pour l'équation de la surface demandée : ce résultat est conforme à celui que nous avions obtenu précédemment.

La coïncidence des deux surfaces peut également se démontrer sans faire usage d'aucune équation.

En effet, conservons la même construction que précédemment, et de plus, conduisons dans le plan du parallelogramme, KF parallèle à CB, IF sera parallèle à AR, par la même raison que NE est parallèle à AR; les deux plans KFI, MEN, respectivement parallèles à ceux des y, x et des z, x, se couperont suivant une certaine droite GH, parallèle à IF, NE et AR. Si donc nous parvenons à démontrer que le point où GH rencontre la génératrice MN, est le même que celui où GH rencontre KI, il sera démontré que les génératrices KI et MN se rencontrent en un même point, et que, par conséquent, une génératrice quelconque de l'une des deux surfaces rencontre toutes celles de la seconde surface, y est située, et que les deux surfaces sont coïncidentes.

Or, si nous regardons le point G comme celui où GH rencontre MN, les triangles MGH, MNE semblables, donneront

or, MH = CK, ME = CD, et les triangles DNE, DAR semblables, donnent

DN X AR

NE=

nous aurons donc

DN. CK. AR

GH=

CD. DA

Supposons actuellement que le point G soit celui d'intersection de la droite GH avec KI, nous aurons dans les triangles KGH, KIF semblables.

D'où il résulte que, à partir du point H, la ligne GH est rencontrée à la même distance par la ligne KI et par la ligne MN; et que par suite, ces deux génératrices se rencontrent au même point G, ce qu'il falloit démontrer (*).

on

(*) M. Monge, après avoir donné quelques momens à l'examen de cette question, avoit trouvé une solution qui ne diffère de celle de M. Giorgini, que par la manière dont elle est présentée. Il suppose qu'étant donné un quadrilatère gauche, c'està-dire dont les quatre côtés ne sont pas dans le même plan, le divise en deux triangles par une diagonale; il considère ces deux triangles comine les moitiés de deux parallelogrammes, et ces deux parallelogrammes comme les sections faites dans un parallelipipède par deux plans qui ont pour intersection commune la première diagonale du quadrilatère donné. La seconde diagonale de ce quadrilatère le divise encore en deux triangles, dont chacun est moitié de deux autres parallèlogrammes, et on fait voir que les quatre parallelogrammes sont des sections d'un parallelipipède, dont les plans passent deux à deux par la même diagonale du quadrilatère. On obtiendroit ce même parallélipipède, en menant par les côtés opposés du quadrilatère, des plans parallèles à ces côtés : deux de ces plans seroient nécessairement parallèles entre eux, et contiendroient les faces parallèles du parallelipipède.

Soit (fig. 3, pl. 3) ABCD le quadrilatère donné. (Pour faciliter la comparaison de la fig. 3 aux figures précédentes 1, 2, de M. Giorgini, on désigne par les mêmes lettres, les points communs à ces trois figures.)

Ayant mené les diagonales AC et BD, on construit 1°. les parallelogrammes ABCS, ACDd, dont les plans passent par

THÉORÊME DE GÉOMÉTRIE,

Par M. CHASLES, Elève.

AI

DK
CK'

Si on divise deux côtés opposés (fig. 1, pl. 3) AB, CD, d'un quadrilatère gauche ABCD en des points I et K, tels qu'on ait a étant un nombre donné; la droite IK engendrera la surface du second degré qu'on nomme hyperboloïde à une nappe.

BI

=a.

Démonstration.

Je mène une droite MN, qui divise les

la diagonale AC; 2°. les parallelogrammes ABDa, BCDR, dont les plans passent par la diagonale BD. Ces quatre parallélogrammes sont des sections d'un parallelipipède XY, X'Y'. La direction des arêtes du parallélipipède est déterminée par les droites telles que AR, aC ou Bd, DS qui joignent les sommets de deux parallelogrammes dont les plans passent par la même diagonale du quadrilatère. Les plans des triangles KÌFou KGH, MÑE ou MGH, sont parallèles aux arêtes du parallelipipède, et coupent les faces de ce solide suivant des droites parallèles à ses arêtes.

Considérant à la fois le prisme et les quatre parallélogrammes, dont les plans passent par les diagonales BD, AC, on voit que les plans des triangles KIF, MNE, contiennent deux autres triangles KIK, MNm, dont les plans se coupent suivant une droite GH' parallèle aux arêtes du parallelipipède.

La comparaison des triangles IKk, IGH', donneroit pour GH' une valeur qui ne différeroit pas de celle qu'on trouveroit en comparant les triangles NMm, NGH'; d'où l'on déduiroit, par un raisonnement semblable à celui de M. Giorgini, que les deux droites K1, MN se coupent en un point G. (Voyez une autre démonstration de ce théorême, Géométrie de M. Legendre, neuvième édition, page 147, proposition XVI.)

