à toutes les sections normales), toutes les propriétés de la courbure des surfaces, trouvées par Euler et par M. Monge, ́se présentent ici comme les conséquences nécessaires de cette première remarque.

Ainsi, par exemple, les deux sections principales de l'osculatrice du second degré sont celles du maximum et du minimum de courbure; elles sont tangentes aux sections analogues de la surface osculée; elles sont d'ailleurs à angle droit.

Donc en chaque point d'une surface quelconque (non singulier), pour toutes les sections normales, il y a simplement deux directions, l'une de plus grande et l'autre de moindre courbure; et ces deux directions sont constamment à angle droit. Les courbes tracées par M. Monge, tangentiellement à l'une de ces directions, et les courbes qu'il a tracées tangentiellement à la seconde direction, forment donc deux systêmes de lignes trajectoires orthogonales: ce sont les lignes de courbure.

De plus, dans le cas général, où les axes d'une surface du second degré sont inégaux, les seules normales qui puissent couper un des axes, sont dans les deux sections principales qui contiennent cet axe: Donc aussi sur les surfaces quel conques, à partir d'une première normale, on ne peut trouver de normales qui la rencontrent, que dans deux directions différentes, l'une suivant la plus grande, l'autre suivant la moindre courbure; et ces deux directions sont constamment orthogonales. Ces normales, qui se rencontrent consécutivement, vont former deux séries de surfaces développables, celles d'une série traversant à angle droit toutes celles de l'autre série; les normales elles-mêmes seront les intersections de ces développables, etc.

Voilà comment, par la simple substitution d'une osculatrice du second degré, aux surfaces quelconques, un facile enchaînement de conséquences nous conduit aux propriétés les plus générales de la courbure des surfaces.

Mais il ne suffit pas de connoître des théorêmes remarquables sur cette courbure, il faut, dans tous les cas, savoir la mesurer, pour en conserver les données, et la reproduire au besoin : c'est ce que nous allons bientôt faire.

Après avoir déduit ces premières vérités du rapprochement des surfaces quelconques avec les surfaces du second degré, je compare entr'elles les surfaces les plus générales, et je cherche les conditions de leurs contacts de différens ordres : voici le théorême fondamental de cette seconde partie.

Si nous prenons un point sur une surface générale, et que, du plan tangent en ce point à la surface, partent des ordonnées, ou rectilignes, ou curvilignes, qui, suivant une loi quelconque, ayent leur point d'application sur la surface;

Ces points d'application restant toujours à la même distance du plan tangent; enfin, les ordonnées n'ayant de fixe que leur origine sur ce plan, et variant d'ailleurs arbitrairement, et d'étendue, et de forme, et de direction dans l'espace :

Pourvu qu'à partir du point donné, aucune des ordonnées ne soit tangente à la surface primitive.

Premièrement, quelle que soit la transformation et la transposition imprimées au systême des ordonnées, l'infinité des surfaces ainsi produites seront, au point donné, osculatrices de la primitive; elles auront avec elle un contact du second ordre.

Secondement, Si les nouvelles ordonnées sont à leur origine tangentes aux ordonnées primitives, c'est-à-dire, ont avec elles un contact du premier ordre, l'infinité des surfaces ainsi produites auront au point donné un contact du troisième ordre avec la surface primitive.

Troisièmement, si les nouvelles ordonnées ont à leur origine un contact du second ordre avec les ordonnées primitives, l'infinité des surfaces ainsi produites, auront, au point donué, un contact du quatrième ordre avec la surface primitive.

Et généralement, l'ordre du contact des nouvelles surfaces avec la primitive sera de deux unités plus grand que celui du contact des ordonnées à leur commune origine.

Et, de pius, soit que les surfaces primitive ou dérivées, soient continues ou discontinues, les propriétés que nous venons d'indiquer ne cesseront pas d'avoir lieu dans toute leur étendue.

La première conséquence générale qu'il est possible de tirer de ces principes, c'est que, si deux surfaces ont un contact d'un ordre quelconque suivant toute une ligne courbe, deux sections planes faites dans les deux surfaces tangentiellement à celle courbe, ont, à leur point d'attouchement sur elle, un contact d'un ordre immédiatement supérieur.

