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Nous avons démontré (supplément de la géométrie descriptive, art. 61, pag. 62), 1o. que cette surface étoit l'enveloppe de l'espace que parcourt une paraboloide hyperbolique de forme constante; 2°. que la droite génératrice de ce paraboloïde avoit pour directrices les tangentes à trois hélices, parallèles au plan vertical tel que B'N, perpendiculaire à la projection horizontale A B' de la 'droite commune à la surface du filet et au paraboloïde. Considérant l'axe A,A'a, comme l'un des tangentes directrices, soient B'N, a les projections horizontales des deux autres tangentes. Connoissant le pas de l'hélice décrite par un point quelconque de la génératrice A B', ab', on trouve facilement l'angle que les tangentes font avec le plan horizontal, et tout ce qui est relatif au premier mode de génération du paraboloide, est bien connu. Déterminons maintenant le second mode de génération. Tout plan vertical, tel que 46N, passant par l'axe A,A'a, contiendra une droite du paraboloide, appartenant au premier mode de génération. Nommons cette droite D. La droite D passera par les deux points, dont N et 6, extrémités des droites B'N, as, sont les projections horizontales; or, la différence des ordonnées verticales de ces deux points est égale à la différence des ordonnées verticales, qui correspondent aux deux points B', a; d'où il suit que la droite D, dont la projection horizontale est AN, se projettera sur le plan vertical, suivant une droite telle que nD, parallèle à b'a. Quelle que soit la position de la génératrice du paraboloïde, dans le premier mode de génération, pour lequel les trois directrices sont parallèles au plan vertical B'N, cette génératrice se projettera sur le plan vertical suivant une parallèle à la droite ab', et sur le plan horizontal, suivant une droite passant par le point 4; d'où il suit que dans le second mode de génération, la droite genératrice est constamment parallèle au plan vertical B'N, et les trois directrices sont parallèles à un plan qui auroit pour trace sur le plan vertical la droite ab', et qui seroit perpendiculaire à ce plan vertical. Les deux plans auxquels la génératrice du paraboloïde est parallèle dans les deux systêmes de génération, ayant pour intersection une droite horizontale, tout plan horizontal coupe ce paraboloïde suivant une parabole ( Supplément de la Géométrie descriptive, art. 83, pag. 73).

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Connoissant la double génération du paraboloïde qui touche la surface du filet suivant une droite donnée, on trouvera, de la manière suivante, un point de la courbe qui termine la projection verticale de cette surface. On portera sur B'N, perpendiculaire à AB', le développement d'une portion de la circonférence du rayon AB', par exemple, moitié de cette circonférence, et on joindra les points Net A par une droite. Portant au-dessous

du point N une ordonnée verticale, égale à la moitié du pas de l'hélice décrite par le point (B', b'), l'extrémité de cette ordonnée sera un point de la droite qui touche l'hélice au point (B', b'). Prenant sur la verticale b'B', une droite b'n, égale à la moitie du pas de l'hélice, le point n sera la projection verticale du point N. Menant la parallèle nD à b'a, les droites nD, AN sont les projections verticale et horizontale d'une génératrice du paraboloide qui touche la surface du filet suivant la droite AB',

ab' de cette surface.

Soient A,, les projections horizontale et verticale d'une droite quelconque de la surface du filet; concevons par cette droite un paraboloïde égal à celui qui touche la surface du filet suivant la droite AB', ab', et un plan perpendiculaire au plan vertical. Le point où ce plan, dont la trace horizontale est dd, touche le paraboloïde, appartient à la courbe cherchée. La droite A, et l'horizontale dd, qui se projette sur le plan vertical end, faisant entr'elles l'angle dd, supposons que ces droites tournent autour du point, et viennent coincider l'une avec AB', l'autre avec la droite B'e, qui coupe la ligne AN au point e. Par ce mouvement, l'horizontale dd, d', prend la position d'une autre horizontale, qui se projette en B'e, b'e'. Le plan qui passe par cette dernière horizontale et par la droite AB', ab', touche le paraboloïde tangent à la surface du filet suivant cette même droite, en un point qu'il s'agit de déterminer. Pour construire ce point, observons que le plan vertical AN coupe la droite de la surface du filet au point 4, a, et l'horizontale Ble, b'e', au point e, e'. Or, la droite ae' coupe la droite nD au point a; donc la parallèle a qà b'n, ou à l'a, coupera les droites AB', ab', en des points a', o, qui seront les projections horizontale et verticale du point de contact cherché.

