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ny".pial y = 6(c-n);

2

2

+

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genti. (n+1)y b.yo'y

biyo'y ny".0() y donc

b Фу résultat qui renferme la loi des coefficiens. La valeur de (1 + x) devient donc 4(1 + x) =(1+x)m=+cx+.0—1

C.CI.C

*3 + etc.

2.3 La quantité c est une fonction de l'exposant m; pour la déterminer, soitc=fm; on aura,

relativement aux expósans m,n et m+n: (1 + x)" =It xfm

+ etc. (1+x)"

=It xf nous + etc. (1+x) "+m=i+ xf (n + m) + etc.; mais en multipliant l'un par l'autre, les deux premiers développemens, il vient (1 + x)".(1+x)*=(1+x)*+*=1+x(fm +fn) + etc. et comme ce second développement de (1+x) *** doit être identique avec le premier , il faut que

fm+fn=f(nt m). Développant le second membre suivant les puissances de m, et supprimant f ni de part et d'autre, il reste

fm=m.f! 2+ .fln + etc.; fin,f!!n, etc. doivent être indépendans de n, puisque cette quantité n'entre pas dans fm; mais si l'on a fin='a, toutes les autres dérivées !!!n, fill n, etc. seront nulles; donc

fm=am. Le coefficient a étant indépendant de m, on le détermine en observant que fm=1, quandm=1, ce qui donne a =1; donc

fm = =C=m; et par conséquent (1 + x) =1+mx +

2.3 γΦ' L'équation

Фу donne

d.dy=p'y.dy=m_oy

m

m.m-1

m. m-Im-2

•30? +

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2

Cm,

Qy, dy:

Remettant donc ym, à la place de oy, on aura :

d. y*= mymas dy; et de cette manière la différentielle d'une puissance se trouve démontreé pour une valeur quelconque de l'exposant.

2°. Soit o x=ax; conséquemment øy=u et Q(x+y)=arty; d'où l'on conclul o x. Qy = Q(x+y).

Divisant par oy, après avoir développé le second membre suivant les puissances des x, il vient

olly x2 01" y 13
O x =it
xt

2.3+ etc.;
Фу
o'y diy oily.
les coefficiens

etc., devront être indépendans Фу og de la variable y, qui ne doit pas entrer dans la valeur de Q x; or, si l'on fait

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+

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Фу

2

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Фу

,Aے لااو

Фу on en concluera facilement

olly

Фу et par conséquent :

PINI Y=A", etc.;

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On démontrera, comme à l'ordinaire , que la quantité A est le logarithme hyperbolique de la base a.

o'y L'équation = A donne d.oy=dly.dy = Aoy.dy; donc d. a' = Aaydy.

3o. Soit 0 (1 + x) Log. (1+x); on aura en même temps o y = Log. 1 et Cy+y x ) = Log. (y +yx ); et à cause de Log. (y + xy) = Log.y + Log. (1+x), on en concluera l'équation caractéristique

øy + ®(1+x)=0(y + x j.). Développant le second membre suivant les puissances de xy, et supprimant oy de part et d'autre, il vient

23 $(1+x)=yq yox+y*dy.m+ yd qiliy.

2.3

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2.3 + etc.

+

2

Mdy; donc

Les coefficiens y o' y, yo!"y, y3 pilig, etc. , seront donc constans; mais si l'on fait

y oly=M; on en concluera , par des différentiations répétées ya chy=-M, yo'l y = 2 M, y4 qiy=- 2.3. M, etc. Généralement, de l'équation ya ) y =N, on tirera, en différentiant, yn pint?)y + ny*-pln)y=0; et par conséquent

gutio (n+') y=-ny (n) y=-nN; résultat qui renferme la loi des coefficiens. La valeur de 0 (1 + x) devient donc

x4 o(1+x)=Log(i+x)=M(

+ etc.).

