cercles de la première sphère, correspondans aux quatre séries des sphères qui peuvent toucher les trois sphères données.

Quoique nous n'ayons considéré que la sphère dont le centre est à l'origine des coordonnées, la démonstration précédente s'applique également aux deux autres sphères, puisque, sans changer leur position respective. on pourroit transporter l'origine des coordonnées au centre de l'une ou l'autre de ces deux sphères.

Rectification d'un arc d'ellipse par les séries ;

Par M. de STAINVILLE, Répétiteur-Adjoint à l'Ecole Polytechnique.

Supposons que l'arc dont il s'agit, ait son origine à l'une des extrémités du petit axe, et que les abscisses soient comptées sur le grand axe à partir du centre. Si on désigne par x l'abscisse qui correspond à l'arcu, il est clair que l'expression de cet arc ne doit contenir que des termes multipliés par des puissances de x, puisqu'il s'évanouit lorsqu'on fait xo; et comme il change de signe avec x, sans changer de grandeur, il en résulte que le développement de l'arc exprimé par l'abscisse ne doit que des puissances impaires de z. Ainsi on aura, pour toutes les valeurs de u,

contenir

u=Ax+Bx3 + Cx3 + Dx2 + etc.

Si on différentie cette équation par rapport à æ, on aura

du dx

I

Si donc on représente pary, on aura, après avoir elevé

les deux membres au carré et fait disparoître les dénominateurs; l'équation

I — e'x' = y2 (I -- x®).'

Différentiant cette nouvelle équation, pan rapport à x, on en aura une autre qui se réduira au moyen de substitutions convenables à

Divisant par y, et différentiant, on aura, après quelques réductions, une équation différentielle du second ordre, qui sera

Si, pour abréger, on représente les coefficiens du développe

ment de

du

dx

ou de y para, &, y........, on aura

tielle du second ordre, on aura, en supprimant le premier terme de chaque membre, l'équation suivante

sances de x, on aura

2. 48=(3+ e'). 2 a

46y=(5+3 e). 46-8. 1. a e1

6.8d=(7+5 e2). 6y—8. 3. ße
༡

8. 101 = (9+7 e2). 3d 8. 6.ye'

10. 12 (= (11+ 9 e1). 10 € - 8.10. de

En général, si on désigne par x le coefficient de x“, on aúra, en appelant et les coefficiens des deux termes qui précèdent immédiatement ce dernier,

(2μ_2)2μx={2μ—1+(2μ—3)e° } (2μ—2)†—8

, ou ce qui revient au même

Pour déterminera, il faut développer

second terme, et on aura & =

b'

2

1

2

-; portant cette valeur dans les autres coefficiens, ils

seront tous déterminés, et on aura, à cause des équations 2 B= a; 3 C = ß; 4 D=y, etc, l'équation suivante,

L'équation précédente se présente sous une forme plus élégante,

Four déterminera,, B,, y,, etc., on a les équations suivantes :

Si dans ces équations on fait eo, les coefficiens prennent des valeurs qui, étant introduites dans la formule

ce qui doit être, car l'hypothèse de eo faisant rentrer l'ellipse dans le cercle, l'expression d'un arc d'ellipse doit alors coïncider avec celle de l'arc correspondant du cercle: ce qui a lieu ici, puisque x est égal au sinus de l'arc u.

Démonstration de la formule qui donne la tangente de la somme de plusieurs arcs en fonction des tangentes de ces Par M. de STAINVILLE.

arcs;

Pour arriver à cette formule de la manière la plus simple, nous considérerons le produit des facteurs

cos a + sin a V-1, cos b + sin b-1, cosc + sin c-1;

ce produit, ainsi qu'on le sait, est égal à

cos (a+b+c+......) + sin (a+b+c+........) V−1.

Ainsi le coefficient de 1 dans le produit des facteurs dont

il s'agit, sera égal à sin (a+b+c...), et le terme indépendant — 1, sera égal à cos (a+b+c...); par conséquent le coefficient de -1, dans le produit des facteurs

de

(cos a + sin a −1); (cos b+sin b—1)....`

divisé par la somme des termes indépendans de V-1, sera égal à tang (a+b+c+d.....)

Pour montrer la loi des termes du produit des facteurs que l'on considère, nous diviserons chacun d'eux par son premier terme et nous multiplierons le produit de tous les facteurs ainsi divisés, par le produit de ces premiers termes; ce qui donnera

cos(a+b+c+d....) + sin (a + b + c +d....) V −1 = cos a cos é cos c cos d.....{1+tang a V➡ 1} (1+tang b-1} {1+tang CV

-1}

Les termes réels et imaginaires du produit des facteurs binomes qui se trouvent dans le second membre de cette équation étant multipliés par cos a cos b cos e cos d.... ce facteur disparoîtra dans la division des premiers termes par les seconds, de sorte qu'en dernière analyse l'expression de tang (a+b+c+d....) sera égale à la somme des termes, qui, dans le produit de

{{i+tangav−1} {1+tang¿V−1} {1+tangci/—1}...

est multipliée par 1, divisée par la somme de ceux qui ne sont pas multipliés par 1. Or, la somme des premiers est égale à la somme des tangentes, moins tous les produits trois à trois de ces tangentes; plus, tous les produits cinq à cinq, et ainsi de suite; et la somme des seconds est égale à l'unité, moins tous les produits deux à deux des tangentes; plus, tous les produits quatre à quatre, et ainsi de suite. Par conséquent la tangente de la somme de tant d'arcs qu'on voudra, sera égale à la somme des tangentes, moins tous les produits trois à trois de ces tangentes; plus, tous les produits cinq à cinq, et ainsi de suite, divisés par l'unité, moins tous les produits deux à deux de ces tangentes; plus, tous les produits quatre à quatre, et ainsi de suite. On voit encore par ce qui précède, 1°. que le sinus de la