des sections parallèles transportées chacune dans son plan d'après la même loi, est une nouvelle surface qui est osculatrice de la surface donnée; si on suppose que les deux courbes C et C' ont un contact du premier ordre avec des lignes de la surface donnée, la nouvelle surface aura avec celle-ci un contact du troisième ordre; et en général si le contact des courbes est du meme ordre, le contact de la surface dérivée avec la surface primitive sera du degré m + 2.

Deuxième Proposition. Etant donnée la courbe de contact de deux surfaces dont l'une est circonscrite à l'autre, on mène par une tangente à cette courbe un plan quelconque, qui coupe les deux surfaces suivant deux lignes courbes; quel que soit le point de la courbe donnée, par lequel on ait mené la tangente, les deux sections planes ont en ce point un contact du second ordre, ou, autrement, elles sont osculatrices l'une de l'autre.

De l'Epicycloïde sphérique et de sa tangente;

Par M. HACHETTE.

(1) On a vu (pag. 27 du vol. 2, N°. 1 ) que M. Gaultier construit la tangente à l'épicycloïde sphérique, en la considérant comme la résultante des deux vitesses dont le point décrivant de l'épicycloïde est animé à chaque instant, et il démontre d'après celte construction le théorême (1) énoncé pag. 25 sur la tangente à l'épicycloïde en un point quelconque. Sa démonstration est fondée sur les deux propositions suivantes de géométrie :

(2) Première Proposition. Les plans tangens à une sphère menés par des points pris sur un cercle de cette sphère, font tous le même angle avec le plan de ce cercle.

(1) Théorême : Si pour un point quelconque d'une épicycloïde sphérique on conçoit le cercle mobile auquel il appartient, la droite qui toucheroit l'épicycloïde plane qu'on obtiendroit dans le cas où les deux cercles, l'un fixe et l'autre mobile, seroient dans le même plan, est la projection orthogonale de la tangente à l'épicycloïde sphérique sur le plan du cercle mobile correspondant au point de contact, quelle que soit d'ailleurs l'inclinaison du plan de ce dernier cercle par rapport au plan du cercle fixe.

(3) Deuxième Proposition. Quelle que soit la direction des lignes de projection d'un parallelogramme sur un plan, ce parallelogramme se projette suivant un second parallelogramme dont la diagonale est la projection de la diagonale du premier.

Du Rapport des deux vitesses d'un point qui décrit une Epicycloïde sphérique.

(4) Le point qui décrit l'épicycloïde sphérique est animé de deux nouvemens de rotation, l'un autour de la ligne des pôles du cercle fixe, et l'autre autour de la ligne des pôles du cercle mobile (la ligne des pôles d'un cercle est la droite menée par le centre du cercle perpendiculairement à son plan). Les arcs décrits en même temps autour de la ligne des pôles du cercle fixe par les différens points du cercle mobile, sont proportionnels aux distances de ces points à cette ligne des pôles; or, l'un de ces points en est distant d'une quantité égale au rayon du cercle fixe, et ce point est celui dans lequel les cercles fixe et mobile se touchent; donc la vitesse de rotation de ce point autour de la ligne des pôles du cercle fixe est, à la vitesse de rotation d'un point quelconque du cercle mobile, dans le rapport du rayon du cercle fixe à la perpendiculaire abaissée du point quelconque sur l'axe de rotation. Mais en représentant par i l'arc que parcourt dans un temps donné un point quelconque M du cercle mobile autour de la ligne des pôles, le point de contact du cercle fixe et du cercle mobile décrit dans le même temps autour de la ligne des pôles du cercle fixe un arc de même longueur I compté sur le cercle fixe; donc le point M du cercle mobile décrit dans le même temps, autour de la ligne des pôles du cercle fixe, un arc d'un rayon égal à la distance du point M à cette ligne des pôles, et dont la longueur est (en nommant cette distance d et le rayon du cercle fixe r), IX, ou; or, les arcs que le point M du cercle mobile tend à décrire dans le même temps sont les mesures de ses deux vitesses de rotation, l'une autour de la ligne des pôles du cercle mobile, et l'autre autour de la ligne des pôles du cercle fixe; donc ces deux vitesses sont dans le rapport de 1 a -ou dans le rapport de rà d, c'est-à-dire

d

d

dans le rapport du rayon du cercle fixe à la perpendiculaire abaissée du point de l'épicycloïde que l'on considère sur la ligne des pâles de ce cercle fixe.

Construction de la Tangente à l'Epicycloïde.

(5) Soit (fig. 1, 2, 3, planche II,) Am y le cercle fixe, tracé sur le plan de projection qu'on suppose horizontal; soient (fig. 2) FF, FC les lignes des pôles du cercle fixe et du cercle mobile tracées sur le second plan de projection qu'on suppose vertical; FA et ACB sont les projections sur ce plan du cercle fixe et du cercle mobile; BAD ou CFF' est l'angle des plans de ces deux cercles.

(6) Le cercle mobile qui touche le cercle fixe au point A se projette (fig. 1) suivant l'ellipse 4 M" b, et pour le montrer dans sa véritable grandeur, on suppose qu'il ait tourné autour de son diamètre AB, jusqu'à ce qu'il ait pris la position AMB (fig. 3), et que le plan de la fig. 3 se confonde avec celui de la fig. 2.

