cos'y

des faces parallèles d'un parallélipipède, et par «,6,wy, les angles

6 que font entr'elles les trois faces différentes prises deux à deux; on démontre facilement que la solidité du parallelipipède est exprimée par

A' B'C'
VI - cos?
cos? 6

-- 2 CUS « , cos 6. cosq; Or, les trois distances A', I', C', sont respectivement égales aux trois plus courtes distances des arêles opposées de la pyramide inscrite, et les angles que forment entr'elles les droites sur lesquelles se mesurent les plus courtes distances, sont respectivement égaux aux angles a, 6, 7, formés par les faces du parallélipipède ; en observant que ces trois droites qui ne se rencontrent pas, ne font point entr'elles d'angles proprement dits, mais qu'il s'agit ici des angles que formeroient trois nouvelles droites inenées par un même point, et respectivement parallèles aux trois premières; on a donc encore la proposition suivante :

9

Dans une pyramide triangulaire, si l'on représente par A', B', C', les longueurs des trois plus courtes distances des arétes opposées, et par «, 6, 7, les angles que formeroient entre

, elles trois droites menées par un même point respectivement parallèles à ces trois plus courtes distances, la solidité de la pyramide est exprimée par

A'B'C'

2

3V 1 cosa cos 6- cos" y + 2 cos a. cos 6. Cosa, où il faut remarquer que les six quantités A', B', C', «, sont communes aux deux pyramides conjuguées.

, ,ه

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Sur la Transformation des coordonnées(I); par M.HACHETTE.

M. François, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, capitaine au Corps du Genie, a donné , dans le 14. cahier du

(1) J'invite MM. les Elèves à substituer cet article au paragraphe V de notre application de l'Algèbre à la Géométrie, pag. 20.

9

Journal de l'Ecolc (page 182), un mémoire remarquable, et par la notation et par l'élégance des formules ; je me suis proposé d'arriver à ces mêmes formules par des considérations géoinetriques et d'éviter les opérations de calcul.

La notation de M. François consiste à représenter un angle de deux axes, par exemple, de l'axe des x et de l'axe des y, par une parenthèse qui renferine ces deux lettres ; ainsi (x, y) signifie, angle de l'axe des x et de l'axe des y; (xy, yz) signifie, angle de deux plans, l'un xy, mené par les axes des x et y, l'autre yz

x mené par les axes des y et z; enfin (x, y) est l'angle d'un axe tel que

celui des x avec le plan yz. Cette notation étant adoptée, voici les formules de M. François, pour la transformation des coordonnées rectangulaires en d'autres coordonnées obliques.

x, y, sont les coordonnées rectangulaires, et x', y', s', les nouvelles coordonnées obliques.

x= x'cos (x', x) + y'cos (y',x) + z'cos (z', 2) (E) y = x cos (x, y) + ' cos (9', y) + z' cos (s', 9)

z = x cos (x', 2) + 'cos (3', 7) + z'cos (z', z). Ces expressions de x, y, z, ont l'avantage de faire voir que l'une quelconque, x par exemple, est composée de trois parties, et que chacune de ces parties est la projection d'une des trois nouvelles coordonnées sur l'axe des c. Pour expliquer ce qu'on entend par projection d'une droite sur une autre droite , que l'on conçoive une droite menée de l'origine des coordonnées au point dans l'espace que je désigne par (w); on arrive à ce point, ou par les trois coordonnées rectangulaires x,y,z, ou par les trois coordonnées obliques x', y', :', en sorte que la droite qui va de l'origine des coordonnées au point (w) est le quatrième côté d'un premier quadrilatère gauche, dont les trois autres sont 2,9,%, ou d'un deuxième quadrilatère gauche dont les autres côtés sont c', g', z' ; mais l'extrémité de x est effectivement l'intersection de l'axe des xc avec un plan mené par le point (w). parallèlement à celui des yz; c'est ce point d'intersection que je homme projection de (w) sur l'axe des x, et la projection d'une droite , sur une autre droite , est la partie de cette seconde droite comprise entre les projections des extrémités de la première ; projetant de la même manière, c'est-à-dire parallèlement au plan des

yz

les extrémités des a', y', x', la somme des trois projections de ces coordonnées sera égale à la projection de la droite , qui va de l'origine des coordonnées à l'extrémité de z'. Mais la projection de cette droite sur l'axe des x, a pour lon

gueur ; les projections de x', y', z' 'ont évidemment pour expressions

x' cos (x!, x), g' cos (y', x), z' cos (z', x): donc on peut écrire directement les équations (E),

Une observation de M. Binet (répétiteur à l'Ecole Polytechnique), sur la composition des forces, ne ni’avoit laissé aucun doute sur la possibilité d'appliquer la même propriété des projections à la transformation des coordonnées obliques en d'autres coordonnées obliques; en effet soient x', g', z' les coordonnées d'un point w), x'étant compte sur l'axe des X', y' étant parallèle à l'axe des y', et ' parallèle à l'axe des z', la droite qui va de l'origine des coordonnées au point (w) est le quatrième côté d'un quadrilatère dont les trois autres côtés sont x?, g', z'; si au lieu de x', y', z', on conçoit trois nouvelles coordonnées x", g", zl', allant de l'origine des coordonnées au même point (w), il est évident que la projection du quatrième côte du quadrilatère sur l'un des axes , est égale à la somme des projections des trois autres côtés x', y', z' ou x", g'', z''; la projection se faisant par des plans parallèles aux deux autres axes ; ainsi la projection de la droite qui joint l'origine des coordonnées et le point (w), sur l'axe des s', a pour longueur x'; elle est égale à la somme des projections des trois droites xl, g', z' ou x", 1", z" sur le même axe des x', ces projections élant faites comme celle du point (w), par des plans parallèles au même plan ( 3' !).

