Démonstration d'un Théoréme de M. HACHETTE, sur les Surfaces engendrées par une Ligne droite; Par M..... Élève de l'École Polytechnique. Théorême. Quelle que soit la surface engendrée par une droite, et dans quelle que position qu'on considère sa génératrice, elle pourra être touchée, le long de cette génératrice, par une infinité de surfaces du second degré, du genre de celles qu'on a nommées hyperboloides à une nappe.. Je prends une droite génératrice située d'une manière quelconque, ses équations seront: x=az+☀(α), y=4(α)z+% (α). Je vais faire voir que si l'on prend une droite arbitraire dans l'espace, l'on pourra toujours faire passer par cette droite une surface du second degré tangente à la surface donnée, le long de la génératrice que l'on considère. Pour cela, soient x, y, z, les coordonnées d'un point pris sur cette génératrice; l'équation du plan tangent en ce point sera z' — z = p(x — x) + q (y'—y); Prenant pour axe des z la droite arbitraire, le plan tangent viendra la rencontrer en un point pour lequel on aura: o, yo, z'z-px-qy; Joignant ce point avec le point de contact, on aura une droite qui sera évidemment tangente à la surface donnée au point x, y, z, et qui s'appuyera sur la droite arbitraire; ses équations Si je puis entre ces deux équations et celles de la génératrice éliminer x, y, z, j'aurai une équation qui sera le lieu de toutes Jes droites tangentes à la surface donnée le long de sa génératrice, et qui s'appuyent sur la droite arbitraire; la surface qu'elle représentera sera par cela même tangente à la surface donnée le long de sa génératrice. Il s'agit de faire voir que cette surface est du deuxième degré. L'on a trouvé pour p et q (pag. 50 du cours d'analyse appliquée à la géométrie), les valeurs suivantes : p= α 241+x · (z1f' + π') — (z +- 4') 4' et de plus : -(2+0') ap + q 4=1 La deuxième équation de la tangente donne : px+qy=7(z1—z + p x + q y ) et en vertu des équations précédentes, et de celles de la génératrice, sur laquelle le point x, y, z, est situé, on a : et px + q y = z + p q + q # En faisant, pour abréger : Az + C Bz + D q 4' — x=4, 4x' — q′ x =C‚«↓'—↓=B‚« x'—q' &=D; substituant ces valeurs, il vient : B2•+(4+D)z+C—~—, (( B z'+A)z+Dz1‡1c))=0 Mais l'équation y' =—x′ donne : leurs valeurs dans l'équation, il vient, en chassant le dénominateur : 2 B(x * — y1 q)2 + ( A + D) { x' toy ! ). ( a gtx of ) +C(«y'→x'↓) 2+($$—**}{(Bx1ñ—y′q } z'+D(ay! —=x′ ↓ } z ' +A (x' x—y' 4)+C (« y'—x'4)} = =0. Cette équation étant du deuxième degré et appartenant à une surface engendrée par une droite, il s'ensuit que cette surface est du genre de celles qu'on a nommées hyperboloides à une nappe, (Voyez le Traité des surfaces du deuxième degré, de MM. Monge et Hachette, pages 32 et 50 ). La droite sur laquelle nous avons fait mouvoir notre tangente étant arbitraire et indépendante de la position de la surface donnée, qui est située d'une manière quelconque dans l'espace, il s'en suit que si cette droite venoit à changer, l'on auroit un autre hyperboloide qui toucheroit cette surface suivant la même génératrice, et que par conséquent il y a une infinité d'hyperboloïdes qui jouissent de cette propriété. (Voyez des applications de ce théorême, deuxième volume de la Correspondance, page 13.) Par M. J. BINET, Répetiteur à l'École Polytechnique. Si on imagine un systême de portions de lignes droites parallèles, déterminées par les points où elles rencontrent une surface courbe quelconque, tous leurs milieux se trouveront sur une surface courbe. En représentant par m le degré de l'équation algébrique de la première surface, le degré de l'équation de la surface qui contient tous les milieux sera m. (2) On pourroit appeler cette surface des milieux du systême des cordes parallèles, surface diametrale. Une courbe plane dont le degré de l'équation est m, a une courbe diametrale, dont le degré m-1 2 Les surfaces du deuxième ordre ont pour surfaces diamétrales des plans, puisque 22— 1. Les courbes du deuxième ordre 2 ont des droites pour lignes diamétrales. (1) Une partie de cette note ayant le même objet qu'une des Leçons du Cours d'Analyse appliquée à