(7) Un point quelconque M (fig. 3) du cercle mobile se projette (fig. 1), en un point M", tel que D' M" perpendiculaire à AC soit égal à MM' (fig. 3) perpendiculaire à A B. D'après l'article (4), les vitesses du point quelconque M (fig. 3), de l'épicycloïde sont dans le rapport du rayon (fig. 1) F' ou FM du cercle fixe, à la distance M" F du point M à la ligne des pôles F' du cercle fixe, ou menant les tangentes AT, MD des cercles qui ont pour rayons F' A et F' M", ces deux vitesses sont dans le rapport de AT à M" D; donc si l'on porte sur la droite ME (fig. 3) qui touche le cercle mobile au point M, une droite égale à AT, et si l'on conçoit par ce point M une autre droite égale et parallèle à M" D, on aura, à partir du point M, deux droites qui représenteront en grandeur et en direction les vîtesses de ce point M; donc la diagonale du parallelogramme construit sur ces deux droites comme côtés, sera la tangente à l'épicycloïde au point M; il s'agit maintenant de démontrer que cette tangente rencontrera la droite qui est menée (fig. 3) par le point B extrémité du diamètre AB, perpendiculairement au plan du cercle AMB; ce diamètre AB du cercle mobile AMB passe par le point de contact A de ce cercle et du cercle fixe.

Démonstration du Théorême (Voyez la note, pag. 87) sur la Tangente à l'Epicycloïde sphérique.

(8) Soit projetté le parallelogramme des vitesses sur le plan du cercle mobile dont la trace sur le plan horizontal est AT (fig. 1), en prenant pour lignes de projection des droites horizontales parallèles à AD ou perpendiculaires à la trace AT;

la vitesse autour de la ligne des pôles du cercle fixe représentée en grandeur par M" D, se projettera suivant une droite egale à MD', et (tig. 3) suivant la direction de la droite MM"=M'D'; la vitesse autour de la ligne des pôles du cercle mobile est représentée en grandeur par AT(fig. 1); et comme la direction de la tangente ME (fig. 3) de cette vitesse est dans le plan méme du cercle mobile sur lequel on projette le parallelogramme des vitesses, MM' et ML (fig. 3) = AT seront les deux côtes du parallelogramme des vitesses projetté sur le plan du cercle mobile; donc la diagonale MQ de ce parallelogramme sera (art. 3) la projection de la diagonale du parallelogramme des vitesses, et par conséquent la projection de la tangente à l'épicycloide sur le plan du cercle mobile. Cette projection coupe le diamètre A B au point p'; or ce diamètre est la projection oblique de la perpendiculaire au plan du cercle M B élevée par le point B sur ce plan; donc le point p' doit aussi être la projection d'un point de cette perpendiculaire, dans l'hypothèse où elle rencontre la tangente à l'épicycloïde; ainsi la question est ramenée à démontrer que le point p' est à-la-fois la projection d'un point de la tangente à l'épicycloïde, et d'un point de la perpendiculaire élevée par le point B au plan du cercle mobile, perpendiculaire que nous désignerons par la lettre .

(9) Puisque l'épicycloïde décrite par un point quelconque d'un cercle mobile est sur une sphere dont le rayon est égal à la droite qui unit un point quelconque du cercle mobile et le point d'intersection des lignes des pôles du cercle fixe et du cercle mobile, la tangente à l'épicycloïde est nécessairement dans un plan tangent à cette sphère; donc après avoir mené par la tangente ME (fig. 3) un plan tangent à la sphère du rayon AF, si ce plan coupe la perpendiculaire en un point, et que la projection de ce point soit p', on en concluera que ce même point appartient à-la-fois et à la perpendiculaire ☛ êt à la tangente à l'épicycloïde; pour trouver le point où le plan qui touche la sphère du rayon AF suivant ME, coupe la perpendiculaire, on mène d'abord le plan tangent à cette sphère au point A; AP perpendiculaire au rayon AF sera la trace de ce plan sur la fig. 2; et considérant le triangle rectangle BAP, dans un plan perpendiculaire à celui du cercle mobile AMB, BP est la perpendiculaire, et BAP est l'angle de ce plan tangent avec le plan du cercle mobile AMD; or (art. 2), le plan tangent suivant ME fait avec le plan de ce cercle le même angle; donc si l'on porte la droite BK' qui est égale à MK, et qui est perpendiculaire à ME, de B en M', et si l'on mène M' P' parallèle à AP, P' sera le point d'intersection du plan tangent suivant ME et de la perpendiculaire ;

reste donc à démontrer que le point p' intersection du diamètre A p' B et de la diagonale M Qp', est la projection du point p'.

(10) Pour construire la projection p' du point P' sur le plan du cercle mobile, il faut employer le mêine systême de projection que pour les côtés du parallelogramme des vitesses; donc si on mene par le point P'une droite Pp' parallèle à AD (fig. 3), elle coupera le diamètre AB au point demandé p'; d'où il suit que l'expression de la droite Bp' doit être la même, soit que l'on considere ce, point p' comme la projection du point P', ou comme l'intersection du diamètre AB et de la droite MQ p', qui est la projection de la diagonale du parallelogramme des vitesses; considerous-le d'abord comme projection du point P intersection du plan tangent à la sphere suivant ME et de la perpendiculaire.

le

(11) Nommons le rayon du cercle fixe

rayon du cercie mobile l'angle du plan de ces deux cercles

le rayon des tables

m,

1

Ayant prolonge le diamètre 4B (fig. 2) jusqu'à ce qu'il rencontre la ligue des pôles FF' du cercle fixe en un point B', on a

Les deux triangles rectangles FCA et B M' P' sont semblables,

(12) Regardons maintenant le point p' (fig. 2) comme l'intersection du diamètre A B et de la projection 4Q p' de la diagonale du parallelogramme des vitesses du point M.

On a vu que les côtés MM', ML du parallelogramme M' MLQ sont dans le rapport des droites FD!, F'A; d'où