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donc

ynti.q (n+1)y_b.yo'y _ n y " . q (") Y = b ( c — n);

ΦΥ

ФУ

ФУ

résultat qui renferme la loi des coefficiens.

La valeur de ( 1 + x) devient donc

4 (1 + x)=(1+x)=1+cx+

C.C-1

2

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La quantité c est une fonction de l'exposant m; pour la déterminer, soit cfm; on aura, relativement aux exposans m,n et m+n:

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m

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( 1 + x) " + " = 1 + xƒ (n+m) + etc.; mais en multipliant l'un par l'autre, les deux premiers développemens, il vient

(I + x)". (1 + x)^=(1+x)*+*=1+x (fm+fn) + etc. et comme ce second développement de ( 1 + x) * doit être identique avec le premier, il faut il faut que

fm+fn=f(n+m).

Développant le second membre suivant les puissances de m, et supprimant fn de part et d'autre, il reste

2 m

fm = m. f' n + " . fn + etc.;

f'n,fn, etc. doivent être indépendans de n, puisque cette quantité n'entre pas dans fm; mais si l'on a f'na, toutes les autres dérivées f" n, fllln, etc. seront nulles; donc

fm=am.

Le coefficient a étant indépendant de m, on le détermine en observant que fm1, quand m=1, ce qui donne a = 1; donc

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Remettant donc yTM, à la place de øy, on aura:

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et de cette manière la différentielle d'une puissance se trouve démontréé pour une valeur quelconque de l'exposant.

2o. Soit xa x; conséquemment qy=a et q (x+y)=ax+y; d'où l'on conclut 4 x. y(x + y).

Divisant pary, après avoir développé le second membre suivant les puissances des x, il vient

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de la variable y, qui ne doit pas entrer dans la valeur de o x;

or, si l'on fait

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On démontrera, comme à l'ordinaire, que la quantité A est le logarithme hyperbolique de la base a.

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3°. Soit

A donne d. qyq' y.dy — Aqy.dy;

Aar, dy.

(1+x) = Log. (1+x); on aura en mêmetempsy Log. y et (y+yx) = Log. (y + y x); et à cause de Log. (y + xy ) = Log.y + Log. ( 1 + x ), on en concluera l'équation caractéristique

Q Y + Q ( 1 + x ) = Q (y + x y.).

Développant le second membre suivant les puissances de xy

et supprimant y de part et d'autre, il vient

202

x3

Q(1 + x)=yo'y• x + y2 q'' y.
y1 = +33 qllly.

+ etc.

2.3

Les coefficiens y q' y, y3 q'' y, y3 qlll y, etc., seront donc constans; mais si l'on fait

yo'y =M;

on en concluera, par des différentiations répétées
y2 q'' y=— M, y3 q''' y = 2 M, y4 q1 y=—
Généralement, de l'équation y"
férentiant, y (" + 1) y + ny" -

n+

n

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2.3. M, etc.

() y=N, on tirera, en dif(a) yo; et par conséquent

4 (") y = n N;

résultat qui renferme la loi des coefficiens.

La valeur de (1+x) devient donc

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La quantité M qui reste indéterminée, est ce qu'on appelle le Module, dont la valeur dépend de l'espèce de logarithme que l'on considère, et qui est égal à l'unité pour les logarithmes hyperboliques.

L'équation y q' y = M, donne d. qy=q'y.dy- Mdy;

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; donc

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4°. Soit

Φ

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cos. x; par conséquent y cos. y, ¢ (y+x) cos (y + x) et 4 (y-x) = cos (y-x); l'équation connue 2. cos. x. cos. y = cos (y + x) + cos. (y —x),

deviendra

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29xqy=q(y + x ) + q ( y − x ).

En développant les deux fonctions ♦ (y + x), 4 ( y − x ) suivant les puissances de et divisant ensuite par 2 y, on

trouve

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d'où l'on conclut, comme précédemment, que tous les coeffi

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On démontrera tout-à-l'heure que la constante a égale → I. 1. Soit enfin x sin. x, et en même temps y cos. y. On aura sin. (y+x)=4(y + x), sin. (y — x)= ↓ ( y − x) ; d'ailleurs on a

2. sin. x. cos. y = sin. (y + x) — sin ( y − x ) ; par conséquent

24x.4y = + (y + x ) − ↓ ( y − x ).

Développant le second membre suivant les puissances de x, et divisant par 2. Qy, il vient

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étant la constante déjà employée dans le développement de cos. x. Celui de 4x devient donc

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est l'unité; il faut donc qu'on ait 61. De plus les

développemens de sin. x et cos. r doivent rendre identique l'équation sin. x + cos. x= 1; or on a

2

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61 a x4

+etci

3

par conséquent

2

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COS. x + sin. x=1+x (62 + a) + etc. =1; d'où il suit a = C2=-1. En faisant a1 et 6 1 dans

les développemens de cos. x et sin. x, on trouve

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L'équation

y

donc d. sin. y

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=b=1, donne d. 4y='y.dy=qy.dy;

cos. y.dy; résultat d'après lequel on peut former les différentielles de toutes les fonctions trigonométriques.

Sur la Courbure des Surfaces.

M. Dupin, capitaine au corps impérial du génie maritime, a envoyé à S. Exc. le comte de Cessac et à M. le comte Monge l'analyse d'un ouvrage sur la courbure et l'osculation des surfaces, qu'il a l'intention de faire imprimer : un de ses amis m'a écrit qu'en attendant la publication on pouvoit insérer dans la Correspondance les deux théorêmes suivans, qui sont énoncés dans l'analyse de l'ouvrage de M. Dupin; on propose de trouver la démonstration de ces deux théorêmes. H. C.

THÉORÊMES à démontrer.

Première Proposition. Etant donnée une surface courbe quelconque et un point P sur cette surface, on mène par ce point un plan tangent à la surface, et on la coupe par une suite de plans paralleles au plus tangent; par le même point P de contact, on fait passer deux courbes quelconques C et C' qui rencontrent chacun des plans parallèles au plan tangent en deux points; on joint ces points par des lignes droites, et le systême de ces droites forme une surface gauche dont la droite génératrice est constamment parallèle au plan tangent au point P; considérant dans chaque plan coupant parallèle au plan tangent, le contour de la section et la droite qui unit les deux points de rencontre du plan coupant et des deux courbes Cet C', on fait mouvoir la section dans son plan, de telle manière que chacun des points de cette section parcourt une droite parallele à la droite qui unit les deux points des courbes C et C', le lieu

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