Page images
PDF
EPUB

veiles Tables de la Lune, d'un usage très-simple et très - facile,

pag.239
NOUVELLES TABLES de la Lune,
EXEMPLE pour faire usage de ces Tables,

P: 307
QUINZIÉME MÉMOIR E.
De la libration de la Lune ,

pag. 313

pag. 281

1

[ocr errors][merged small]

OPUSCULES MATHÉMATIQUES.

DIXIÉME MÉMOIRE:

Réflexions sur le calcul des Probabilités.

I.

A régle ordinaire de l'analyse des jeux de hazard, est celle-ci: multipliez le gain ou la perte que chaque événement doit produire, par la probabilité qu'il y a que

cet événement doit arriver; ajoutez en

Semble tous ces produits , en regardant les pertes comme des gains négatifs ; & vous aurez l'efpérance du joueur, ou , ce qui nevient au même, la somme Opufc. Math. Tome II,

A

que ce joueur devroit donner avant le jeu , pour commentcer à jouer but-à-but. Aucun Analyste, que je fache, n'a jusqu'ici révoqué cette régle en doute, & tous s'y sont conformés dans les calculs qu'ils ont faits des différentes probabilités. Il se trouve néanmoins des cas où elle paroît être en défaut, & qui vont faire la matiere de quelques réflexions.

I I.

Le premier de ce cas est celui dont il est fait mention dans le Tome V des Mémoires de l'Académie de Petersbourg. Pierre joue avec Jacques à croix ou pile, à cette condition, que si Pierre amene croix au premier coup, Jacques lui donnera un écu ; s'il n'amene croix: qu'au second coup, deux écus; si au troisiéme coup, quatre écus; si au quatrieme, huit écus , & ainsi de suite en progression Géométrique ; on demande l'espérance de Pierre , ou ce qu'il doit donner à Jacques pour jouer avec lui à jeu égal.

Suivant les régles ordinaires, la probabilité que croix arrivera au premier coup, est , au second coup , au troisiéme , &c. & ainsi de suite ; donc conformément à la régle ci-dessus, l'espérance ou l'enjeu de Pierre feroit 1x + 2x + 4x} + &c. = =+*+&c. à l'infini

00 ; c'est-à-dire, que Pierre devroit donner à Jacques ayant de commencer le jeu , une fomme infinie , pour jouer avec lui à jeu égal. Or, indépendamment de ce qu'une fomme infinie est une chimere , il n'y a personne

4

qui voulůt donner pour jouer à ce jeu, je ne dis pas une somme infinie, mais même une somme assez modique. La régle paroît donc être en défaut, au moins

pour

ce cas,

III.

La premiere idée qui se présente pour la justifier , eft de dire,que si l'espérance où l'enjeu de Pierre se trouve infini, c'est parce qu'on suppose tacitement que le jeu doit ou peut durer un tems infini; c'est-à-dire , que croix peut n'arriver qu'après un nombre infini de jets. Or, dira-t-on, cette supposition est absurde; car il faudra bien que croix arrive enfin après un nombre de jets fini , si grand qu'on voudra. Le jeu proposé ne doit donc pas durer toujours, ne le sauroit même, & par conséquent l'espérance de Pierre n'est que finie.

I V. A cela je réponds d'abord qu'on suppose gratuitement que croix doit arriver nécessairement après un nombre fini de coups ; car il est dans l'ordre des choses poslis bles ( telles que l'analyse ordinaire des jeux de hazard les considere ) que pile arrive à tous les coups , & que pac conséquent croix n'arrive jamais. L'analyse des jeux de hazard (telle encore une fois que tous les Mathématiciens l'ont suivie jusqu'à présent ) suppose que toutes les combinaisons sont également possibles , chacune en particulier. Que l'on joue , par exemple, en 60 coups , au lieu de jouer en un nombre de coups indéfini; le nombre des combinaisons possibles est 260, & sur ces combinaisons il y en a une qui n'amenera jamais. croix; mais cette combinaison est regardée par les Analyftes, comme étant ausli possible, qu'aucune des autres combinaisons prise en particulier. Il est donc possible (au moins en suivant les principes adoptés jusqu'à préfent

par les Analystes) que croix n'arrive jamais ; & pas conséquent on ne doit point reprocher au calcul précédent, ni cette fupposition., ni la conséquence nécessaire qui en résulte , savoir une somme infinie pour l'espérance ou l'enjeu de Pierre; ou bien, si on attaque cette supposition, il faudra nécessairement réformer, à plusieurs autres égards, l'analyse des probabilités; c'est ce que nous discuterons plus bas.

V. En second lieu, je veux bien supposer que croix arrivera enfin nécellairement après un nombre fini de coups; il est au moins évident qu'on ne sauroit fixer ce nombre de coups , qu'il est indéterminé ou indéfini ; d'où je cons clus deux choses; to. que quelque somme finie qu'on assigne pour l'espérance ou l'enjeu de Pierre, cette somme pourra être au-dessous de celle qu'il doit donner réellement à Jacques. Supposons, par exemple, qu'on affigne trente écus pour l'espérance de Pierre; on aura donc supposé que croix doit arriver nécesairement en soixante coups ; ce qui est absurde. Car il est évident (s. précédent) qu'en se bornant à considérer ce qui eft eis

« PreviousContinue »