Correspondance sur l'École polytechnique, à l'usage des élèves de cette ...

Représentons-la pour abréger par

Sx' + Ty' + U z' + V = 0.

On détermineroit facilement par les relations qui existent qui existent entre les coefficiens S, T, U et les quantités m,n, du systême des cordes conjuguées à un plan parallèle à un plan donné, et l'équation du plan conjugué lui-même.

Si l'on rapporte la surface à de nouveaux axes coordonnés, dont l'un, celui des x, soit parallèle au systême des cordes, les deux autres soient dans le plan diamétral conjugué à ce systême; il est évident que l'équation de la surface prendra nécessairement la forme ax2+by2+cz'+dyz+ey+fz+g=0. Toute intersection de la surface par un plan parallèle à celui des y z, a une projection sur ce plan qui lui est identique. L'équation de cette projection est

by* + c z2 + dyz+ey+fz + g'= o.

On a prouvé qu'il existe une infinité de systêmes d'axes coordonnés par rapport auxquels l'équation de cette courbe peut prendre la forme plus simple

l'équation de la surface rapportée toujours au même axe des r et à des axes y et z choisis de cette manière, prendra donc la forme «x2 + by2+yz2+dz+c= 0.

On peut encore la simplifier, en déplaçant le plan des xy parallèlement à lui-même et pour cela mettre à la place de z dans cette équation, z+, on aura

ax2 + by2+yz2 + (2 8 5 + d) z + ÿ {2 + d }+i±0. Lorsque y n'est pas nul,on peut prendre (=——et l'équation de la surface devient

24.

Cette équation comprend trois espèces différentes de surfaces connues sous les noms d'ellipsoide, d'hyperboloide à une nappe, d'hyperboloide à deux nappes. Si y est nul, on ne déterminera pas par cette valeur qui seroit infinie, mais on en disposera de manière à faire disparoître dans l'équation le terme +, indépendant des coordonnées x, y, z; et l'équation, deviendra ax2+by+da=0.

Elle renferme les deux espèces de surfaces dont le centre est à l'infini, et nommées paraboloide elliptique, paraboloide hyperbolique.

Parmi tous les systèmes d'axes qui peuvent faire prendre à l'équation d'une surface du deuxième ordre la forme

ax2+by+y=2 + √2+1=0,

laquelle conduit aux deux autres encore plus simples que nous venons d'indiquer, il en est un d'axes rectangulaires important à connoître. D'abord, nous allons faire voir que l'on peut donner à l'axe des ou aux cordes conjuguées au plan diametral y z, une direction perpendiculaire à ce plan.

Pour qu'une des cordes

x = m z.! +μ, y' = nz'+",

soit perpendiculaire au plan diamétral

ou en mettant à la place de S, T, U leurs valeurs en m, n Em' + Fm n + 2 ( C — A ) m — Dn―E=0 Fn+Emn + 2 (CB) n-Dm-F=0.

et mettant cette valeur dans la première, on aura l'équation
0=E(Fn2+2(C—B) n — F) 3 — (Fn2 + 2(C—B) n—F)(Fn+
2 ( C — A ) ) ( E n—D) — (Dn+E) (En—D)”.

ou bien en développant les produits

{2(A-B) EF-(E’—F°)D}n3 +

| 4 (B—A ) ( B —C) E — 2 (A + B −2C) DF (223) — (E+F-2D3) E} n2+{4(CA) (CB) Do 2(A+C—2B) EF—(D' + F* — 2E2 ) D} n +

· F2

+ 2 ( A −C) D' F' — ( D 1 — F1) E

Cette équation du troisième degré fournit au moins une valeur réelle de n à laquelle en correspond une aussi réelle de m et par conséquent un systême de cordes parallèles, perpendiculaires à leur plan diamétral conjugué. L'équation de la surface rapportée à un axe des x perpendiculaire au plan y z, pourra ainsi conserver la forme

ax2 + bÿ2+yz2+dz+= 0.

On peut remarquer que le plan des x z et le conjugué diamétral du systême des cordes parallèles à l'axe des y, de même que celui des y z l'est du systême des cordes parallèles à l'axé des x;

comme d'ailleurs l'axe des y peut être pris perpendiculaire à celui des z et conséquemment au plan des x z, sans que l'équation change de forme; il s'ensuit que nous avons déjà reconnu l'existence de deux systêmes de cordes perpendiculaires à leurs plans diamétraux conjugués. Mais l'équation ( n 3) a autant de racines réelles qu'il y a de ces systêmes; cette équation a donc deux racines réelles, et par conséquent ses trois racines le sont nécessairement. La troisième de ces racines correspond à la direction de l'axe des z perpendiculaire aux deux premières di

rections.

On peut, à l'aide de ces considérations, établir bien simplement les théorêmes connus sur les diamètres conjugués des surfaces du deuxième ordre, en partant des théorêmes analogues démontrés sur les courbes du second degré. Ainsi on sait pour une même courbe, si on a les deux équations

ax2+by'=1, a'x'2+b'y' 1 = 1,

il existe entre les quantités a, 8, a', B' cette relation

que

on peut conclure de cette propriété des courbes du deuxième degré cette autre qui convient aux surfaces, et qui lui est analogue: - a x2+by2+ y22=ı, a2x22 + b2y'' +r'z!'=1 étant deux équations d'une même surface rapportée à différens axes, ayant pour origine commune le centre de la surface, on a

Le plan des x'y' rencontre celui des x y en une droite qui est diamètre de la courbe

si nous nommons

le quarré de la demi-longueur de ce dia

mètre et ¿celui de son conjugué, l'équation de la courbe

a2x' • +6' y ''=I,

étant rapportée à ces nouveaux axes, sera

et l'on

al xl 2 + b'y'

aura, par le théorême que nons venons de citer,

L'équation de la surface rapportée à ces nouveaux axes x,y' et à l'ancien des z' sera

Si de la même manière on imagine le plan actuel des y' z' prolongé jusqu'à son intersection avec celui des y x, en nommant le quarré de la demi-longueur du diamètre mesuré sur

cette intersection, celui de son conjugué dans la courbe b'yl2 + y' zl2 = 1;

l'équation de cette même courbe rapportée à ces nouveaux diamètres comme axes, séra

a1x13 + b'y' " + y2zl2 =

deviendra, en conservant le même axe des x',

Mais l'axe des x' et celui des y' sont actuellement dans le plan des xy et ont par conséquent pour diamètre conjugué à leur plan l'axe des z; donc le nouvel axe des z' se confond avec celui des z et par conséquent

Mais les équations

On établiroit avec la même facilité, en partant du théorême sur les parallelogrammes circonscrits aux courbes du deuxième degré, le théorême analogue des parallelipipèdes circonscrits aux surfaces du deuxième ordre.

Application du Théorême de Taylor au développement des fonctions

(1+x)*, a*, Log (1+x), cos. x, et șin. x. (1)

La méthode suivante suppose seulement que l'on sache différentier les produits et les puissances entières des variables, et que l'on connoisse la formule de Taylor, démontrée pag. 52 du premier volume de la Correspondance, savoir:

• (x+4)=4x+h. 4' x+