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goureusement possible , pile peut arriver soixante fois de fuite; & d'ailleurs pourquoi croix arriveroit-il nécelairement en soixante coups , plutôt qu'en cinquante-neuf ou en soixante-un? Il en sera de même de toute autre supposition qu'on pourroit faire. 2°. Si on dit que la somme qui indique l'espérance de Pierre, est finie & indéterminée, on ne fait qu'éluder la question; car il est évident qu'on peut supposer deux joueurs qui jouent ensemble aux conditions proposées ; il est évident de plus que Pierre doit avoir à ce jeu un grand avantage , & il s'agit de savoir comment estimer cet avantage inconnu; car il est évident encore que cet avantage n'est pas infini , quoique le calcul semble le donner plus grand qu'aucun avantage fini. Voilà donc un cas, très-possible dans les jeux de hazard, où la régle est en défaut; cette régle n'est donc pas générale.

V I. En troisiéme lieu, je suppose que l'on joue en un nombre fini de coups , par exemple , en cent coups; on trouvera que Pierre doit donner cinquante écus à Jacques. Or il n'y a point de joueur qui voulût donner cette fomme en pareil cas; car il faudroit , pour qu'il rattrappât cette somme en jouant, que croix ne vînt qu'au septiéme coup; & assurément Pierre croiroit trop risquer d'attendre que ce cas arrivât.

V I I. Un Géometre célébre de l'Académie des Sciences s

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plein de savoir & de fagacité, avec lequel je raisonnois un jour sur cette question, m'en donna une solution qui paroît d'abord satisfaisante, & qui est très-simple, quoique très - ingénieuse. » On ne doit point supposer, me

dit-il, que le nombre des jers soit infini, ni même indéterminé; car Jacques , quelque riche qu'on le sup

pose, n'a pas une somme infinie en argent à donner » à Pierre; il n'a , & ne peut avoir qu'une certaine quan» tité finie d'argent. Supposons-le riche de 299 écus , somo me exorbitante, & qui passe le vraisemblable; il est

évident qu'il ne pourra jouer au-delà de cent coups ; » & qu'ainsi l'espérance ou l'enjeu de Pierre est cinquante

écus. Voilà ce que Pierre doit donner à Jacques pour jouer avec Jacques à jeu égal : & en general si le bien de Jacques eft 2 *, ou entre 2* & 2*+1, il ne peut

' » jamais y avoir plus de x + 1 coups possibles , & l'espéo rance ou l'enjeu de Pierre fera

Telle est la solution imaginée par ce fayant Géometre.

!

1

2

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écus *.

2

VIII.

Mais la remarque faite dans le s. VI, montre, ce me semble, l'insuffisance de cette solution, toute ingénieuse & toute simple qu'elle est. Car dans le cas proposé, où le bien de Jacques est supposé 299 écus , & où l'on joue en cent coups, il est bien certain que Pierre croiroit risquer beaucoup au-delà de ce qu'il doit, en donnant cinquante écus à Jacques. Pourquoi cela ? C'eft , comme

nous l'avons dit, qu'il faudroit, pour que Pierre rattrappât sa mise & au-delà, que croix n'arrivât qu'au septiéme coup; que , suivant les régles ordinaires du calcul des combinaisons, il y a 127 contre un à parier que croix arrivera plutôt , auquel cas Pierre perdra sa mise en partie ou en total ; & qu'une probabilité de 127 contre un est fi petite , qu'on ne doit point risquer une somme d'argent (même assez médiocre ) vis-à-vis de cette probabilité, quand même le gain qui en pourroit résulter , feroit immense. En voici la preuve.' Qu'on propose à quelque homme que ce soit de gagner dix millions à une Loterie de 128 billets , où il n'y a que ce seul lot de dix millions; son espérance & fon enjeu par conséquent, ce qu'il devroit donner pour jouer au pair (suivant les régles ordinaires des probabilités ) seroit 10900309

1 78125. Cependant quel seroit l'homme assez insensé pour risquer cette somme?

