deux rayons de courbure de la surface, suivant que ces rayons principaux sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire. Dans le premier cas, où, comme nous venons de le dire, l'indicatrice est une ellipse, si cette ellipse devient un cercle, le point qui correspond alors à l'indicatrice est un point singulier dont la considération est importante. Lorsque ces points, dont l'indicatrice est circulaire, sont isolés sur la surface, ils en sont ce qu'on appelle des ombilics; lorsqu'ils forment une courbe continue, c'est la ligne des courbures égales. Nous avons cherché à développer la théorie de ces points singuliers, par une analyse qui nous a conduit à des résultats que nous croyons nouveaux.

Passons maintenant au cas où l'indicatrice est une hyperbole; les asymptotes de cette indicatrice sont deux droites infiniment remarquables: chacune d'elles représente à elle seule un systême de deux tangentes conjuguées; chacune d'elles représente, en outre, toute une surface développable circonscrite à la surface donnée, et qui devroit la toucher tangentiellement à cette asymptote; enfin ces deux asymptoles ont pour caractère d'avoir, avec la surface donnée, non pas un simple attouchement comme les autres tangentes, mais un contact du second ordre. Les lignes asymptotiques, je veux dire les courbes par-tout tangentes à l'un des asymptotes de quelqu'indicatrice, ont avec les lignes de courbure des relations bien singulières: d'abord une des lignes de courbure divise en deux parties égales un des angles formés par les lignes asymptotiques; l'autre ligne de courbure divise en deux parties égales l'angle supplémentaire de celui-là. Par conséquent la connaissance des lignes asymptotiques conduit immédiatement, pour chaque point, à la connoissance de la direction des lignes de courbure.

Observons bien, d'ailleurs, que les lignes des deux courbures se coupent constamment à angle droit l'angle qu'elles forment n'indique aucune relation entre les deux courburés de la surface; mais il n'en est pas ainsi de la direction des lignes asymptotiques; car elle fait toujours connaître immédiatement le rapport des deux de courbure de la surface.

rayons

Il est égal au cube de la tangente du demi angle formé par les lignes asymptotiques. Ce résultat peut être souvent utile dans la géométrie descriptive et ses applications aux arts.

Les surfaces du second degré, qui ont leurs courbures dirigées en sens opposés, vont nous rendre sensibles ces généralités. Les surfaces de cette classe peuvent, comme on sait, ètre décrites de deux manières différentes par une ligne droite. Eh bien, ces deux droites génératrices qui passent ainsi par chaque point, sont les lignes asymptotiques mêmes, qui correspondent à ce point: ainsi les lignes de courbure des hyperboloïdes du second degré

coupent, partout, en deux parties égales, les angles formés par les droites des deux générations de ces hyperboloïdes. Mais il y a bien d'autres conséquences qu'on peut déduire de la considération des lignes asymptotiques, relativement à la courbure des surfaces gauches: je me contenterai d'en indiquer une seule qui prendra quelqu'intérêt, parce qu'elle rappellera les recherches et le nom d'un illustre géomère.

M. Delagrange a fait connaître que les surfaces dont les deux courbures sont partout égales et dirigées en sens contraires, est toujours telle, que son aire entre une ou plusieurs courbes limites données, est un minimun. J'ajouterai maintenant que ces surfaces ont pour autre caractère geométrique, 1°. que les lignes asymptotiques forment constamment sur elles un systême de trajectoires orthogonales; 2°. qué partout leurs lignes de courbure font un angle de 50°. centigrades avec les lignes asymptotiqués: je me contenterai d'observer que la surface gauche de la vis rectangulaire, ou celle de l'escalier à rampe circulaire, jouissent de ces diverses propriétés; ce qui présente un moyen facile de tracer leurs lignes de courbure, qui, dans ce cas, offrent à l'architecture une décorarion aussi simple qu'élégante.

Jusqu'ici nous avons supposé que l'indicatrice dût être une ellipse ou une hyperbole; elle pourrait être une parabole. Alors la surface n'auroit au point donné ses deux courbures ni dans le même sens, ni en sens opposés; elle serait développable. Chaque arête rectiligne représenteroit à elle seule, pour chacun de ses points, toute une série complète de tangentes; et toute autre tangente de la surface, tracée à partir du même point, serait nécessairement conjuguée à cette droite : enfin l'on parviendrait, par ces considérations, à toutes les propriétés des surfaces développables.

En suivant cette route, j'ai ramené la discussion générale de la courbure des surfaces, au simple examen des formes diverses qu'affectent les lignes courbes du second degré ; et ces lignes sont si simples, si faciles à considérer, que, par leur moyen, la théorie de la courbure des surfaces semble devoir cesser d'appartenir à la géométrie transcendante, et rentrer dans la partie élémentaire de l'application de l'algèbre à la géométrie.

Après être parvenu aux divers résultats que je viens d'indiquer, par des considérations purement géométriques, il a fallu les exposer par l'analyse : c'est l'objet du deuxième et du troisième mémoires.

Par des développemens tirés du théorême de Taylor, dans les fonctions à trois variables, je démontre les propriétés générales. sur les contacts des surfaces dont les ordonnées éprouvent certaines variations déterminées, comme nous l'avons indiqué. Ensuite les

équations des tangentes conjuguées, et les conditions d'obliquité ou d'orthogonalité de ces tangentes, m'ont donné d'abord leurs propriétés communes, en second lieu celles particulières aux lignes de courbures ; et par quelques artifices d'analyse, je suis retombé sur les équations données par M. Monge; je l'ai fait, afin qu'on vît l'identité de ses conséquences avec les miennes, et que celles-ci, de la sorte, acquissent une confiance si méritée par les belles recherches de ce géomètre, dont je m'honorerai toujours d'avoir été et d'être encore l'élève.

