devient sensible au bout de quelques jours. Dans les horloges employées pour des observations astronomiques il devient donc néces. saire d'observer l'arc d'oscillation, et s'il est différent de celui que décrit le pendule, il y a une correction à faire à l'heure indiquée par l'horloge. Cette correction doit être égale à la moitié de trois fois la différence du carré de l'arc donné et de celui de l'arc décrit par le pendule, ces arcs étant exprimés en degrés; l'horloge gagnant ou perdant selon que le premier de ces arcs sera plus ou moins grand que le second. Ainsi, si l'horloge marque juste lorsque le pendule oscille dans un arc de 3o, elle perdra 10" par jour avec un arc de 4o,

car

4-32+7x=10".

Le pendule simple, ou pendule mathémathique, n'est qu'un pendule fictif, que les géomètres considèrent par abstraction et qui est impossible à réaliser, puisqu'il se compose d'un point matériel pesant, soutenu par un fil sans pesanteur, dont la longueur devient celle du pendule.

Pendules composés.

Pour appliquer aux pendules réels les résultats du pendule simple, il faut considérer en eux un point particulier nommé centre d'oscillation, qui a la propriété de se mouvoir, malgré sa liaison avec les autres points du système, de manière qu'il formera un pendule simple s'il vient à s'en séparer sans que sa distance au point de suspension varie. La position de ce point dans les pendules composés dépend de la forme du corps qui oscille, et ne peut être pour chaque corps rigoureusement trouvée que par l'expérience. Il existe entre le centre d'oscillation et le point du corps autour duquel le mouvement se fait, point qu'on nomme centre de suspension, il existe, disons-nous, une entière réciprocité, c'est-à-dire que si l'on suspend un corps par son centre d'oscillation, qui devient ainsi centre de suspension, le centre de suspension primitif devient à son tour centre d'oscillation, et le mouvement du pendule est le même qu'auparavant. On conçoit sans peine comment cette propriété peut servir, au moyen de tåtonnements forts simples, à déterminer pour un pendule composé la position de son centre d'oscillation, et par suite la longueur du pendule simple qui lui correspond.

La longueur verticale d'un pendule doit s'estimer par la distance de son centre d'oscillation à son centre de suspension, et par conséquent les temps d'oscillation de différents pendules sont dans la même proportion que les racines carrées des distances de leurs centres d'oscillation à leurs axes.

Le lieu du centre d'oscillation peut se dé

terminer lorsque la position du centre de gravité et celle du centre de révolution sont connues; car la distance du centre d'oscillation à l'axe s'obtiendra toujours en divisant le carré du rayon de révolution par la distance du centre de gravité à l'axe. Ainsi, si 6 est le rayon de révolution, et 9 la distance du centre de gravité à l'axe, 36, divisé par 9 ou 4, sera la distance du centre d'oscillation à l'axe. On peut déduire de là, en général, que plus est grand le rayon de révolution à l'égard de la distance du centre de gravité à l'axe, plus sera grande la distance du centre d'oscillation.

On voit par là que la longueur d'un pendule n'est pas limitée par les dimensions de son volume. Si l'axe est placé de manière à ce que le centre de gravité en soit près, et que le centre de révolution en soit comparativement éloigné, le centre d'oscillation peut se placer beaucoup au delà des limites du corps à pendule. Supposons que le centre de gravité soit à la distance de 0,027 de l'axe, et le centre de révolution à celle de 0,32, le centre d'oscillation sera à la distance de 3,897. Un pareil pendule ne peut, dans ses plus grandes dimensions, surpasser 0,32, et cependant son temps de vibration sera égal à celui d'un pendule simple de la longueur de 3,897.

On peut faire ainsi osciller des pendules de petites dimensions aussi lentement qu'on le désire. Les instruments appelés métronomes, dont on fait usage pour marquer la mesure en musique, sont construits sur ce principe.

