de son sommet sont la hauteur et l'hypothénuse d'un triangle rectangle, il s'ensuit que l'on a

introduisant ces valeurs dans le résultat précédent, il viendra,

après avoir chassé le dénominateur g2, et réduit,

Telle est la relation qu'il falloit trouver : cette relation, trèsremarquable, fait partie de celles que M. Français a publiées dans le premier volume de cette Correspondance, page 343; je la rappelle ici, afin de faire connoître le moyen simple et direct de l'obtenir. On peut voir par la lettre insérée dans les Annales de Mathématiques (novembre 1812), l'usage que M. Français vient d'en faire pour résoudre analytiquement ce problême : déterminer une sphère qui touche quatre sphères données (1).

Extrait de la lettre citée, de M. Français à M. Gergonne. Metz, 2 octobre 1812.

En éliminant de cette équation Eo de l'article précédent, deux des trois quantités cos (p, a), cos (p, b), cos (p, c), tirées des équations (5) de la page 64, deuxième volume de cette

(1) Voyez la solution analytique de ce problême, par M. Poisson, septembre 1812, Bulletin de la Société Philomatique.

Correspondance, la troisième sera donnée par une équation du second degré, et les deux autres seront données ensuite par les mêmes équations (5). Il ne restera donc plus à déterminer que la valeur de p, quisera fournie par une quelconque des équations (4) du premier degré de la page citée 64, 2o. vol. Voyez, même page, les équations (1) et (2).

On trouve deux solutions pour la position de ?, parce que les équations (2) sont les mêmes, aux signes près, soit qu'on prenne tous les signes supérieurs dans les équations (1), soit qu'on y prenne tous les signes inférieurs. Mais comme nous n'avons employé que les carrés des équations (2), qui comprennent l'un et l'autre signes, il s'ensuit que nous avons dû obtenir la solution des deux cas.

Remarque sur une classe particulière d'équations aux différences partielles à trois variables.

Par M. POISSON.

Je désignerai les variables par x, y, z, et je ferai pour abréger

Les équations que je veux considérer seront comprises sous cette forme:

a

P=(rt-s2) Q;

l'exposant est supposé positif; Q désigne une fonction quelconque de z, y, z, qui renferme en outre les différences partielles de, de tel ordre que l'on voudra, et qui n'est assujettie qu'à la seule condition de ne pas devenir infinie lorsque la quantité rts' devient nulle; enfin Preprésente une fonction des cinq quantités p, q, r, s, t, homogène par rapport aux

trois dernières.

Cela posé, on satisfera toujours à une semblable équation, en prenant pour q une certaine fonction de p. En effet, soit

q=fp;

on aura en différentiant successivement, par rapport à x ety,

t=s.fp=r.(f'p)2;

s=r.f'p,

ces valeurs de set det donnent rt

so; elles rendront

donc nul le second nombre de l'équation proposée ; et en les substituant dans la fonction P, il résulte de sa forme homogène, qu'une même puissance de r sera tacteur commun à tous les termes de cette fonction; divisant donc par cette puissance, l'équation ne contiendra plus que p, fp et flp: ce sera une équation différentielle ordinaire; en l'intégrant, elle déterminera la forme de ƒ p, et cette fonction contiendra une constante arbitraire.

L'équation 9 =fp, aux différences partielles du premier ordre peut toujours s'intégrer sous forme finie, par les procédés connus; outre la constante que cette équation contient déjà, son intégrale renfermera encore une fonction arbitraire; et cette intégrale satisfera à l'équation proposée. Donc une équation du second ordre ou d'un ordre plus élevé, de la forme de celles que nous considérons, a toujours, sous forme finie, une intégrale particulière en x, y, z, contenant une constante et une fonction arbitraires. Dans le plus grand nombre de cas, l'intégrale générale de l'équation proposée ne pourra pas s'obtenir; et alors il sera utile d'en avoir l'intégrale particulière que nous indiquons, indépendamment de l'intégrale générale. Appliquons cette remarque à des exemples particuliers.

EXEMPLE Ier.

Soit proposée l'équation

t + 2 ps + ( p2 — a3) r—o,

(1)

dans laquelle a représente une constante positive. Cette équation est celle qui renferme les lois rigoureuses de la propagation du son dans un canal cylindrique horizontal, lorsque les vibrations de l'air ne sont pas traitées comme infiniment petites, et que la température est supposée constante.

Je substitue les valeurs précédentes de s et de t, savoir:

s=r.fp, t=r.(f'p)',

dans cette équation; elle devient

[(fp)+2pfp+p'-a1]r=o,

ou bien, en supprimant le facteur r, multipliant tous les termes par dp2, et mettant de à la place de f'p.dp,

dq+2 pd pdq+(p2 — a1) d p' = o ;

d'où l'on tire

dq=-(pa) dp,

et en intégrant et désignant par c, la constante arbitraire,

le double signe

est inutile devant le terme ap, parce que le carré a' étant seul donné, le signe de a est indéterminé. Toute équation en p et q appartient, comme on sait, à une surface développable, et s'intègre en y satisfaisant au moyen de l'équation d'un plan dont on fait ensuite varier les constantes arbitraires. Soit donc

z=ax+by+r;

«, 6, y étant regardées comme des constantes, on aura p =«, y=6, et, en vertu de l'équation (2),

Pour en déduire son intégrale générale, il faut, d'après le procédé connu, prendre pour une fonction arbitraire de a et ensuite joindre à l'équation du plan, sa différentielle prise par rapport à le systême de ces deux équations représentera l'intégrale générale de l'équation (2). Faisant donc y = q a, équations seront

ces

Elles satisfont à l'équation (2) comme intégrale générale, et à l'équation (1) comme intégrale particulière. A cause que le signe de a est indéterminé, cette intégrale de l'équation (1) équivaut réellement à deux : la seconde intégrale sera donnée par ce système d'équations,

。 = x + ( a − a ) y + 4' a ;

betétant la constante et la fonction arbitraires.

Dans le Mémoire sur la Théorie du Son, qui fait partie du quatorzième cahier du Journal de notre Ecole, j'ai donné (page 367), sous une forme différente et moins simple, des intégrales particulières de l'équation (1), qui reviennent à celles que nous venons de trouver.

EXEMPLE IIo.

Considérons l'équation

(1 + q)r-2 p q s + (1 + p3) t=0,

(1)

qui appartient à la surface dont les deux courbures en chaque point sont égales et tournées en sens contraires. En y faisant s=rflp, t=r('p)', elle devient

[1+q' — 2pq.f'p + (1 + p2) {ƒ'p)']r=0 ;

si l'on supprime le facteur r, et que l'on multiplie tous les termes par dp', on a cette équation différentielle,

(1 + 9') dp2 - 2 pq dp dq + (1 + p2) dq' = o. (2) Pour l'intégrer, je la différentie d'abord en prenant la différentielle dp constante, ce qui donne d'y o; on aura donc

a et b étant deux constantes dont une seule doit rester arbitraire. En effet, en substituant ces valeurs de q et dq, dans l'équation (2), on trouve, toute réduction faite,

et cette valeur de q satisfait à l'équation (1), comme intégrale particulière.

L'équation (3) est facile à intégrer par les méthodes connues; désignant la fonction arbitraire, on trouve pour son intégrale,

(4)

== Q(x+ay) +ƒV — 1 — a', laquelle doit aussi satisfaire à l'équation (1), comme il est aisé de le vérifier.

Cette intégrale contient l'équation du plan, comme cas parti