Les plans KIF, MNEm coupant la diagonale BD aux points et z', les droites KF, Ik, se croisent au point z, et les droites ME, Nm, au point z'. (Fin de la note.)

côtés opposés AD, BC, en des points N, M, de manière qu'on ait

AN
DN

BM
CM'

les deux droites LK, MN, se couperont en un

point G, car si on élimine a entre les deux équations précédentes, on obtiendra

AI X BMX CK X DNAN × DK × CM × BI; ce qui prouve (Théorie des Transversales, par M. Carnot, page 70) que les quatre points I, K, M, N, sont sur un même plan. Ainsi les deux droites IK, MN, se couperont en un point G. D'après cela, si on suppose MN fixe, la droite IK s'appuiera constamment sur les droites AB, CD, MN; donc elle engendrera une surface du second degré. Mais la droite MN n'est pas située dans un plan parallèle aux deux droites AB, CD, puisque sa position, à partir du point M, dépend de la constante donnée a; donc cette surface du second degré est un hyperboloïde à une nappe.

Faisant mouvoir la droite MN, elle engendrera un second hyperboloide qui se confondra avec le premier, puisqu'une droite IK de l'un coupe toutes les génératrices MN de l'autre. Lorsque a=1, l'hyperboloïde devient un paraboloïde hyperbolique.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Du Dessin de la Vis triangulaire, éclairée par des rayons de lumière qu'on suppose parallèles entr'eux.

Suite de l'article (page 13 de ce volume) Application de la théorie des Ombres au dessin des Machines, par M. HACHETTE.

Dans l'article cité, page 13 de ce volume, on a eu principalement pour objet de discuter la courbe de séparation d'ombre et de lumière sur les filets d'une vis triangulaire. Pour compléter l'explication du dessin de cette vis, nous aurons égard aux parties accessoires, telles que la tête de la vis, un écrou...; nous supposerons la forme de la vis, déterminée par les projections horizontale et verticale de l'épure A (pl. 4). Nous indiquerons, par une légende, les données de cette épure, et les lignes à construire. Parmi ces lignes, on distinguera les courbes limites de la projection verticale des surfaces supérieure et inférieure des filets, et les lignes de séparation d'ombre et de lumière. Nous

construirous ces courbes par la considération du paraboloide hyperbolique tangent à la surface du filet. Quant aux autres lignes, qu'on trouve par l'application des méthodes connues, on se contentera d'indiquer, dans la légende, les surfaces dont elles sont les intersections.

Explication de l'Epure A (pl. 4).

Les données de cette Epure sont. 1°. un cercle (fig. 1) du rayon AB, projection horizontale du noyau de la vis qu'on suppose vertical; 2°. un cercle du rayon AC, base du cylindre qui contient l'hélice commune aux surfaces supérieure et inférieure des filets; 3°. un cercle du rayon AD, projection horizontale de la tête de la vis, dont la hauteur est aß, ou yd (fig. 2); 4°. la droite génératrice CB (fig. 1), cb (fig. 2) de la surface supérieure des filets de la vis. Cette droite prolongée coupe l'axe du noyau de la vis au point A (fig. 1), a (fig. 2), et fait avec cet axe un angle constant caa'. La droite génératrice de la surface inférieure des filets, menée par le point c (fig. 2), feroit avec l'axe vertical aa', un angle égal au premier caa; le sommet de cet angle seroit au-dessous de l'horizontale ca', et à une distance de celte horizontale égale à la verticale aa'; 5o. enfin l'écrou compris entre les deux plans horizontaux, 0.

D'après ces données, on demande d'abord le contour de la projection verticale des filets de la vis. Un plan vertical tel que AB (fig. 1), parallèle au plan vertical de projection (fig. 2), couperoit les filets de la vis suivant un systême de lignes droites parallèles aux génératrices de ces filets; mais les projections verticales de ces droites ne forment pas le contour de la projection verticale des filets. Pour obtenir la ligne limite de cette projection, il faut concevoir les surfaces supérieure et inférieure des filets de la vis, enveloppées par deux cylindres dont les arêtes sont perpendiculaires au plan de projection. L'intersection de ces cylindres, par le plan vertical de projection, est la ligne demandée. Si l'on observe que cette ligne doit être tangente aux projections verticales de toutes les hélices, on en conclura qu'elle est nécessairement courbe; car, si elle étoit droite, elle couperoit l'axe du noyau de la vis; ce qui est impossible, puisqu'elle doit toucher cet axe qui peut être considéré comme une hélice de la surface de la vis, tracée sur un cylindre dont la base est réduite à zéro.

Pour tracer la courbe limite de la projection verticale des filets de la vis, reprenons la planche 2 du premier cahier de ce volume, qu'on a réimprimée pour ce 5o. cahier. Soient AB',ab' (planche 2, cahiers 2°. et 5.), les projections horizontale et verticale de la génératrice de la surface supérieure du filet.