3 4 La quantité M qui reste indéterminée , est ce qu'on appelle le Module , dont la valeur dépend de l'espèce de logarithme que l'on considère, et qui est égal à l'unité pour les logarithmes hyperboliques. L'équation y dy=M, donne d.oy=dly.dy=

i

у
Mdy
d. log. y =

у 4o. Soit ox=cos. x; par conséquent oy=cos. y , o (y +x) = cos (y + x) et o (y-2)=cos (y - 3); l'équation connue

2. cos. x. cos. y = cos (y + x) + cos. (y *), deviendra

20x0y=ply + x) + ® (y *). En développant les deux fonctions o (y + x), o (y suivant les puissances de x, et divisant ensuite par 2 Q1 , trouve

4

uc

vig 9x=1+ +

to etc.; Фу 2. 3. 4

2. 3.4. 5. 6. Qy d'où l'on conclut , comme précédemment, que tous les coeffi

o'r qily ony ciens

etc, doivent être constans ; faisant

фу Gil y donc

or on en tirera sans difficulté

x )

on

Xer

+

2

фу

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y

giving

#4, etc:
oy
Фу

Фу et le développement de o x deviendra

ax

03x6 0 3 = cos. 3 =1+ + +

+ etc. 2

2.3.4 ' 2.3.4.5.6 On démontrera tout-à-l'heure que la constante a égale - I.

i'. Soit enfin f x = sin. x, et en même temps Q y = cos. y. On aura sin.(git x)=f(y + x), sin. (y-x)=f(y - x); d'ailleurs on a

2. sin. x. coś. y = sin. (y + x) --sin (y); par conséquent

2 4 x. Øy=f(y + o) - (y - 3). Développant le second membre suivant les puissances de t , et diwisant par 2. oy, il vient Hy x3 prilly

IT *3 = x

+ etc. dy

2. 3. 5 Oy Ainsi tous les coefficiens

J'y iny

etc., doivent être consФу фу

cs

+2.3 oy

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+

tans; or, si l'on

pose

6, on en concluera

ay tilly Ally

tilly

6. PY Фу фу фу

Фу

Фу be étant la constante déjà employée dans le développement de cos. x. Celui de it ac devient donc

6 ac 3 бе? x5 +z = sin. === c +

etc.

2.3.4.5 On démontre rigoureusement que la limite du rapport sin. X,

est l'unité; il faut donc qu'on ait 6= i. De plus les développemens de sin. x et cos. z doivent rendre identique l'équation sin. + cos. ** = 1; or on a

6 a 204 cos'. Ocito ax* + etc., sin

Jet

+ etc; 3

2. 3.

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5

par conséquent

cos. c + sin. 'x=1+x: (6' + + etc.=1; d'où il suit a =

En faisant a=- 1 et 6= I dans les développemens de cos. x et sin. x, on trouve

004
etc.
sin.x =36

etc.

2.3+ 2.3.4.5 2.3.4.

V L'équation =b=1, donne d. fy=ty.dy=oy.dy;

Фу donc d. sin. y=cos. y.d y; résultat d'après lequel on peut former les différentielles de toutes les fonctions trigonométriques.

x2

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х

COS. X=1

+

2

Sur la Courbure des Surfaces.

M. Dupin, capitaine au corps impérial du génie maritinie, a envoyé à S. Exc. le comte de Cessac et à M. le comte Monge l'analyse d'un ouvrage sur la courbure et l'osculation des surfaces, qu'il a l'intention de faire imprimer : un de ses amis m'a écrit qu'en attendant la publication on pouvoit insérer dans la Correspondance les deux théorêmes suivans , qui sont énoncés dans l'analyse de l'ouvrage de M. Dupin; on propose de trouver la démonstration de ces deux théorêmes.

H. C.

THÉORÊ MES à démontrer.

Premiere Proposition. Etant donnée une surface courbe quelconque et un point P sur cette surface, on mène par ce point un plan tangent à la surface, et on la coupe par une suite de plans parallèles au plus tangent; par le même point P de contact, on fait passer deux courbes quelconques C et C' qui rencontrent chacun des plans parallèles au plan tangent en deux points; on joint ces points par des lignes droites, et le système de ces droites forme une surface gauche dont la droite génératrice est constamment parallèle au plan tangent au point P; considérant dans chaque plan coupant parallèle au plan fangent, le contour de la section et la droite qui unit les deux points de rencontre du plan coupant et des deux courbes Cet C, on fait mouvoir la section dans son plan , de telle manière que chacun des points de cette section parcourt une droite parallèle å la droite qui unit les deux points des courbes C et Cl , le lieu

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