il suit que les droites EN, EM détermineront aussi la direction de la diagonale MQN, pourvu que le rapport de ces dernières droites soit égal à celui de M M'à ML ou de F' D'à F A.

(13) D'après les dénominations de l'article précédent CM' BM' —r', A M' = 2r! BM', A Fr. Dans le triangle rectangle A M'D', on a :

AD' cos m (2 r'—BM'); et par l'article (12), (a) EN: EM::F' D': F'A::r + cos m (2 r' — BM') : r d'où l'on tire:

EN-EM: EM:: cos m (2 r! - BM'): r.

(b) BN: EM:: cos m (2 r- BM'): r

les deux triangles rectangles CMM' et EMK sont semblables et donnent la proportion

EM(BM'')

T'.

de cette équation et des proportions (a) et (b), on tire les valeurs suivantes de E N et BN:

Les deux triangles rectangles NK Met NB p' donnent :

deuxième expression de B p'; et comme elle est égale à celle qu'on a trouvée art. 11, il s'ensuit que la tangente à l'épicycloide au point M (fig. 3) coupe la perpendiculaire BP au plan du cercle AMB en un point P', intersection de cette perpendiculaire et du plan qui touche la sphère du rayon au point M; donc la projection orthogonale de la tangente à l'épicycloïde sur le plan du cercle mobile est une droite MB, qui passe par l'extrémité du diamètre A B de ce cercle, dont l'autre

F

extrémité est le point de contact A du cercle mobile et du cercle fixe.

(14) Il est à remarquer que lorsque les droites F F, F C qui sont les lignes des pôles du cercle fixe et du cercle mobile, sont perpendiculaires entr'elles comme dans les fig. 1. a, fig. 2. a, la projection oblique Mp' et la projection orthogonale MB de la tangente à l'épicycloïde sur le plan du cercle mobile se confondent, et que le point p' se projette dans ce cas en B extrémité du diamètre AB; c'est après avoir examiné ce cas particulier, que M. Gaultier a employé le systême de projection oblique, qui l'a conduit à l'expression simple de la droite Bp', qui détermine la position de la tangente à l'épicycloïde pour le cas général où les deux lignes des pôles font entr'elles un angle quelconque.

(15) Les fig. 1, 2, 3, étant construites ainsi que la projection de l'épicycloïde sphérique sur le plan de la fig. 1, si on demande la tangente au point M" de cette projection, on abaissera la perpendiculaire p' p'' P' sur A D, et on fera p'' p'' = p' P'', la droite M" P' sera la tangente demandée.

(16) J'ai fait voir (pag. 26 de ce volume) que la tangente à l'épicycloïde est l'intersection de deux plans tangens à deux sphères dont les centres et les rayons sont connus; il suit de l'article 13 que l'intersection d'un de ces plans tangens et d'une droite connue de position détermine un point de cette tangente, en sorte qu'en joignant ce point et le point de contact donné sur l'épicycloïde, , par une droite, on a encore la tangente à cette courbe, comme par l'intersection des plans tangens aux sphères.

QUESTION PROPOSÉE AU CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES DE PARIS (année 1809).

(1. et 2. Classes de Mathématiques des Lycées. )

On suppose une sphère, donnée de position et tournant autour d'un de ses diamètres : par le centre de cette sphère on mène un plan indéfini, qui fait un angle donné avec l'axe de rotation: chacun des points de la sphère, dans son mouvement, décrit autour de cet axe une circonférence de cercle. On suppose maintenant que dans le plan donné il y ait un point qui se meuve autour de la sphère, dans une orbite circulaire, concentrique avec elle, et à une distance si considérable que les rayons

visuels menés de ce point à toute la surface de la sphère puissent être censés parallèles entre eux. Cela posé, s'il y a des taches sur la surface de la sphère, les cercles décrits par ces taches étant vus du point éloigné, paroîtront ovales.

On demande de déterminer la figure et l'équation de ces ovales. projetées sur un plan perpendiculaire à la direction des rayons visuels.

Et comme les dimensions apparentes varient suivant la position du point éloigné dans son orbite, il y aura une position où on les verra dans leur plus grande ouverture, et un autre où on les verra extrêmement applatis et semblables à des lignes droites.

On demande de déterminer ces deux positions, en supposant toujours l'origine des rayons visuels assez éloignés du centre de la sphère, pour qu'on puisse les considérer comme parallèles : ce problême a son application dans la nature, lorsqu'on observe les taches du soleil dans les différens temps de l'année. La sphère douée d'un mouvement de rotation représente cet astre : le plan fixe est l'écliptique; le point éloigné circulant dans ce plan se meut autour du soleil dans un orbite très-peu différent du cercle. Les taches du soleil observées de la terre, présentent dans leur mouvement de rotation autour de cet astre, les apparences successives que nous proposons de déterminer..

Solution qui a remporté le premier Prix au Concours général.

Par M. VANÉECHOUT, Elève de l'Ecole Polytechnique.