Ainsi, par exemple, circonscrivons le cylindre à la sphère, il n'aura qu'un contact du premier ordre avec elle; or le petit cercle et l'ellipse que va tracer un plan tangent au cercle de contact des deux surfaces, cette ellipse, dis-je, et ce petit cercle auront toujours au point d'attouchement un contact du second ordre.

De là résulte encore, comme une conséquence immédiate, que sur une surface quelconque, en regardant le cercle osculateur d'une section normale, comme le grand cercle osculateur d'une sphère, les rayons des petits cercles tangens au grand au point donné, sont les rayons des sections obliques de la surface, dirigées dans le plan de ces petits cercles. Ainsi les rayons des sections obliques sont, sur le plan de ces sections, la projection du rayon de courbure des sections normales: théorême déjà connu.

L'avantage de ces diverses propriétés de l'étendue est de

pouvoir, au moyen d'une surface unique, simple, facile à considérer, déterminer tout ce qui regarde la mesure de la courbure des surfaces les plus générales. Ainsi la sphère qui déjà vient de nous faire connaître la loi qui ramène la courbure des sections obliques à celle des sections normales; la sphère peut aussi nous conduire à la détermination des rayons des sections normales d'abord des surfaces du second degré, et, par suite, des surfaces les plus générales: puisque, comme nous l'avons démontré, ces dernières peuvent être osculées par une infinité de surfaces du second degré.

Voici comment je parviens à déterminer les rayons de courbure des surfaces du second degré pour un quelconque de leurs points. Je conçois le plan taugent en ce point, et, par le centre, le plan diametral qui lui est parallèle; je trace les deux axes de la section faite par ce dernier plan sur la surface; je les transporte, parallèlement à leur position primitive, du centre au point donné: cela posé,

Le grand axe est tangent à la ligne de moindre courbure qui passe par ce point.

Le petit axe est tangent à la ligne de plus grande courbure qui passe par ce point.

Ensuite une troisième proportionnelle à la distance du centre au plan tangent et au demi-grand axe, est le rayon de moindre courbure.

Une troisième proportionuelle à la distance du centre au plan tangent et au demi petit axe, est le rayon de plus grande courbure.

Enfin, si nous transportions semblablement, sur le plan tangent, un diamètre quelconque de la section diametrale, il seroit tangent à une certaine section normale; or le rayon de cette section normale seroit encore une troisième proportionnelle à la distance du centre au plan tangent, et à la moitié de ce

diamètre.

La simplicité de ces déterminations doit les rendre d'autant plus plus utiles aux applications de l'ingénieur et de l'artiste, qu'ici l'analyse conduit à des résultats, faciles sans doute, mais d'une complication de calculs véritablement effrayante.

Il faut maintenant transporter ces vérités aux surfaces les plus générales. Mais il convient pour cela de recourir à de nouveaux principes: ils constituent ce que j'appelle la théorie des tangentes conjuguées. Cette théorie et ses applications forment l'une des parties principales du travail que j'ai l'honneur de vous soumettre; et je crois devoir, avant de la faire connaître, réclamer de nouveau l'attention et l'indulgence de la Classe.

Concevons qu'une surface développable touche une surface

générale à double courbure, dans toute l'étendue d'une certaine courbe. Je me place en un point de cette courbe, et je considère 1°. la tangente à cette courbe, 2o, la droite, qui, en ce point, est l'arête de la surface développable. L'une de ces droites est déterminée de position dès que l'autre l'est; et pour exprimer leur corrélation, quelle qu'elle soit d'ailleurs, je les appelle tangentes conjuguées. Nous venons donc de former un systéme de tangentes conjuguées.

A présent, concevons une seconde surface développable, pareillement circonscrite à la surface générale, mais telle, que la nouvelle courbe de contact soit tangente à la droite arête de la première développable; alors, aussi, la droite arête de la seconde développable sera tangente à la première courbe de

contact.

Ces deux droites sont donc à-la-fois et respectivement pour les deux développables et pour les deux courbes de contact, et des arêtes et des tangentes: ce qui déjà justifie leur dénomination de tangentes conjuguées.

