férences du cinquième ordre, on aura cinq nouvelles équations, entre lesquelles et (4), on peut éliminer les cinq constantes considérées comme arbitraires. Et en faisant on trouve pour équation générale, délivrée de toutes les cons tantes : (B) 9 q' t — 4 5 qrs +40 r3=0; c'est cette équation qui appartient à toutes les courbes du second degré, et qui les exprime toutes, quelles que puissent être les cinq constantes. Cela posé, soit proposée une équation aux différences ordinaires, qui n'excède pas le quatrième ordre: il est facile de reconnoître si elle appartient à une courbe du deuxième degré : pour cela, il suffit de la différencier successivement jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux cinquièmes différences, et de s'assurer si la proposée, au moyen de ses différentielles, satisfait à l'équation générale (B). Si cela a lieu, la proposée appartient en effet à une courbe du second degré, et son intégrale complète est l'équation (A) dans laquelle il y a autant de constantes de trop qu'il a fallu différencier de fois pour arriver aux cinquièmes différences; il faut donc déterminer les constantes surnuméraires pour que l'intégrale ne soit plus l'équation de toutes les sections coniques, mais seulement celle des sections coniques auxquelles appartient la proposée. Pour cela, il faut différencier l'intégrale (A) plusieurs fois successivement, jusqu'à ce qu'on soit parvenu à l'ordre de la proposée; ensuite, au moyen de ces différentielles successives, éliminer de la proposée toutes les quantités p, q, r,... etc.; il ne restera plus qu'une équation en x. y. A. B. C. D. E, et il faudra trouver entre les cinq constantes les relations qui satisferont à cette équation. Sur quoi il faut observer que si cette équation avoit plusieurs facteurs, le facteur utile sera celui qui, pour devenir nul par lui-même, exigera précisément le nombre de relations entre les constantes, égal au nombre des constantes surnuméraires. Exemple: L'équation générale des cercles est (x− a )2 + (y—b)2=c2, dont la différentielle délivrée des trois constantes et du troisième ordre est : (C) ( 1 + p2 ) r = 3 p q3. Pour s'assurer si cette équation, considérée comme la pro posée, appartient à une section conique, il faut les différencier deux fois de suite; ce qui donne : I + p2 )2 s = 3 g3 ( 1 + 5 p2 ) 1 + p2 )3 t = 15 p q4 (3+7p2), et substituer dans l'équation du cinquième ordre (B) les valeurs de r, s, t. Or, par cette substitution l'équation (B) est satisfaite donc la proposée appartient à une section conique et a pour intégrale l'équation. (A) A y2 + 2 B x y + C x2 + 2 Dy + 2 Ex+1=0 qui contient deux constantes de trop; il faut donc trouver entre les cinq constantes deux relations. Pour cela il faut différencier trois fois consécutives l'équation (4); la première différenciation donne : p{Ay+Bx+D) +By+C x + E = o qui, faisant pour abréger, et Ay+Bx+D=M By+ Cx+E=N, r— — 3 ( A N2 — 2B NM+CM3) (AN—BM) M 5 Si l'on substitue les valeurs de p, q, r, dans la proposée (C), on a l'équation suivante, qui est composée de trois facteurs: M{AN2—2BMN+CM2} {B(M2—N3)+MN(C—A)}=0 Or, de ces trois facteurs, les deux premiers ne sont pas utiles; en effet, le premier, M, c'est-à-dire Ay + Bx+D ne peut de venir nul par lui-même, à moins que l'on ait Ao, B=0, D=0, ce qui fait trois relations; tandis qu'il n'en faut que deux. Le second, AN—2BMN+CM' ne peut devenir nul, à moins que l'on ait Дo, B=0, C=o, ce qui fait également trois relations; et si dans le même facteur on faisoit Mo, No, il faudroit que toutes les constantes fussent nulles chacune en particulier. Il n'y a donc que le troisième facteur qui devient nul au moyen des deux relations suivantes : B=0 Ce sont les valeurs qu'il faut substituer dans l'intégrale ge nérale (4) pour avoir l'intégrale propre de la proposée; intégrale qui devient : 1 A (y2+x2)+2Ɖy+2 Ex+1=0 et qui appartient au cercle quelconque, ainsi qu'il est facile de le reconnoître, en faisant : ou : y2+x2-2(ay+bx)+a2+b2 — c2=o (y—a)+(x —b) 1 =c2 GÉOMÉTRIE. Explication des Phénomènes d'optique, qui résultent du mouvement de la Terre; et Notions d'Astronomie sur lesquelles est fondée l'application de la Géométrie descriptive à l'Art de construire les Cadrans, Par M. HACHETTE. §. Ier. Du Soleil. (1) Le soleil est un corps lumineux, de forme sphérique ; l'angle sous lequel on le voit de la terre, est variable; le plus grand est de 327 35, 5; le plus petit est de 32 o 3 (division sexagésimale); on nomme cet angle diamètre apparent du soleil ; le diamètre réel est de 142083 myriamètres; le volume du soleil est 1384462 fois plus grand que celui de la terre. Le centre du soleil est fixe; il tourne autour d'un axe, et la durée d'une révolution entière est d'environ 25 jours 1/2. De la Terre. (2) La terre