I Xi

2 8

Dirat-on que cette somme ne peut pas être risquée par cette seule raison, qu'étant trop forte , elle feroit une bréche trop considérable aux biens du Joueur? Mais 1o. il s'ensuivra au moins de-là, que quelque grande que soit la somme espérée (qui est ici de dix millions ) la mise ne doit pas toujours y être proportionnelle , tout le reste d'ailleurs égal ; & qu'ainsi il y auroit au moins à cet égard des modifications à donner à la régle, jusqu'à présent admise par tous les Analystes, que la

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mise doit être proportionnelle à la somme que l'on ef-
pere. 2°. Supposons qu'au lieu de dix millions , le lot
ou la somme espérée ne soit que de 128 écus, il faudra
que
le joueur donne un écu pour sa mise ; & quoiqu'un

fa
des 128 billets doive sortir de la roue, & que ce billet
puisse être absolument celui qui porte le lot, il n'est
personne qui en ce cas ne doive regarder sa mise comme
de l'argent perdu, par le grand risque qu'elle court. Il
est vrai, que si le joueur n'est pas fort pauvre, cette
perte l'incommodera

peu;

mais enfin c'est toujours une perte; & dans l'analyse des jeux de hazard, on considere la perte ou le gain d'une maniere absolue , & indépen damment de la fortune des Joueurs.

X.

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Que conclure de ces réféxions ? C'est que quand la probabilité d'un événement est fort petite, elle doit être regardée & traitée comme nulle ; & qu'il ne faut point multiplier ( comme on l'a prescrit jusqu'à présent ) cette probabilité par le gain esperé, pour avoir l'enjeu ou l'espéa rance. Par exemple, que Pierre joue avec Jacques en 100 coups , à cette condition que si Pierre amene croix au centiéme

coup, & non auparavant, il recevra de Jacques 2100 écus: on trouve (en suivant la régle ordinaire ) que Pierre devroit donner un écu à Jacques avant le jeu. Or je dis que Pierre ne doit pas donner cet écu;

; parce qu'il le perdra certainement, & que croix arriyera

certainement

Certainement avant le centiéme coup, bien qu'il ne doive pas arriver nécessairement,

X I.

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2

Pour confirmer ce que je viens de dire , je fuppose qu'on jette une piéce en l'air cent fois de suite: il est certain ; 1°. que

le nombre des combinaisons possibles est 2100, c'est-à-dire, qu'il y a 2100 différentes combinaifons possibles de la maniere dont croix & pile peuvent arriver , lorsqu'on jette la piéce en l'air cent fois de fuite ; ce qui fait en tout 2100 x 100 coups. 2°. Que si par conséquent on jette la piéce en l'air 2100 x 100 fois de suite, c'est-à-dire , qu'on recommence le jeu 2100 fois, il sera arrivé 21oo combinaisons de croix & pile pris dans cent jets consécutifs. 3o. Que par conséquent chacun des 2100 événemens se trouvera une fois, ou quelqu’un plusieurs fois, parmi les 2100 combinaisons que croix ou pile doivent produire dans ce cas. Or je dis qu'on peut parier sans rien craindre, que de ces 2100 combinaisons , celle qui amenera croix cent fois de suite, ou pile cent fois de fuite , n'arrivera pas une seule fois dans les 2100 qu'on a (hyp.) recommencé le jeu, en jettant à chaque jeu la piéce en l'air cent fois de suite; par conséquent quelqu'une ou plusieurs des combinai. sons, où croix & pile se trouvent mêlés, arriveront nécessairement plusieurs fois dans ces 2100 fois. J'ajoute que

les combinaisons qui arriveront le plus souvent , feront celles où croix & pile fe trouveront le plus mêlés,

Opusc. Math. Tome II.

B

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