auffi poffible que toute autre combinaison particuliere à volonté, par exemple A A B A B A B B &c. où croix & pile font mêlés fans ordre & fans fuite? C'est ce que je ne crois pas, par la raifon que j'ai déja dite plus haut; favoir, que la variété des événemens fucceffifs eft un phénomène constant de la nature ; & que leur fimilitude conftante ou répétée un grand nombre de fois, est au contraire un phénomène qui n'arrive jamais.

X VI I.

Or fi on ne doit pas regarder toutes les combinaifons comme également poffibles;fi on doit rejetter,ou au moins fubordonner aux autres, celles qui ameneroient le même événement un très-grand nombre de fois de fuite, quelle régle doit-on se faire fur ce fujet? Doit-on étendre cette reftriction aux combinaisons qui ameneroient le même événement un petit nombre de fois de fuite, par exemple, trois ou quatre fois ? Et fi on ne doit pas l'étendre jufqu'à ces combinaisons, quelle eft celle où il faudra commencer? Voilà, ce me semble, des questions bien dignes d'exercer les Mathématiciens, supposé néanmoins qu'il foit poffible de les réfoudre.

XVIII.

Autre inconvénient où l'on tombe dans le calcul des Probabilités. J'ai déja remarqué dans l'Encyclopédie, au mot CROIX ou PILE, que dans ce calcul on fait fouvent une énumération fautive des événemens poffibles.

Par exemple, on demande combien on peut parier d'a mener croix en deux coups?» Toutes les combinaisons poffibles, répond-on, font celles-ci :

» Or de ces quatre combinaisons la derniere seule fait » perdre, & les trois autres font gagner; la probabilité

» eft donc de trois contre un «.

כם

Il est aifé de voir que cette énumération eft fautive. Car dès que croix fera arrivé au premier coup, le jeu eft fini, on n'en jouera pas un fecond; & ainfi les deux premieres combinaisons croix croix, croix pile, se réduifent à croix feule. Il n'y a donc que trois coups poffibles; Second coup.

Premier coup.

D'où j'ai conclu à l'endroit cité, que la probabilité étoit feulement de deux contre un, & non pas de trois contre un. J'examinerai plus bas si j'ai eu raison de réduire la probabilité au rapport de deux à un; mais il eft au moins bien certain que la maniere dont on prouve qu'elle eft de trois à un, eft un paralogifme.

XIX,

X I X.

Le paralogisme eft encore plus grand, si l'on parie d'amener croix, non pas en deux coups, mais en cent coups de fuite. Car dans ce cas, en fuivant le raisonnement ordinaire, on suppose que la combinaison qui ameneroit croix cent fois de suite, est aussi possible qu'aucune des autres en particulier. Or cette supposition (§. XV I. ) est au moins très-susceptible de conteftation. Il est donc au moins démontré, que cette maniere de réfoudre le Problême eft incertaine, & peut-être fautive.

X X.

Je fai qu'on peut envisager la chofe d'une autre maniere, & faire le raifonnement fuivant. La probabilité que croix arrivera au premier coup est÷; la probabi» lité que pile arrivera au premier coup, eft pareillement ; or dans ce fecond cas, la probabilité que croix ar» rivera au fecond coup eft, & celle que pile arri» vera au fecond coup eft x; ainfi la fomme des pro» babilités favorables, eft à celle des probabilités défa

-3 à 1. Donc la probabilité est toujours comme trois à » un, même en ne confidérant que les trois coups réel»lement poffibles; favoir, croix au premier coup; pile » & croix au premier & au second coup; ou bien pile . & pile au premier & au fecond coup«.

Opufc. Math. Tome II.

C

X X I.

Je réponds en premier lieu, que je ne fai fi on doit eftimer parou, la probabilité qu'on amenera pile ou croix au fecond coup. Je conviens qu'il eft incertain fi on jouera un fecond coup ou non ; & que la probabilité qu'on jouera ce fecond coup eft: mais la probabilité qu'on amenera pile ou croix au fecond coup, fuppofe nécessairement qu'on jouera ce fecond coup: ainfi, multiplier la probabilité d'amener croix ou pile au fecond coup (en fuppofant qu'on joue ce fecond coup), par la probabilité qu'on jouera ce fecond coup, n'est-ce pas regarder à la fois ce fecond coup comme devant avoir lieu, & comme étant néanmoins fimplement probable? Ce qui me paroît impliquer contradiction. Sans difficulté eft la probabilité d'amener croix à un coup quelconque, en fuppofant qu'on joue ce coup; mais s'il eft incertain qu'on joue ce coup, fi la probabilité qu'on le jouera, eft, alors multiplier la premiere probabilité par la feconde, n'eft-ce pas multiplier l'une par l'autre deux probabilités de différente nature une probabilité (favoir la premiere) qui refte toujours, & une probabilité (favoir la feconde) qui ne refte pas toujours, mais qui devient certitude dès qu'on la multiplie par la premiere ? En effet la probabilité d'amener croix ou pile, fuppofe néceffairement qu'on jouera le coup; ainfi la combinaison de cette probabilité avec la feconde fait changer à celle-ci de nature, & la

fuppose certaine, de fimplement probable qu'elle étoit auparavant?

XXII.

I

Je réponds en fecond lieu, que cette maniere d'eftimer les probabilités, eft fujette à toutes les difficultés dont nous avons parlé au commencement de ce Mémoire. Car fuppofons qu'on joue, par exemple, en cent coups; la probabilité que croix n'arrivera qu'au centiéme coup, feroit fuivant cette méthode ; ce qui fuppose que la probabilité que pile arrivera 99 fois de suite, Or je demande s'il eft physiquement possible que pile arrive 99 fois de fuite; & fi par conféquent on ne doit pas (§. XII.) regarder la probabilité com

eft

I

299

299

299

me égale à zéro ? Si cela eft, il s'enfuivra; 1o. que la régle eft fautive, au moins dans le cas où on joue un grand nombre de coups de fuite; 2°. qu'elle eft au moins fort incertaine dans les autres, puifqu'il n'y a pas de raison, par exemple, de ne pas diminuer la probabilité ou

de quelque petite partie, fi la probabilité être regardée comme nulle.

XXIII.

I

299

doit

Je viens maintenant aux difficultés qu'on peut faire fur la méthode que nous avons donnée Art. XVIII,