comme on suppose (9) que le centre de la terre est fixe pendant une révolution entière de cette planète, l'angle D' correspondant à cette révolution ne change pas de grandeur : donc si un habitant de la terre se croit transporté au centre de l'écliptique, l'angle que la parallèle à l'axe de la terre menée par ce centre fait avec la droite dirigée vers le lieu apparent du soleil doit être (23) égal à l'angle D'; donc le soleil paroit se mouvoir sur un cône droit, dont toutes les arètes font avec la parallèle à l'axe de la terre menée par le centre de l'écliptique, un angle constant D', égal au complément de la déclinaison du soleil (22). La ligne qu'il paroît décrire sur ce cône est un cercle; car les distances réelle et apparente du centre de la terre au centre du soleil sont égales entre elles, et toutes égales au rayon de l'écliptique; donc la ligne du mouvement apparent du soleil, un jour quelconque de l'année, est un cercle situé sur un cône droit dont l'arète fait avec l'axe de la terre un angle qui est le complément de la déclinaison du soleil cor-respondante à ce jour.

(27) La verticale d'un lieu quelconque de la terre décrit (20) un cone droit dont l'arète fait avec l'axe de la terre un angle constant qui est le complément de la latitude de ce lieu, et le rayon de l'écliptique qui unit les centres de la terre et du soleil, un jour quelconque de l'année, fait avec cette verticale unangle variable: quel que soit cet angle, l'observateur qui se croit placé au centre de l'ecliptique, doit le voir (23) dans sa véritable grandeur, et c'est ce qui arrivera d'après ce qui vient d'être dit sur le mouvement apparent du soleil ; car, soit qu'une verticale paroisse immobile par rapport à l'axe de la terre, tandis que le rayon de l'écliptique qui joint les centres de la terre et du soleil paroît mobile, où que ce rayon soit fixe par rapport à l'axe de la terre, tandis que la verticale tourne autour de cet axe, l'angle de la verticale et du rayon variera de la même manière dans l'une ou l'autre hypothèse.

(28) Quelle que soit la position d'un lieu sur la terre, l'habitant de ce lieu se croira immobile au centre d'une sphère céleste d'un rayon indéterminé; son méridien, sa verticale, et l'axe de la terre contenus dans le plan de ce méridien lui paroîtront fixes; le soleil lui paroîtra décrire dans l'année des cercles parallèles à l'équateur céleste; les projections de ces cercles sur le méridien sont des lignes droites parallèles à l'intersection de ce méridien et de l'équateur céleste; l'arc du méridien compris entre cette intersection et la projection d'un cercle décrit en apparence par le soleil un certain jour de l'année, est la mesure de la déclinaison (22) du soleil correspondante à ce jour-là ; la limite de cet arc est de

23° 27' 42" 3 (an 1810), qui est la plus grande déclinaison australe ou boréale du soleil.

(29) Ayant à construire un cadran pour un lieu déterminé de la terre, on prend pour l'un des plans de projection à l'aide desquels on détermine les lignes horaires et les lignes de déclinaison de ce cadran, le plan du méridien de ce lieu; tous ces cercles décrits en apparence par le soleil s'y projettant (28) en lignes. droites parallèles entr'elles, on considère ces cercles comme les bases de cônes droits qui ont leur sommet au centre de la terre, et les intersections de ces cônes avec la surface du cadran déterminent les lignes de déclinaison, c'est-à-dire les lignes qui indiquent sur le cadran la déclinaison du soleil. Cet exemple est up de ceux qui font voir que le choix des plans de projections pour la solution d'un problême de géométrie, est aussi important que celui des coordonnées pour la solution d'un problème d'analyse.

(Suit la deuxième leçon de Gnomonique.)

Solutions de deux Problemes de Géométrie.

Par M. FRANÇAIS, Officier du Génie.

PREMIER

PROBLEME.

Construire une sphère tangente à quatre sphères données de grandeur et de position. (Voyez la solution géométrique de ce problême, 1". vol. de la Correspondance, pag. 27.)

Solution.

Soient r, r,r", 1, les rayons des quatre sphères données, et 2a, 2b, 2 c les distances du centre de la première sphère aux centres des trois autres; soient de plus R le rayon de la sphère cherchée, et p, p, p, p, les distances de son centre à ceux des quatre sphères données.