Soit A B (planc. 1, fig. 4. ) l'axe de rotation de la sphère, O son centre, D une des positions du point qui circule dans le plan donné. Je considère comme le plan de la figure celui qui passe par AB. et OD.

Tout point E de la sphère décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à l'axe, et dont le centre est sur cet axe. La projection de ce cercle sur le plan de la figure est une perpendiculaire EH à AB; et si, dans ce plan, je prends EH pour axe de abscises, et une perpendiculaire à EH menée par le point E, pour axe des ordonnées, l'équation de la courbe que décrit le point E, est en représentant EI par c,

y2 = 2cx-x2.

Il s'agit de trouver l'équation de cette courbe projetée sur ua

le

plan perpendiculaire à OD. Je choisis celui mené par point E; la trace EX' de ce plan est perpendiculaire à OD; de plus, ce plan est perpendiculaire au plan de la figure (puisqu'il l'est à OD): il renferme donc l'axe des ordonnées que l'on suppose élevé par le point E. Je conserve cette même ligne pour axe des ordonnées, et je prends la trace EX' de ce plan pour axe des abscises. Tout point de la courbe se projette sur le plan perpendiculaire, en y abaissant une perpendiculaire qui sera par conséquent parallèle au plan de la figure. Donc tout point de la courbe et sa projection sont également distants du plan de la figure ainsi les y ne doivent pas être changes. Quant aux x et x', si L est le pied de l'ordonnée d'un des points de la courbe, abaissant LM perpendiculaire sur EX', M sera le pied de l'ordonnée de la projection du même point. Donc EL et EM sont l'x et l'x d'un même point.

Or on a x

:

ac!
COS LE M

; et l'angle LEM est égal à

l'angle BOD comme ayant les côtés perpendiculaires. Repré

sentant donc ce dernier par a, il en résulte x=

L'équation de la projection est donc :

COS a

B

x

En la comparant à l'équation générale y2= x (2 A—s),

A

В

ou à A = c cos a projection du rayon IE sur EX'; cosa

A

α

COS a

COS

d'où В = à c. Il est donc le plus grand. Et comme c est une quantité constante, il s'ensuit que l'ellipse a plus ou moins d'ouverture selon que l'axe c cosa, ou simplement cos a, est plus ou moins grand.

c. Le second axe est donc toujours égal

Or, si O B' (fig. 5) est la projection de OB sur le plan dans lequel se trouve le point décrivant, OB étant l'axe de rotation, l'angle BOB', est l'angle de cet axe et du plan, angle qui est donné. D étant l'une des positions du point décrivant, on a BOD=a; représentons en outre DOB' pary.

Si a, b, c sont les trois angles plans d'un angle trièdre, et, que A,B,C soient les angles dièdres opposés, on a :

cos asin sin c cos A+ cos b cos c.

Et comme dans l'angle trièdre OBB'D, l'angle des deux plans BOB' et DOB est droit, on a cos a = cos • cos y.

Donc aux accroissemens ou décroissemens de cos y répondent ceux de cos a. Donc l'ellipse s'élargit ou s'applatit, selon que le point D s'approche ou s'éloigne de O B'. La plus grande valeur cos y est 1; alors le point D est sur OB' et il vient cosa = cos . Le deuxième axe est c cos. . C'est la plus grande valeur qu'il puisse avoir. Donc jamais la courbe décrite par une des taches ne paroîtra un cercle, à moins que cos I d'où =0, c'est-à-dire à moins que le plan donné ne passe par l'axe; alors la courbe décrite paroît un cerle quand le point D est sur cet axe. Si l'on a coso, d'où 100, y étant quelconque, o, le second axe c cosa est aussi zéro; et l'équation se reduit à xo équation de l'axe des ordonnées. Toujours l'on voit les courbes décrites suivant des lignes droites; et en effet, pour l'une quelconque des positions du point D, la direction OD des rayons visuels est constamment parallèle au plan de ces courbes; ce qui explique le résultat que donne l'analyse.

on a cos α

étant quelconque, si cos y o d'où y = 100 ̊, OD est alors perpendiculaire à O B'; et l'on a cosao. Il arrive donc dans ce cas particulier ce qui arrive pour une position quelconque de D quand 100°.

Extrait d'une Lettre de M. Gergonne, Professeur de Mathématiques transcendantes au Lycée de Nimes, département du Gard.

10 Juillet 1809.

Dans votre intéressante feuille que je lis très-assidument, mais qui ne paroît pas aussi fréquemment que pourroient le desirer ceux qui aiment et cultivent les sciences exactes, M. Monge a démontré que le centre de gravité d'un tétraèdre est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques. Il y a quelque temps que j'étois parvenu au même théorême d'une manière un peu différente et fort simple, en partant d'une remarque de Roberval qui probablement seroit aujourd'hui tout-à-fait oubliée, si l'illustre auteur de la Méca nique Analytique ne lui avoit en quelque sorte assuré l'immortalité en la consignant dans ce bel ouvrage. Cette remarque consiste en ce que le centre de gravité d'un tétraèdre est le même que