Page images
PDF
EPUB

deroit l'ombre portée par une courbe donnée sur une surface de révolution, les rayons lumineux partant d'un senl point.

Lorsque ces rayons sont parallèles entr'eux, l'ombre d'une courbe sur une surface de révolution est la ligne d'intersection de cette surface et d'un cylindre qui a pour base la courbe donnée, et dont les arêtes sont parallèles.

Pour trouver cette ligne on coupe les deux surfaces par une suite de cylindres qui ont pour bases des cercles de la surface de révolution, et pour arêtes des droites parallèles aux rayons de la lumière.

C'est ainsi que dans l'épure du vase (leçons de M. Hachette, sur les ombres) on détermine l'ombre portée sur ce vase, par le cercle qui termine sa surface. Cette méthode n'est pas particulière aux surfaces de révolution; elle s'appliqueroit avec les mêmes avantages dans le cas où il s'agiroit de trouver l'intersection d'un cône et d'une surface engendrée par une courbe plane, mobile, constante de forme, et dont le plan ne changeroit pas de direction.

QUESTIONS DE MATHÉMATIQUES
ET DE PHYSIQUE,

Proposées au Concours général des Lycées de Paris,
année 1812.

MM. Giorgini et Duchayla, élèves admis cette année à l'Ecole Polytechnique, ont remporté, l'un le premier prix dé mathématiques, et l'autre le premier prix de physique.

Physique.

Exposer la théorie de la réfraction de la lumière.

Mathématiques.

Question de Géométrie.

Etant donné un quadrilatère ABCD (fig. 1, pl. 3), dont les quatre côtés ne sont pas situés dans un même plan, on demande 1o. L'équation de la surface engendrée par le mouvement

d'une droite MN, qui s'appuie sur les deux côtés CB, AD du quadrilatère, de manière que l'on ait la proportion DN: NA:: СМ : MB.

2. L'équation d'une seconde surface engendrée par une droite IK, qui s'appuie sur les deux côtés opposés AB, DC du quadrilatère avec la condition CK: KD :: BI: IA.

3°. On demande de plus si ces deux surfaces sont différentes ou si elles sont coïncidentes?

Solution de la question de Géométrie,
Par M. GIORGINI.

Première solution (analytique).

Suivant les côtés adjacens AB, AD (fig. 1, pl. 3), conduisez le plan des zy; par le côté AB, le plan des zx parallèle au côté opposé CD; enfin, par le côté AD, celui des y x, parallèle au côté opposé BC, et soient représentées par

z=1,y=6, x = a

les coordonnées du point C, on aura

en A

y=

en B yo en D

x=

et le cours des côtés du quadrilatère sera représenté par les équations

[ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small]

Cela posé, si nous supposons AN=y', les équations de la génératrice MN seront de la forme

x B z

y = A z + y',

et si nous éliminons x, y, z, entre les équations de la géné

[ocr errors]

ratrice MN et celles du côté BC, nous aurons, pour exprimer que MN s'appuie constamment sur BC, l'équation de condition

[blocks in formation]

au point C, y=6, et au point M, zy, y = A y + y'; nous aurons donc

[merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small]

d'où il résulte, puisque y n'est pas généralement nul, que =0, et par conséquent que l'équation de condition (a) devient

or,

By b=ay';

des équations de la génératrice, on tire Bety!= y; l'équation de la surface demandée sera donc

[blocks in formation]

Nous avons ainsi satisfait à la première partie de la question; voici ce qui résout les deux secondes :

Pour avoir l'équation de la surface engendrée par la seconde droite IK, il est clair que les calculs seroient absolument les mêmes, considérant seulement, au lieu des côtés AD, BC, les côtés AB, CD, et par suite changeant 6 et y en y et, et réciproquement. Et pour avoir donc l'équation de la seconde surface, il suffira de faire ces changemens dans l'équation de la première; or, l'équation (1) est symétrique par rapport à 6 et y, et par rapport à y et cette équation est donc également celle des deux surfaces: ces deux surfaces n'en font donc qu'une, et sont coïncidentes.