Décrivant du point, comme centre, l'arc a', qui coupe la droite au pointy, et menant la verticale y qui rencontre la droite, au point, les points et sont les projections horizontale et verticale d'un point de la courbe cherchée. On trouvera, de la même manière, tant de points qu'on voudra, de la ligne ', qui termine la projection verticale de la surface du filet.,

Le plan tangent à la surface du filet, qui a pour trace sur le plan vertical, la droite e, étant perpendiculaire à ce plan vertical, il suit que cette droite touche la courbe μ au point e.

En considérant toutes les nappes de la surface du filet qui ont pour lignes de striction l'axe vertical A, d'a, la limite de la projection verticale de la portion de cette surface, qui correspond à une révolution entière de la droite génératrice, est une

courbe composée de deux branches infinies s', xμ'x', tangentes à la droite d'a aux points u et . La distance de ces deux points est égale à la moitié du pas de l'hélice, décrite par un point quelconque de la droite qui engendre la surface du filet. Elle a pour asymptote les deux droites b'a, b"a', projections verticales des génératrices du filet, dont les projections horizontales AB', AB sont contenues dans un plan vertical BB', parallèle au plan vertical de projection. D'où il suit que ces deux asymptotes coupent l'axe A'a en deux points a, a', dont la distance aa est égale à pp.

Le cylindre dont les arêtes sont perpendiculaires au plan vertical BB', touche la surface du filet prolongée indéfiniment, suivant une infinité de courbes, qui se projettent sur le plan vertical suivant des lignes composées de deux branches égales aux courbes ‹ μ c', *'*', et toutes ces lignes de contact se projettent sur le plan horizontal, suivant une courbe unique, composée de deux branches FAH, LAK, qui se touchent au point A, et qui sont touchées par la droite AA', perpendiculaire au plan de la projection verticale. La branche FAH coupe le cercle du rayon AB' au point F. La verticale FF' coupe la projection verticale de l'hélice décrite par le point (B', b') en un point de la ligne Fut. La même branche FAH coupe au point 0, la tangente B'N du cercle dont le rayon et AB', et à ce point o correspond en projection verticale un point O' (au-dessous de F) de la courbe O'F'. Pour éviter la confusion qui résulte du voisinage des trois points b',F,O' (fig. 2, projection verticale), on a construit à part, sur une plus grande échelle, la fig. 3 qui montre la position respective de ces trois points; le, premier b', sur la droite b'a; le second F, au contact de la projection verticale FN de l'hélice et de la limite Fe de la projection verticale du filet; le troisième O', sur la courbe limite F', qui a pour asymptote la droite ab', prolongée indéfiniment.

Examinons maintenant quelle doit être, d'après les données de l'épure (pl. 4), la limite de la projection verticale (fig. 2) des surfaces supérieure et inférieure d'un filet, vers les angles (saillant et rentrant) des génératrices qui se croisent aux points e et e'. Vers l'angle saillant c (fig. 2 et 3), on distinguera les deux courbes gle, ge', touchées par la projection verticale dece'd' de P'hélice aux points e et e'. Ces deux courbes g'e, ge', se construisent comme la ligne Fe (fig. 2 et 3, pl. 2 des cahiers 1 et 5).

Vers l'angle rentrant c' (fig. 2 et 4), les deux courbes g"e", gc", se croisent en un point c", situé sur l'horizontale c'c", à la droite du point c', intersection de l'horizontale c'c'", et de la projection verticale d'"c'd de l'hélice arête des deux surfaces d'un filet.

De la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur les filets de la vis triangulaire.

On peut construire cette ligne par les méthodes décrites pages 13 et 69 de ce volume; ou par la méthode plus simple qu'on vient d'employer pour trouver (pl. 2, cahiers 2 et5) la limite de la projection verticale du filet de la vis, et qui consiste à regarder la surface du filet comme l'enveloppe de l'espace que parcourt un paraboloïde du second degré, de forme constante.