est un corps opaque, dont la surface est irrégulière, et dont la masse est d'une forme qu'on a comparée à celle de deux corps réguliers, la sphère, et l'ellipsoïde de révolution; la sphère terrestre a pour diamètre 1273 myriamètres ; le grand axe de l'ellipsoïde terrestre est de 1275 myriamètres ; le petit axe est de 1271 myriamètres. (3) Le centre de la terre décrit une courbe autour du soleil, et on a d'abord supposé que cette courbe étoit un cercle, qu'on a nommé ecliptique; le rayon de l'écliptique est de 15287873 myriamètres ; la théorie et l'observation ont appris que le soleil est au foyer d'une ellipse qui diffère moins que le cercle de la courbe décrite par le centre de la terre; les distances du soleil aux extrémités du grand axe de cette ellipse sont exprimées en myria-. mètres par les nombres 15544709 et 15031037; elles diffèrent du rayon de l'écliptique en plus et en moins de la cent soixante-huit dix millième partie de la valeur de ce rayon. (4) La durée d'une révolution entière du centre de la terre est de 365 jours (moyens) 5 heures 48' 51". On nomme cette période, l'année. (5) La terre a un mouvement de rotation autour d'un axe; cet axe ne change pas sensiblement de direction en une année; la révolution de la terre autour de son axe se fait en 23,9344 heures; on n'a encore observé aucune irrégularité dans ce mou vement. (6) Chaque point de la surface de la terre décrit une courbe ; la force à laquelle il est sonmis à chaque instant est la résultante de deux autres forces, l'une parallèle à l'équateur terrestre, et l'autre parallèle à l'écliptique; on nomme équateur terrestre le grand cercle de la terre dont le plan est perpendiculaire à l'axe de la terre; on appelle méridien d'un lieu le grand cercle. qui passe par ce lieu et par l'axe de la terre. (7). Le plan de l'équateur solaire, ou du plan perpendiculaire à l'axe de rotation du soleil, fait avec le plan de l'écliptique un angle de 7° 1. (8) La lumière du soleil parcourt le rayon de l'écliptique en o heure 8′ 13, 3; dans le même temps, le centre de la terre parcourt sur l'écliptique un'arc de 125" (division déci male) ou zo", 25 (division sexagésimale ); d'où l'on conclut que la vitesse de la lumière est 10313 plus grande que celle du centre de la terre sur l'écliptique. en (9) Nous allons faire, pour l'explication des phénomènes d'optique dus au mouvement de la terre, trois hypothèses qui ne changent pas sensiblement ces phénomènes; nous supposerons que la terre est une sphère parfaite, et que son centre décrit un cercle autour du soleil comme centre; 2°. que le soleil est à une assez grande distance de la terre, pour que, dans un instant donné, on puisse considérer tous les rayons de lumière qu'il envoie vers la terre, comme parallèles entre eux ; 3°. fin, que le centre de la terre est fixe, tandis que cette planète tourne autour de son axe; on suppose qu'après chaque révolution, le centre de la terre parcourt instantanément l'arc de l'écliptique, qu'il a réellement parcouru pendant la révolution entiere; d'après cette dernière hypothèse, un point déterminé de la surface de la terre décrit toujours le même cercle autour de l'axe de la terre, tandis que cet axe est transporté parallèlement à lui-même, de manière que le point-milieu de cet axe parcourre l'écliptique. S. I I. De l'inégalité du Jour et de la Nuit. (10) Le centre de la terre parcourt dans une année le cercle de l'écliptique, et l'axe de la terre décrit dans le même temps une surface cylindrique, dont ce cercle est la base. (11) Supposons l'axe de la terre projetté dans chacune de ses positions sur le plan de l'écliptique; toutes les droites projections de cet axe seront parallèles entre elles, et deux de ces droites seront tangentes au cercle de l'écliptique; considérons d'abord le centre de la terre dans l'un ou l'autre des points où l'écliptique est touché par ces deux droites, le jour est alors pour tous les lieux de la terre de même durée que la nuit. En effet, la ligne de séparation du jour et de la nuit est un grand cercle de la sphère terrestre, dont le plan est perpendiculaire à la droite qui unit le centre de la terre et le centre du soleil ; or, le plan de ce grand cercle divise en deux parties égales l'équateur terrestre et tous ses parallèles : donc, quelle que soit la latitude d'un lieu, ou le parallèle sur lequel il est placé, ce parallèle sera divisé en deux parties égales par la ligne de séparation du jour et de la nuit: donc, pour un lieu quelconque, le jour est de même durée que la nuit; les deux époques de l'année auxquelles cette égalité a lieu se nomment équinoxes. Le centre de la terre, à ces deux époques, est placé aux points extrêmes d'un diamètre de l'écliptique; ces points se nomment noeuds, et le diamètre dont |