Discussion.

Reprenons l'équation de la surface y chons les sections de cette surface par un celui des y, x; 2o. parallèle à celui des z,

xay, et cherplan, 1°. parallèle à x. Le premier ayant

pour équation, nous donne pour section la droite

z=k, y6x=aky,

le second ayant pour équation y=k, la section qu'il fera sur la surface, sera la droite

y=k, y6x=akz.

D'où il résulte que notre surface peut être engendrée de deux manières différentes par une droite, qui se meut s'appuyant sur deux autres, et assujettie à être constamment parallèle à un même plan; nous sommes donc en droit de conclure que cette surface est un paraboloide hyperbolique.

Quant aux sections de la surface par des plans parallèles à celui des y, z, c'est-à-dire à celui des deux côtés AB, AD, il est clair que l'équation de l'un de ces plans étant généralement xc, celles de la section seront

x = c, a y z = y 6c,

d'où il résulte que ces sections sont des hyperboles rapportées à leurs asymptotes, et que, par conséquent, les plans des x,, et celui des x, y, sont des plans asymptotiques de la surface; on aura donc un systême de plans asymptotiques, en conduisant, suivant deux côtés adjacens, des plans parallèles aux côtés qui leur sont respectivement opposés.

Supposons actuellement qu'au lieu de prendre le point «, 6, y, pour l'un des sommets du quadrilatère, l'on prenne un autre point placé sur la surface d'une manière quelconque, c'est-àdire, tel que ', 6', y', étant ses cordonnées, l'on ait la relation

[ocr errors]

alors, considérant la surface engendrée d'après le même mode de génération, en faisant usage de ce second quadrilatère, son équation sera

z' 6' x = a'y >

et celle seconde surface aura, pour plans asymptotiques, ceux menés suivant les côtés du quadrilatère qui passent par le point ', 6', y', parallèlement aux côtés opposés, c'est-à-dire, aux plans des x, y et des x, or, puisque

[ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors]

l'équation de la seconde surface devient

y 6 x = x y z;

c'est-à-dire, que cette seconde surface est la même que la première, et que, par suite, tous les systêmes de plans menés suivant deux génératrices de la surface parallèlement aux deux côtés opposés du quadrilatère, seront un systême de plans asymptotiques.

Nous avons démontré que la génération de notre surface étoit la même que la génération du paraboloide hyperbolique; il s'ensuit donc de nos dernières considérations le théorême sui

vant :

Que tout paraboloïde hyperbolique admet une infinité de plans asymptotiques, qui rencontrent chacun la surface suivant l'une de ses génératrices, et sont respectivement parallèles aux plans directeurs auxquels chaque génératrice est parallèle.

Deuxième solution (géométrique).

Tous les résultats obtenus précédemment par l'analyse peuvent également se démontrer par de simples considérations de triangles, comme nous allons le faire voir.

Concevons pour cela que, conservant la même disposition d'axes que précédemment, on conduise, suivant les deux côtés CB, CD (fig 2), un plan, dont DR, BR soient les traces sur les deux plans des y, x et des s, x; le plan des y, x étant parallèle au côté CB, la trace DR séra parallèle à ce côté; par la même raison, BR sera parallèle à CD, et la figure CDRB sera un parallelogramme. Si donc on mène dans le plan de ce paralfélogramme, la ligne ME parallèle à BR, on aura CM=DE, MBER, et par conséquent DN: NA:: DE : ER. D'où il résulte que la ligne NE est parallèle à AR, et le plan MEN parallèle au plan BRA ou à celui des z, x; la génératrice MN, située dans le plan MEN, sera donc constamment parallèle au plan'des z, x; d'où il résulte d'abord que la surface demandée est un paraboloïde hyperbolique.

Cherchons actuellement l'équation de la surface, et, pour cela, considérons un point quelconque G (fig. 2), situé sur la génératrice MN; soient z, x, y, les trois coordonnées GP, PN, NA de ce point; CS, SD, DA, celles du point C; ML, LN, NA, celles du point M, nous aurons

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]
« PreviousContinue »