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l'équation de la seconde surface devient

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c'est-à-dire, que cette seconde surface est la même

que
la

première, et que, par suite, tous les systèmes de plans menés suivant deux génératrices de la surface parallèlement aux deux côtés opposés du quadrilatère, seront un systême de plans asymptotiques.

Nous avons démontré que la génération de notre surface étoit la même que la génération du paraboloide hyperbolique ; il s'ensuit donc de nos dernières considérations le théorême suivant :

Que tout paraboloïde hyperbolique admet une infinité de l'une de ses génératrices, et sont respectivement parallèles aux plans directeurs auxquels chaque génératrice est parallèle.

Deuxième solution (géométrique). Tous les résultats obtenus précédemment par l'analyse peuvent également se démontrer par de simples considérations de triangles, comme nous allons le faire voir.

Concevons pour cela que, conservant la même disposition d'axes que précédemment, on conduise , suivant les deux côtés CB, CD (fig. 2), un plan, dont DR, BR soient les traces sur les deux plans des y, w et des s, x; le plan des y, x étant parallèle au côté CB, la trace DR séra parallèle à ce côté; par la même raison, BR sera parallèle à CD, et la figure CDRB sera un parallelogramme. Si donc on mène dans le plan de ce parallelogramme, la ligne ME parallèle à BR, on aura CM=DE, MB = ER, et par conséquent DN:NA::DE: ER. D'où il résulte

que la ligne NE est parallèle à AR, et le plan MEN parallèle au plan BRA ou à celui des z, x; la génératrice MIN située dans le plan MEN, sera donc constamment parallèle au plan'des 2, 3; d'où il résulte d'abord que la surface demandée est un paraboloïde hyperbolique.

Cherchons actuellement l'équation de la surface, et, pour cela, considérons un point quelconque G(fig.2), situé sur la génératrice MN; soientz, x, ý, les trois coordonnées GP, PN, NA de ce point; CS, SD, DA, celles du point C;ML, LN, NA, celles du point M, nous aurons ML LN

LN LN NA
GP PN

SD DA'

ou bien

>

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d'où l'on tire

SD.NA 'LN =

DA

;

et par suite, substituant, nous aurons

6 g x = ago

pour l'équation de la surface demandée : ce résultat est conforme à celui que nous avions obtenu précédemment.

La coïncidence des deux surfaces peut également se démontrer sans faire

usage

d'aucune équation. En effet, conservons la même construction que précédemment, et de plus, conduisons dans le plan du parallelogramme, KF parallèle à CB, IF sera parallèle à AR, par la même raison que NE est parallèle à AR; les deux plans KFI, MEN, respectivement parallèles à ceux des y, z et des z, x, se couperont suivant une certaine droite GH, parallèle à IF, NE et AR. Si donc nous parvenons à démontrer que le point où GH rencontre la génératrice MN, est le même que celui où GH rencontre KI, il sera démontré

que les génératrices KI et MN se rencontrent en un même point, et que, par conséquent, une génératrice quelconque de l'une des deux surfaces rencontre toutes celles de la seconde surface, y est située, et que les deux surfaces sont coïncidentes.

Or, si nous regardons le point G comme celui où GH rencontre MN, les triangles MGH, MNE semblables, donneront

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or, MH = CK , ME= CD, et les triangles DNE, DAR semblables, donnent

DN X AR
NE =

DA

nous aurons donc

DN. CK. AR
GHS

CD, DA

Supposons actuellement que le point G soit celui d'intersection de la droite GH avec KI, nous aurons dans les triangles KGH, KIF semblables.

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D'où il résulte que, à partir du point H, la ligne GH est rencontrée à la même distance par la ligne KI et par la ligne MN; et que par suite, ces deux génératrices se rencontrent au même point Ĝ, ce qu'il falloit démontrer (*).

(*) M. Monge, après avoir donné quelques momens à l'examen de cette question, avoit trouvé une solution qui ne diffère de celle de M. Giorgini, que par la manière dont elle est présentée. Il suppose qu'étant donné un quadrilatère gauche, c'està-dire dont les quatre côtés ne sont pas dans le même plan, on le divise en deux triangles par une diagonale; il considère ces deux triangles comine les moitiés de deux parallelogrammes , et ces deux parallelogrammes comme les sections faites dans un parallélipipède par deux plans qui ont pour intersection commune la première diagonale du quadrilatère donné. La seconde diagonale de ce quadrilatère le divise encore en deux triangles, dont chacun est moitié de deux autres parallèlogrammes , et on fait voir que les quatre parallelogrammes sont des sections d'un parallélipipède, dont les plans passent deux à deux par la même diagonale du quadrilatère. On obtiendroit ce même parallélipipède, en menant par les côtés opposés du quadrilatère, des plans parallèles à ces côtés : deux de ces plans seroient nécessairement parallèles entre eux, et contiendroient les faces parallèles du parallélipipède.