la Géométrie par MM. Monge et Hachette, c'est pour l'utilité des Éleves qu'on l'insère dans ce cahier de la Correspondance. Voyez ce Cours, ire. partie, pag. 46. ) (2), Voici comment on peut démontrer cette proposition: « La surface du degré m est coupée par une droite quelconque en m points qu'on peut désigner par les lettres a, b, c, d...; cette droite est divisée par la surface en autant de cordes qu'il y a de combinaisons différentes de ces lettres prises deux à deux; (m-1) donc le nombre de ces cordes placées sur une droite quelconque sera m 2 et leurs milieux seront en même nombre, donc en regardant la droite comme une parallèle à l'un des axes auxquels on rapporte la surface qui contient tous les milieux des cordes parallèles, l'ordonnée de cette surface comptée sur la droite qui la coupe en m points, sera donnée par une équation du m (m 2 - 1 eme degré ». H. C. Pour déterminer les diamètres des courbes du deuxième ordre, on prendra leur équation rapportée à des axes rectangulaires 4x2+By+Cxy+Dx+Ey+Fo; si on coupe cette courbe par une droite x = my+je, on aura pour déterminer les ordonnées y de leur intersection, l'équation { Am2 +B+Cm } y2 + { ( 2 A m + C) μ+Dm+E}y+ +Dμ+F= 0. La demi-somme des ordonnées de ces deux points est l'ordonnée y' du milieu de leur distance, ou du milieu de la corde qui a xmy' + pour équation de sa direction. La valeur de l'ordonnée de ce point milieu sera (2 Am + C) μ + Dm + E 2 ( 4 m2 + B+ Cm) c'est-à-dire la motié du coefficient de la première puissance de y pris avec un signe contraire, divisée par le coefficient de y'. L'abcisse x' du même point est x = my' + u; éliminant entre ces deux équations, on trouvera l'équation du lieu général de tous les milieux ou de la ligne qui divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à x = my! +, et qui n'en diffèrent qu'à raison de la valeur de μ. Le résultat de cette élimination, ou l'équation du diamètre conjugué à ce systême de cordes, est ( 2 A m + C ) x' + ( 2 B + C m)y! + Dm+E=0. Il est visible que, si par un changement de coordonnées, on rapporte la courbe à deux axes, dont l'un, celui des nou- › soit parallèle aux cordes y = m x; l'autre, celui des nouveaux y, soit le diamètre conjugué à ces cordés, l'équation de la courbe prendra nécessairement la forme veaux x, a x2 + by2+cy+d=o, puisque devant encore être du deuxième degré, elle doit fournir pour chaque valeur de y, deux valeurs égales et de signes contraires pour. Transportant parallèlement à lui-même l'axe des x, et pour cela mettant y + à la place de y, l'équation deviendra C ax2+by2+(2 bu+c) y+bw2 + cw+d=o. Tant que ne sera pas nul, on pourra faire disparoître de cette équation le terme en y en prenant w = là transporter l'origine au centre de la courbe. ainsi simplifiée est de la forme a x + by 2 26 ; et par L'équation = λ. comprend les espèces de courbes nommées ellipse et hyperbole. Lorsque & sera nul, on pourra disposer de pour faire disparaître le terme ca+d, et l'équation deviendra Les nouveaux axes forment entr'eux un angle qui est celui que les cordes forment avec leur diamètre. Il a pour cosinus C- 2 ( A → B ) m — Cm 2 1+ m2(24m+C)2 + (2 B+ Cm)' Pour que cet angle soit droit, il faut que C~2(A—B) m — Cm2=0, équation qui donne à m deux valeurs réelles. L'équation des surfaces du deuxième ordre est Ax+By+Cz1+ Dxy+Exz+Fyż+Gx+Hy+Iz+K=0. On déterminera les ordonnées z des points de rencontre de cette surface et de la droite x = m z' + p, y' =nz' + v, par l'équation 2 o={m +Br +C+Dmn+Em+Fn} {(2 Am+Dn+E)μ+(2Bn+Dm+F) v+Gm+Hn+1}+z +A μ3 + B‚3 + Dμ v + Gμ + H,+K. La demi-somme (24m+Dn+E)μ+(2Bn+Dm+F)v+Gm+Hn+I de ces ordonnées des deux extrémités de la corde, est l'ordonnée z', du milieu de leur distance. Les coordonnées de ce point seront donc données par les équations. x = m z' +μ, y' = n z' + 1, (2Am+Dn+F)u+(2Bn+Dm+F),+Gm+Hn+I 2 (Am2 + Bn2 + C + Dmn+Em+Fn) On obtiendra l'équation de la surface diametrale conjuguée au systême des cordes parellèles à celle que j'ai choisie, par l'éli mination des quantités, entre ces trois équations. L'équation résultante est (24m+Dn+E)x'+(2Bn+Dm+F)y'+(2C+Em+Fn)z' + +Gm+Hn+1=0 |