On m'a fait remarquer que la proposition dont je faisois usage pour un quadrilatère , s'appliquoit à un polygone quelconque fermé ; en sorte qu'ayant un système quelconque de points , joints deux à deux par des droites, et une droite fixe sur laquelle on projette ces points par des plans parallèles à un seul et même plan, la projection du polygone formé par les droites qui unissent ces points donnés, est égale à la somme des projections des côtés du polygone, en ayant égard aux signes de ces projections; signes qui peuvent être positifs ou négatiss. Ce théorème sur les projections est aussi général que celui dont M. Poisson a fait usage pour démontrer plusieurs théorêmes de dynamique. ( Voyez le premier volume de la Correspondance, page 387.)

Avant d'aller plus loin, j'observerai sur les équations (E), qu'on a entre les coefficiens de x', y', z', dans ces trois équations, les relations suivantes :

cos (x', 2) to cos (x', 3') + cos (x', z)?
(EN) cos (37, x0) + cos (g', y) + cos (y', z) = 1

cos (3', a) + cos (2',y)' + cos ( 3', 5)' = 1

2

l.

Sy':')

et si l'on passe d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de mêine espèce, alors les axes des x', des y', des s', sont rectangulaires , et on aura les trois autres relations :

cos (K', )* + cos (y', x)2 + cos (z', x) =1.
cos (a', y)' + cos ( ', y)' + cos (z', y) = 1.

cos (at', s)' + cos ( z', 3)' + cos (z', z)" Reprenons les équations de M. François , pour la transformation des coordonnées obliques en d'autres coordonnées obliques ; ac' sin (a's g! :') = sin (x", g'z") + y sin (y", y' z')

ta'siniz! y sin (y', c'z')=xsin ("', '3') + yll sin (y", x' z' 3

) + sin (z"!, x' z') ' z' sin (z', x'g')=x" sin (x", x' ') + y" sin (7", 2" 7')

ya' y + 2 sin (z", at' y'); x', y', u' sont les coordonnées primitives, et x", y", z' les coordonnées nouvelles.

La première des équations (F') fait voir que la valeur de s'est composée de trois parties; savoir : sin (Z'', g' z') sin (g", y' z') sin (z", y' z')

; sin (', y':') sin (a", y':') sin (x", y' z') or, ces trois quantités sont les valeurs des projections de x",y'',z'', sur l'axe des x', par des plans parallèles au plan des (y' z');

En effet, soient AB et AC (fig. I, pl. 1) les axes des gl et desz'; le plan de ces deux droites sera celui des (y'x'). Quelles que soient les projections orthogonales des deux axes x' et ä' sur le plan des (y!%), si les angles qu'ils font avec ce plan est constant, la longueur de la projection d'un x' quelconque sur l'axe (x"), ou d'un x' quelconque sur l'axe (<'), ne dépendra que de ces angles (on suppose que la projection de « ou x' soit faite par un plan parallèle à celui des (j' z')). En effet, l'axe des (a") élant fixe, qu'on fasse tourner l'axe des (zc') de telle manière que son angle avec le plan des (':') ne change pas, elle engendrera une surface conique droite , dont la base circulaire sera parallèle au plan des (zl); si par l'extrémité d'un " quelconque, on mène un plan parallèle à ce dernier plan, il coupera la surface conique droite suivant un cercle, et chacune des arêtes du cône comprise entre ce cercle et l'origine des coordonnées qui est le sommet du cône, sera une projection de x'' sur l'axe des (x'): or, toutes ces arêtes sont égales ; donc

Z

2

toutes les projections de x sur l'axe des (x') seront de même longueur; ou prouve de la même manière que toutes les projections des a' sur l'axe des xi" sont de même longueur; on peut donc supposer les axes des (x') et des (21!!) dans un même plan AD, perpendiculaire à celui des (Y'Z'). EAD et FAD sont les angles du plan (y' z') avec les axes des (2') et des (x"); le point E étant l'extrémité d'un x" quelconque, il est évident qu'en menant EF parallèle à AD, AF sera la projection de AF=x", sur l'axe AF des (x'); or, dans le triangle EFA, ona:

sin EFA: AE :: AEF: AF,

ou

et par

اج et

sin (c', g!' z') : x'':: sin (x", j' z'): AF, donc

sin (x", piz') AT= 2".

3 sin ( s', y' z') la même raison

sin (y!', g' z') sin (z'', y'Z')

sin (x!', 3.' z') sin ( sc', y' z') sont les projections de gi" et z' faites sur le même axe des (x') par des plans parallèles à (!:); donc en égalant la somme de ces trois projections à x', on aura la première des équations (E); on obtiendroit de même les deux autres par les valeurs de yet de z'. Il est à remarquer que le nombre des constantes qui entrent

à dans les équations (F), ne peut pas être réduit; car il faut au inoins trois quantités pour déterminer la pyramide triangulaire formée par les axes des (x'), des ( y') et des (2'); il en faut au inoins deux pour, déterminer la position de chacun des axes des (x"), 17''), (z"), par rapport à l'un quelconque des axes primitifs;

les consiantes nécessaires sont donc au nombre de neuf, comme on les voit dans les équations (F). Mais si l'on supposoit les axes des (x!'), (y"), (x"'), perpendiculaires entr'eux, en nommant«, 6, les angles d'une droite perpendiculaire au plan des (9! :') avec ces axes,

on auroil:

cos co + cos 6+ cos go = 1; donc,

sin (x"', y'z?)* + sin(y", X! :')' + sin (z", y' z')' =1;, et par la même raison ,

sin (x",x! z')to sin (71", x' z')' + sin (z'', x' :')*
sin (x"', X'y); + sin(", x' y')* +sin (z", x'y')=1.

2

2

1.