Cela posé, on aura :

(1) R=r=p, R=r'=p', R=r"=p", R=r"=p"".

Ces quatre équations avec leurs doubles figures fournissent seize combinaisons différentes, et autant de solutions du problême. Nous nous bornerons au cas des figures supérieures, les autres se traiteront de la même manière.

En retranchant la première de ces équations des trois autres,

on obtient :

Égalant ces valeurs aux carrés des équations (2), on

trouve :

Ces trois équations représentent trois hyperboloïdes de révolution à deux nappes, ayant un foyer commun au centre de la première sphère donnée, et pour axes de révolution les droites joignant le centre de cette sphère à ceux des trois autres.

d, d', d' sont les demi-premiers axes de ces hyperboloïdes, et a, b, c, les distances de leurs centres aux foyers. Les intersections communes de ces trois surfaces donnent la solution du problême. Mais nous allons voir qu'on n'a pas besoin de construire ces hyperboloides, et que la construction du problême peut s'exécuter avec la règle et le compas.

P

En effet, en éliminant entre les équations (4), on obtient les trois équations suivantes, dont deux quelconques comportent la troisième :

'b2.
b

b

C

"Chacune de ces équations représente un cône droit, ayant son sommet au centre de la première sphère donnée. Leurs intersections deux à deux fourniront deux droites, qui détermineront deux positions différentes de p. Nous allons indiquer la construction du cône représenté par la première de ces équations; celle des autres se fera de la même manière. Nous prendrons pour axes des coordonnées x y z, les droites a, b, c, dans leur position donnée, et les coordonnées d'un point quelconque seront parallèles à ces droites. Cela posé, voici la construction de la première des équations (5)(fig. 1, pl. I).

Je prends sur l'axe des x une distance P =

a2-d2

a

b2-d', b et sur celui des y, AQ= qui sont les coordonnées du point M; par ce point et par l'origine, je mène la droite ▲ M, qui est l'axe du cône cherché. Sur AM, comme diamètre, je décris une demi- circonférence sur laquelle je porte la d'fa'-d' d/b2-d'

corde AB=4("d")-d("d"); : la droite AB est la

b

a

génératrice qui en tournant autour de AM, engendre le cône représenté par la première des équations (5).

Les axes des deux autres cônes se trouvent l'un dans le plan des yz, et l'autre dans celui des xz. Les génératrices se déterminent comme dans l'exemple précédent.

Les intersections de deux de ces cônes sont aisées à obtenir par la règle et le compas.

On trouve deux solutions pour la position de p, parce que les équations (2) sont les mêmes, au signe près, soit qu'on prenne tous les signes supérieurs dans les équations (1), soit qu'on prenne les signes inférieurs. Mais comme nous n'avons employé que les carrés desdites équations (2), qui comprennent l'un et l'autre signe, il s'ensuit que nous avons dû obtenir la solution des deux

cas.

étant déterminé de position, cos( p, e), cos(p, b) et cos(p, c) sont connus: une quelconque des équations (4) donnera donc immédiatement la longueur absolue de cette droite, et par suite celle du rayon R.

On peut remplacer, dans la construction précédente, un des deux cônes par un plan passant par l'origine; car une combinaison quelconque des équations (5) pouvant remplacer une d'entre elles, on peut multiplier la première par

d'

la seconde

d'

par?, et la troisième par,, et les ajouter membre à mem

a

Cette équation est celle d'un plan qui passe par l'origine, et qui peut remplacer un des cônes (5). En la représentant, pour abréger, par

(A) Icos (p.a) +m cos (p,b)+n cos (p,c)=o,

faisant :

k2=l'+m2+n2+2lmcos(a,b)+2lncos(a,c)+2mncos(b,c),

et représentant par (A,ab),(A,ac),(A,bc) les angles que ce plan fait avec les trois plans coordonnés, on aura:

cos (A,bc)=

cos (A, a c) =

cos. (A, ab=

I sin (a, bc)

Ce plan est donc entièrement déterminé de position: son intersection avec un des cônes (5) fournira les deux directions

de p.

Le problême est ainsi entièrement résolu, et (je me plais à le croire) de la manière la plus simple.

Déterminer le volume de l'onglet conique, provenant de l'intersection d'un cône droit par un plan donné.

Solution.

La figure 2, planche I, représente les projections horizon