Soit (fig. 3, pl. 3) ABCD le quadrilatère donné. (Pour faciliter la comparaison de la fig. 3 aux figures précédentes 1, 2, de M. Giorgini, on désigne par les mêmes lettres, les points communs à ces trois figures.)

Ayant mené les diagonales AC et BD, on construit 1o. les parallelogrammes ABCS, ACDI, dont les plans passent par

THÉORÊ ME DE GÉOMÉTRIE,

Par M. CHASLES, Elève.

Si on divise deux côtés opposés (fig. 1, pl. 3) AB, CD, d'un quadrilatère gauche ABCD en des points I et K, tels qu'on ait AI DK

a élant un nombre donné; la droite IK BI CK' engendrera la surface du second degré qu'on nomme hyperboloïde à une nappe.

Démonstration. Je mène une droite MN, qui divise les

la diagonale AC; 2., les parallelogrammes ABDa, BCDR, dont les plans passent par la diagonale BD. Ces quatre parallélogrammes sont des sections d'un parallélipipède XY, X'Y'. La direction des arêtes du parallélipipède est déterminée par les droites telles que AR, aC ou Bd , DS qui joignent les sommets de deux parallelogrammes dont les plans passent par la même diagonale du quadrilatère. Les plans des triangles KIFou KGH, MNE ou MGH, sont parallèles aux arêtes du parallélipipède, et coupent les faces de ce solide suivant des droites parallèles à ses arêtes.

Considérant à-la - fois le prisme et les quatre parallélogrammes, dont les plans passent par les diagonales BD,AC, on voit que les plans des triangles KIF, MNE, contiennent deux autres triangles KIK, MNm, dont les plans se coupent suivant une droite GH' parallèle aux arêtes du parallelipipède.

La comparaison des triangles IKK, IGH', donneroit pour GH' une valeur qui ne différeroit pas de celle qu'on trouveroit en comparant les triangles NMm, NGH'; d'où l'on déduiroit, par un raisonnement semblable à celui de M.Giorgini, que les deux droites Kl, MN se coupent en un poin: G. (Voyez une autre démonstration de ce théorême, Géométrie de M. Legendre, neuvième édition, page 147, proposition XVI.)

Les plans KIFY, MNEm coupant la diagonale BD aux points s et r', les droites KF, Ik, se croisent au point z , et les droites ME, Nm, au point :'. (Fin de la note.)

côtés opposés AD, BC, en des points N, M, de manière qu'on ait AN BM

les deux droites LK, MN, se couperont en un DN CM' point G , car si on élimine a entre les deux équations précédentes, on obtiendra

AI X BMX CK X DN=AN X DK X CM X BI; ce qui prouve ( Théorie des Transversales, par M. Carnot, page 70) que les quatre points I, K, M, N, sont sur un même plan. Ainsi les deux droites IK , MN, se couperont en un point G. D'après cela, si on suppose MN fixe, la droite IK s'appuiera constamment sur les droites AB, CD, MN; donc elle engendrera une surface du second degré. Mais la droite MN n'est pas située dans un plan parallèle aux deux droites

AB, CD, puisque sa position, à partir du point M, dépend de la constante donnée a ; donc cette surface du second degré est un hyperboloïde à une nappe.

Faisant mouvoir la droite MN, elle engendrera un second hyperboloide qui se confondra avec le premier, puisqu'une droite IK de l'un coupe toutes les génératrices MN de l'autre.

Lorsque a=1, l'hyperboloïde devient un paraboloïde hyperholique.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIV E.

Du Dessin de la Vis triangulaire, éclairée par des rayons de

lumière qu'on suppose parallèles entr'eux. Suite de l'article (page 13 de ce volume) Application de la théorie des Ombres au dessin des Machines, par M. HACHETTE.

Dans l'article cité, page 13 de ce volume, on a eu principalement pour objet de discuter la courbe de séparation d'ombre et de lumière sur les filets d'une vis triangulaire. Pour compléter l'explication du dessin de cette vis, nous aurons égard aux parties accessoires, telles que la tête de la vis, un écrou...; nous supposerons la forme de la vis , déterminée par les projections horizontale et verticale de l'épure A (pl. 4). Nous indiquerons, par une légende, les données de cetle épure, et les lignes à consa truire. Parmi ces lignes, on distinguera les courbes limites de la projection verticale des surfaces supérieure et inférieure des filets, et les lignes de séparation d'ombre et de lumière. Nous

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