Substituant dans ces trois équations pour L, M, N, les quantités qu'elles représentent, elles deviennent

R2 ( Ax' + B'y' + B'z' ) — Hx' = 0,

R2 (B'x' + A'y' + Bz' ) — Hy'. =0,

R2 (B'x' + Bjꞌ +A"z') — Hz' = 0.

Les équations de la perpendiculaire à la surface du second degré, qui coïncide avec l'un des axes principaux de cette surface, sont

nommant à et μ les deux tangentes

y=

la direction de cet axe, les trois équations précédentes deviendront

De ces trois équations, on éliminera successivement deux des

R2
H'

trois inconnues , a etμ, chaque équation finale sera du

troisième degré.

Paris, le 18 janvier 1813.

Pendant mon dernier séjour en Italie, ayant eu connoissance du savant rapport (*) de notre ami M. Poisson, sur une matière dont je m'étois occupé, j'écrivis, à ce sujet, le simple énoncé des résultats qui n'étoient pas encore sortis de ma mémoire.

J'adressai cet exposé succinct à M. Sané, Inspecteur général du Génie maritime, le priant de présenter ma notice à la Classe de l'Institut, dont il fait partie. Je désirerois que vous voulussiez insérer dans la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique cette même notice que je joins à ma lettre.

Signé Ch. DUPIN.

(*) Séance de l'Institut, 31 août 181 2.

Mémoire sur la Sphère tangente à trois ou à quatre autres ;

Par CH. DUPIN.

Pise, rer. octobre 1812.

Notice.

Un problême dont beaucoup de Géomètres se sont occupés, est celui de mener sur un plan un cercle tangent à trois autres cercles, et plus généralement, dans l'espace, une sphère tangente à quatre sphères données.

Si je ne me trompe, le premier géomètre qui l'ait complètement résolu, est Fermat (*). Depuis, Euler a repris la même question; mais tandis que Fermat s'étoit servi de la méthode des Anciens, Euler a employé l'analyse. M. Carnot, dans sa Géométrie de position, s'en est encore occupé. Enfin, plusieurs élèves de l'Ecole Polytechnique ont atteint le même but par les méthodes de la Géométrie descriptive. Parmi ces derniers, je citerai surtout l'infortuné Dupuis, qui par ses preiniers succès sembloit promettre de beaux progrès à la géométrie. Quelle est donc la fatalité qui nous a sitôt enlevé les trois hommes qui cultivoient plus particulièrement la science de l'étendue pour hériter de la gloire de nos premiers créateurs en ce genre? Nous avons vu disparoître, presque à-la-fois, Dupuis, Lancret et Malus!

On connoît quelques résultats de leurs travaux sur le sujet qui nous occupe; je crois d'ailleurs que la méthode qui les y a conduits n'a pas été transmise à l'Ecole Polytechnique, du moins je ne sache pas qu'aucun professeur l'ait fait connoître, ou seulement l'ait conservée; et leur démonstration, qu'on trouve dans la Correspondance Polytechnique, appartient à M. Hachette.

J'ai osé, il y a dix ans, reprendre un sujet traité si souvent, et jamais, ce me semble, avec la généralité qu'il comporte. J'eus l'honneur de soumettre mes solutions à M. Monge, et j'eus le bonheur d'obtenir, d'un tel géomètre, des encouragemens, trop indulgens, sans doute. M. Carnot, après avoir examiné les mêmes recherches, voulut bien m'engager à les compléter en y joignant la solution de quelques autres questions, parmi lesquelles

(*) Voyez cette solution dans le mémoire traduit par M. Hachette, septième et huitime cahiers du Journal de l'Ecole Polytechnique, publié par le Conseil d'Instruction.

étoit celle-ci: tracer sur la sphère un cercle tangent à trois autres. J'offris, le lendemain même, à cet illustre savant, la solution de cette question, mais généralisée, en déterminant soit par la géométrie, soit par l'analyse, la courbe plane tracée sur une surface du second degré tangentiellement à trois autres sections planes quelconques. De là j'eus occasion de déduire immédiatement, par les considérations de la géométrie aux trois dimensions, plusieurs des belles propriétés qu'on trouve dans la Géométrie de position, sur les polygones inscrits aux courbes du second degré, et les points de concours de leurs diagonales ou de leurs côtés prolongés.

Il fut décidé que mon mémoire feroit partie de la collection des journaux de l'Ecole Polytechnique. L'impression de mon mémoire ayant été retardée, je le retirai pour le perfectionner; et, dans un voyage précipité que je dus faire en Belgique, je le perdis.

J'ai su depuis que M. Hachette a rendu compte de mes travaux au sujet des questions traitées dans ce mémoire, en donnant l'analyse d'une des solutions qu'il contenoit. Cette analyse est dans le second cahier de la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique (premier volume).

Depuis cette époque, envoyé tour-à-tour en Hollande, en Italie, dans le midi de la France et dans les îles Ioniennes, je n'ai jamais refait mon mémoire, Cependant prêt à revoir ma patrie, j'apprends par un de mes amis que l'Institut a fait l'objet de son examen, d'un travail très-intéressant, où la question du contact des cercles et des sphères est généralement résolue,mais, à ce qu'il paroît, par des principes différens.