Soient (pl. 4) CA, ca, les deux projections de la droite génératrice de la surface supérieure du filet; AE, «E', les deux projections d'une parallèle aux rayons de lumière, menée par le point (4,a), où la droite génératrice coupé l'axe vertical A,a'a. Le plan vertical AEI touche la surface du filet en un point situé sur l'axe A,a'a, et v est la projection verticale de ce point. La distance av du point a au point, est à la hauteur totale du de la vis dans le rapport de l'arc CSI du rayon AC, à la circonférence entière du inême rayon. La droite mobile AC, ac, gé

pas

rice de la surface du filet, transportée dans le plan vertical EAI, coup. l'axe A, a'a au point 4,v. Continuant à tourner autour de cet axe, vient dans le plan vertical AE, et coupe l'axe au point A,; la distance du point au point v est égale à un demi pas de la vis.

Considérant ensuite la génératrice dans une position quelconque, par cette génératrice et par une parallèle aux rayons de lumière, on menera un plan qui touchera le paraboloïde correspondant à la position donnée de la génératrice en un point, et ce point appartiendra à la ligne de séparation d'ombre et de lumière, dans l'hypothèse où les rayons de lumière sont parallèles entr'eux. La ligne qui est le lieu de tous ces points, a pour projection horizontale une courbe à deux branches STAQR, MNAOP. Ces deux branches sont touchées par la même droite EA! au point A, et elles ont pour diamètre commun la perpendiculaire à cette droite élevée par le même point A.

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Les droites qui engendrent les deux surfaces du filet, étant également inclinées par rapport à l'axe de la vis, la surface inférieure peut être considérée comme le prolongement de la surface supérieure. D'où il suit que la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface inférieure, a aussi pour projection horizontale la courbe des branches STAQR, MNAOP. Les portions utiles de ces deux branches sont ST, MN, pour la surface supérieure, QR et OP pour la surface inférieure. Elles sont comprises entre les deux cercles des rayons AC, AB.

à la portion ST, correspond en projection verticale là portion se de la courbe stogr; à la projection horizontale de la courbe STAQR, correspondent autant de courbes telles que stvar en projection verticale, qu'il y a de tours' de filets sur la vis. Dans l'épure A, la courbe se a été tracée sur trois filets en st, s't', s'i¿!!.

La courbe mn, qui correspond à MN, a été transportée en m"n", et m'n'.

Les verticales Rr, Qq, comprennent les courbes égales qr, q'r', q"", qui ont pour projections horizontales la portion de courbe QR. De même les verticales Oo, Pp, comprennent les courbes égales op, o'p', o"p", qui ont pour projections horizontales la portion de courbe OP. Ces dernières courbes, tant en projection horizontale qu'en projection verticale, appartiennent à la surface inférieure des filets.

Pour tracer exactement les portions ST, MN, RQ, PO, de la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, on déterminera la position de la génératrice sur laquelle se trouve le point de cette projection, située à l'infini. Pour trouver cette position, on menera par le point A‚a, où la génératrice, dans sa première position AC, ac, coupe l'axe dé la vis, un parallèle au rayon de lumière, cette parallèle rencontre le plan horizontal ca' E" au point I'.Menant par ce point I' une tangente au cercle décrit du point A comme centre avec le rayon AC, les droites menées du point aux points de tangence seront les projections horizontales des génératrices de la surface du filet, sur lesquelles se trouvent les points de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, situés à l'infini.

En effet, ces tangentes menées par le point I' au cercle du rayon AC, seront les traces des plans tangens aux paraboloïdes qui touchent les surfaces du filet; or, ces traces étant perpendiculaires aux projections horizontales des génératrices par lesquelles passent les paraboloïdes tangens (1), les plans tangens sont parallèles aux droites génératrices des paraboloïdes dans le second systême de génération; d'où il suit que les points de tangence seront situés à l'infini.

Après avoir construit les lignes de séparation d'ombre et de lumière, on tracera les contours des ombres portées par ces lignes ou par les parties qui composent une vis, sur les filets de cette vis. La légende suivante indique les lignes données de l'épure A, les lignes à construire, et les courbes qui terminent le ombres portées sur les diverses parties de la vis.

(1) C'est ainsi que dans la fig. 2, pl. 2, cahiers 1 et 5, la trace B1N est perpendiculaire à B'A.

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