-tout tangentes à l'un des asymptotes de quelqu'indicatrice, ont avec les Jignes de courbure des relations bien singulières : d'abord une des lignes de courbure divise en deux parties égales un des angles formés par les lignes asymptotiques ; l'autre ligne de courbure divise en deux parties égales l'angle supplémentaire de celui-là.

Par conséquent la connaissance des lignes asymptotiques conduit immédiatement, pour chaque point, à la connoissance de la direction des lignes de courbure.

Observons bien, d'ailleurs, que les lignes des deux courbures se coupent constamment à angle droit : l'angle qu'elles forment n'indique aucune relation entre les deux courbures de la surface; mais il n'en est pas ainsi de la direction des lignes asymptotiques; car elle fait toujours connaître immédiatement le rapport des deux rayons de courbure de la surface. Il est égal au cube de la tangente du demi angle formé par

les Jignes asymptotiques. Ce résultat peut être souvent utile dans la géométrie descriptive et ses applications aux arts.

Les surfaces du second degré, qui ont leurs courbures dirigées en sens opposés, vont nous rendre sensibles ces généralités. Les surfaces de cette classe peuvent, comme on sait, ètre décrites de deux manières différentes par une ligne droite. Eh bien, ces deux droites génératrices qui passent ainsi par chaque point, sont les lignes asymptotiques mémes , qui correspondent à ce point: ainsi les lignes de courbure des hyperboloïdes du second degré

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