Encore convalescent, aux bains de Pise, je suis incapable d'un travail suivi. Je me bornerai donc, pour l'instant, à présenter l'énoncé des principaux théorêmes que ma mémoire pourra me rappeler, me réservant, si je recouvre la santé, de rédiger de nouveau mes solutions, et d'en faire hommage à mes juges, si les résultats que je vais indiquer ont le bonheur de mériter leur indulgence.

I.

De la Sphère tangente à trois autres, et ensuite à quatre

autres.

Une infinité de sphères peuvent être tangentes à trois sphères invariables données; à chaque nouvelle sphère tangente aux trois primitives correspond, 1° un point de contact entr'elle et celles-ci; 2°. son propre centre: cela posé,

La suite des points de contact marqués sur chaque sphère primitive par les nouvelles sphères, forme une courbe continue plane, et par conséquent circulaire.

La suite des centres des nouvelles sphères forme pareillement une courbe plane et continue, mais d'une forme plus générale ; c'est une courbe du second degré.

Ces deux beaux théorêmes sont dus à Dupuis, qui nécessairement a dû parvenir aussi à quelques-uns des résultats suivans, quoique je n'en aie pas eu connoissance.

Si l'on conçoit les trois (1) cônes circonscrits aux trois sphères primitives prises deux à deux, on sait que leurs sommets sont en. ligne droite: cette droite est évidemment dans le plan, lieu des centres de ces trois sphères.

Maintenant le plan de la courbe, lieu des centres des nouvelles sphères, est toujours perpendiculaire à cette droite.

De plus, si l'on considère en particulier une des nouvelles sphères (tangentes aux trois primitives), que par le point de contact qu'elle a sur chacune des trois sphères primitives, on mène trois tangentes aux courbes de contact tracées sur celles-ci, d'abord ces tangentes se rencontreront, et elles se rencontreront toutes trois en un seul et même point.

Lorsque la nouvelle sphère variera, les tangentes prendront dans l'espace une autre direction; mais elles se couperont toutes trois encore en un même point, et la suite de tous ces points d'intersection formera une ligne droite.

Cette droite sera toujours perpendiculaire au plan des centres des trois sphères données. Il y a plus, elle sera placée sur le plan, lieu des centres de toutes les nouvelles sphères.

Enfin, la tangente à la courbe, lieu des centres, viendra constamment passer par cette droite, précisément par le point d'intersection des tangentes aux courbes de contact, et en formant le même angle avec ces trois dernières tangentes. Ainsi cette droite est à-la-fois l'intersection de quatre plans, savoir, celui de la courbe des centres et les trois plans des courbes de contact; or cette droite remarquable est telle, que les cônes circonscrits à-la-fois à deux des sphères cherchées, ont tous leurs centres sur elle.

Elle joue donc, par rapport aux nouvelles sphères, le même

(1) Il y en a six, et ce sont leurs combinaisons deux à deux qui produisent les diverses solutions de la question, mais elles sont indépendantes; et ce qui est vrai pour l'une est applicable à toutes les autres: dans cette notice nous n'en considérerons qu'une seule.

rôle que la droite, lieu des centres des cônes circonscrits aux sphères primitives prises deux à deux, joue par rapport à ces premières sphères.

Lorsqu'une sphère nouvelle touche seulement deux des primitives, les plans menés tangentiellement à ces surfaces primitives per leur point de contact avec l'autre, se coupent suivant une droite constamment placée dans un même plan, tant que les deux sphères primitives restent les mêmes.

En considérant ainsi deux à deux les trois sphères primitives, on trouvera trois plans remarquables; ils se couperont tous trois suivant une même droite, et cette droite, ce sera précisément le lieu des points de concours des tangentes aux trois courbes de contact et de la tangente à la courbe des centres, toutes quatre correspondant à une seule et même sphère nouvelle.

Dans le cas où l'on auroit quatre sphères primitives, auxquelles il faudroit trouver une sphère tangente, ou trouveroit ainsi six plans remarquables, dont chacun seroit le lieu des intersections des plans tangens à la sphère nouvelle et aux primitives prises deux à deux; ces plans seroient perpendiculaires aux six arêtes de la pyramide triangulaire ayant pour sommets les centres des sphères primitives, etc.

Ces plans se couperont trois à trois suivant une même droite : ils présenteront ainsi quatre droites, qui elles-mêmes se rencontreront en un seul et même point. Enfin ce point sera à-la-fois 1o. sur les plans des courbes des centres des sphères tangentes aux primitives prises trois à trois; 2°. sur les plans des courbes de contact de ces nouvelles sphères et des primitives.

De là résulte une méthode de géométrie descriptive, aussi simple que facile, pour résoudre tous les problêmes de; sphères tangentes à trois ou à quatre autres, des cercles tangens à trois autres, etc. (1)

Passons à d'autres considérations, et demandons-nous maintenant de quelle nature est la surface enveloppe de l'espace parcouru par une sphère tangente à trois sphères invariables primitivement données.

II.

Surface engendrée par la Sphère qui s'appuie sur trois autres. Cette surface jouit de la propriété constante, et elle en jouit

(1) On la fera connoître dans le prochain cahier de la Correspondance.