Appliquons un moment ces considérations:

Lorsqu'une batterie rasante est placée sur une colline, la ligue magistrale, ou la direction de la batterie, est la courbe de contact d'une surface développable circonscrite au terrain de la colline, et qui va iracer en avant la ligne de démarcation des points soumis au feu de la batterie, et de ceux au contraire, qui s'en trouvent défilés par la seule configuration de la colline. La ligne des feux, dirigée sur celle développable, et la direction de la batterie, forment précisément un systême de tangentes conjuguées sur la surface de la colline : donc cette ligne de feux étant connue, pour enfiler la batterie par d'autres feux, il faudra se diriger sur la tangente conjuguée à cette ligne. Je n'offre cet exemple que pour rendre sensible mon idée, parce qu'une telle méthode ne convient qu'aux recherches du cabinet, ou bien à des opérations exécutées à loisir sur le terrain même; mais à la guerre il faut suivre une tout autre marche. Poursuivons.

La direction donnée d'une tangente entraîne, il est vrai, la détermination de sa tangente conjuguée; mais rien ne détermine la première tangente: si done on suppose qu'elle prenne tour-à-tour, sur le plan tangent, toutes les directions imaginables autour du point donné, à chacune d'elles correspondra une nouvelle tangente conjuguée. En suivant cette méthode, nous allons trouver, pour un seul point de la surface primitive à double courbure, une infinité de systémes différens de tangentes conjuguées.

Il est facile d'apercevoir que ces différens systêmes dépendent essentiellement de la forme de la surface à partir du point

donné; ils sont des élémens secondaires de la courbure: cherchons donc la chaîne qui les rattache aux élémens mêmes de cette courbure des surfaces; et d'abord tous les systêmes de tangentes conjuguées, appartenant au même point d'une surface, doivent être liés entr'eux par une loi unique et constante; la

voici :

Quelle que soit la forme de la surface primitive, chacun de ses points peut être regardé comme le centre d'une certaine courbe du second degré, tracée sur le plan tangent, et telle, que chacun des systêmes de tangentes conjuguées correspondant à ce point, est un des systêmes de diamètres conjugués de cette courbe, que j'appelle indicatrice; parce qu'elle spécifie, parce qu'elle indique complètement la forme de la courbure des surfaces, à partir du point qui lui sert de centre.

Mais parmi tous les systêmes de diamètres conjugués, il en est un où les deux diamètres se coupent à angle droit, c'est celui des axes: le systême des tangentes conjuguées représenté par ces axes, sera celui des deux tangentes aux lignes de plus grande et de moindre courbure.

Je vais maintenant, en peu de mots, exposer quelques propriétés des tangentes conjuguées et de l'indicatrice.

Les rayons des sections normales de la surface sont directement proportionnels aux quarrés des diamètres de l'indicatrice tangens à ces sections. . . . . Il suit delà, que, si l'on fait deux sections normales dirigées suivant deux tangentes conjuguées, la somme des deux rayons de courbure de ces sections sera constante et égale à la somme des rayons de courbure de la surface elle-même: c'est une équation du premier degré entre ces rayons. Dans la partie analytique de notre théorie, nous faisous un trèsgrand usage de cette équation, qui simplifie et les considérations et les calculs.

Mais le plus grand avantage de l'indicatrice n'est pas de conduire à quelques propriétés plus ou moins remarquables, de la courbure des surfaces; c'est d'offrir pour tous les cas un moyen vraiment élémentaire de discuter et de déterminer cette courbure.

Suivant que l'indicatrice est une ellipse ou une hyperbole, les deux courbures de la surface sont dirigées dans le même sens ou en sens opposés ; et suivans ces deux cas tous les rayons des sections normales sont dirigés dans le même sens, ou bien une première série de rayons l'est dans un sens et tous les rayons des sections conjuguées dans un sens opposé par conséquent les deux rayons de chaque systême de sections normales conjuguées, seront simultanément, dans tous les systêmes, de même signe ou de signe différent, et des-lors, ou leur somme ou leur différence constante et égale à la somme ou à la différence des