Je ne puis entrer dans le détail des opérations analytiques nécessaires pour arriver aux principes que nous avons exposés jusqu'ici. Nous avons cherché, autant que nous avons pu, à suivre, quoique de loin, la marche que les mathématiciens modernes nous ont tracée, et qui donne à leurs productions un caractère de facilité et d'élégance qui fera vivre leurs méthodes autant que les grandes vérités qu'elles nous ont fait connaître.

Je me contenterai de dire qu'après avoir déterminé les caractères analytiques propres à chaque genre de courbure des surfaces, à partir d'un point donné, je suis parvenu aux équations mêmes des familles des surfaces qui, dans chacun de leurs points, présentent une courbure douée d'un seul et même caractère.

Tels sont les objets traités dans les trois premiers mémoires de l'ouvrage que j'ai l'honneur de soumettre à l'examen de la Classe. Si cet examen ne lui laisse point à penser que la suite de mes recherches ne mérite pas de lui être présentée, enhardi par cette indulgence, je produirai la suite des résultats auxquels je crois être parvenu, et les applications que j'ai tenté d'en faire aux méthodes de la Géométrie descriptive, à la stabilité des vaisseaux, aux déblais et remblais, et à l'optique.

Ces applications, si je ne me trompe, feront entrevoir que les généralités qui les précèdent, ne sont pas seulement des spéculations oiseuses; mais qu'elles pourroient devenir d'un intérêt immédiat, si, saisies par des mains plus exercées, leurs conséquences étoient portées dans les objets d'une utilité générale.

Conformément aux conclusions du rapport de MM. Carnot, Monge, et de M. Poisson rapporteur, ces mémoires ont été jugés dignes de l'approbation de la première Classe de l'Institut. Nous proposerions, disent les commissaires de la classe dans leur rapport, d'insérer ces mémoires dans le Recueil des Savans étrangers, si l'auteur ne les avoit destinés à un autre usage.

Ils composent la première section d'un ouvrage ayant pour titre : Développemens de Géométrie, etc., qui s'imprime actuellement. Il paroîtra en mai 1813, 1 vol. in-4°.

I

GNOMONIQUE ANALYTIQUE,

Par M. PUISSANT.

Définitions.

Si on conçoit une tige de fer droite, dirigée parallèlement à l'axe du monde, et scellée dans un mur, du côté où l'une de ses faces planes est éclairée par le soleil, l'ombre de la tige entière représentera sur ce mur la trace d'un méridien céleste passant par le centre du soleil; et l'ombre de l'extrémité antérieure de la tige parcourra, dans le même jour, une courbe qui sera la trace d'un cône droit, dont la génératrice fait avec la tige un angle égal au complément de la déclinaison de l'astre. L'objet de la gnomonique est d'indiquer l'heure et le jour de ces deux phénomènes.

Vu l'énorme distance à laquelle le soleil se trouve de nous, il est permis de supposer que la tige ou l'axe du cadran solaire se confond avec celui de rotation de la terre; et à cause de la lenteur du mouvement de l'astre dans l'écliptique, il est permis en outre de supposer sa déclinaison constante pendant sa présence sur l'horizon.

Le centre du cadran est le point où son axe, réduit par la pensée à une ligne mathématique, le rencontre. Ce point peut être pris en même temps pour le centre de la terre.

La trace du méridien du lieu sur le cadran se nomme la méridienne, parce que c'est sur cette ligne que tombe précisément l'ombre de l'axe à midi vrai.

La projection de l'axe ou du style sur le cadran s'appelle la soustylaire; cette ligne est donc la trace même d'un méridien perpendiculaire au plan du cadran. En général, la trace d'un méridien se nomme une ligne horaire.

On dit qu'un cadran vertical décline, lorsqu'il n'est point perpendiculaire au méridien du lieu.

Quoique toutes les questions de gnomonique se résolvent facilement et avec élégance par les procédés de la géométrie des

críptive, il est cependant nécessaire de faire usage du calcul, lorsqu'on veut tracer les lignes d'un cadran solaire avec toute la précision possible. J'ai seulement pour but, dans ce petit mémoire, de résoudre par l'analyse ce problême général:

Déterminer les lignes horaires et les courbes de déclinaison sur un cadran vertical déclinant, connaissant la longueur de l'axe, la méridienne et la déclinaison du cadran, ainsi que la latitude du lieu (1).

Détermination des lignes horaires.

Rapportons les points de l'espace à des coordonnées rectangles, et prenons à cet effet, pour axe des x, l'intersection du méridien du lieu avec l'horizon, pour axe des y la trace du premier vertical sur ce dernier plan, et par conséquent pour axe des z la verticale du lieu du cadran.

L'origine des coordonnées pouvant être considérée comme le centre de la terre ou de la sphère céleste, la droite qui joint ce point et le pôle du monde sera toute entière dans le plan des xz, et fera, avec l'axe des x, un angle a égal à la latitude du lieu ou à la hauteur du pôle; de sorte que dans l'équation

z=Ax+By,

qui est celle du plan d'un méridien quelconque, on aura

Atang..

Quant au coefficient B, il dépend visiblement de l'angle que ce méridien fait avec le plan des xz, c'est-à-dire de l'angle horaire p réduit en degrés, à raison de 1 heure pour 15o. Or, on sait que

(1) Voyez, pour la détermination de ces élémens, les traités de Gnomonique, et le Journal de l'École Polytechnique, tom. IV, pag. 261.