:

Il est encore un autre moyen de diminuer la longueur du pendule, tout en conservant et même en accélérant la durée des oscillations; c'est de le former de deux branches comme un secteur, et de le suspendre par un point angulaire tel est le pendule nommé angulaire. Dans ce pendule la durée des oscillations dépend de la longueur des branches et de l'angle qu'elles forment; aussi un pendule de ce genre doit-il être construit pour osciller dans un temps donné. L'extrémité de chaque branche porte, comme les autres pendules, une balle ou un disque. On peut facilement démontrer que dans le pendule angulaire les carrés des durées d'oscillation sont comme les sécantes du demi-angle formé par les branches, d'où il résulte que si ce pendule oscille par demi-secondes quand ses branches sont fermées, il oscillera par secondes quand ces mêmes branches seront ouvertes de manière à former un angle de 151° 2′ 36".

Fig. 7. On doit à Huyghens le pendule circulaire ou cycloïdal, ainsi nominé à cause de le figure décrite par le disque de l'instrument. Pour bien en comprendre les principes, il faut se reporter au lemme suivant, savoir les temps de révolution circulaire d'une sphère pesante accomplissant sa révolution dans une

que

paraboloïde concave sont égaux, quels que soient les rayons qu'elle décrit.

Pour construire un pendule de manière que son disque décrive sa révolution sur une surface paraboloïdale, il faut que sa verge soit flexible et suspendue de manière à décrire la parabole voulue.

Soit KH un axe perpendiculaire à l'horizon, ayanten K un pignon mû par l'une des roues d'une horloge, et garni en H d'un point d'acier se mouvant sur un point d'agate, de manière à ce qu'il y ait le moins de frottement possible. Maintenant, si l'on veut que chaque oscillation du pendule se fasse dans la durée d'une seconde, il faut que la paraboloïde dans laquelle il oscille soit telle que son arc soit double de la longueur du pendule ordinaire à demi-secondes.

Soient O le foyer de la parabole MEC et MC l'arc; soit AE=MO=;MC=la longueur d'un pendule à demi-secondes. Au point A de la verge du pendule soit fixé, par une de ses extrémité, un plan AB, dont l'autre extrémité se rattache à un bras BD perpendiculaire à KH. La figure du plan AB est celle de l'évolution de la parabole donnée MEC. On apx=y3 pour l'équation de cette évolution, qui est celle de la développée de la parabole.

27

27

16

2

Soient p=P, alors Pr2=y3, et, au foyer,

16

16 8

l'on tire x=2 P', et x= pour les distances du foyer au sommet A. En prenant la valeur de x, on trouve les ordonnées de la courbe.

Le ressort ou la verge doit être d'une longueur telle que lorsque l'une de ses extrémités se trouve en B, elle doit passer par le plan AB, et y être suspendue perpendiculairement de manière à ce que le centre du disque du pendule soit en quand il est en repos. Maintenant, la verge KH étant mise en mouvement, le disque du pendule commence à osciller, et en vertu de la force centrifuge il est porté, en dehors de l'axe, à quelque point F.

Pendules à compensation.

Nous venons d'examiner les principales propriétés du pendule; il est évident que si l'on pouvait trouver pour le construire une substance qui ne fût susceptible d'aucun changement dans ses dimensions par le changement de température, il est évident qu'un pendule ainsi construit serait des plus convenables pour mesurer le temps, puisque, le centre d'oscillation restant toujours à la même distance du point

de suspension, les oscillations auraient toutes une égale durée. Comme, au contraire, on ne connaît point de substance qui se dilate par la chaleur et ne se condense par le froid, il en résulte que la longueur du pendule varie à chaque variation de température, en sorte que la durée de ses oscillations éprouve des variations correspondantes. L'effet d'une différence de température de 25o, ou de celle qui existe ordinairement entre l'hiver et l'été, fait gagner ou perdre 6" sur 24 heures à une horloge dont le pendule est suspendu à une verge de fer.

On a donc regardé avec raison comine une question de la plus haute importance celle de découvrir quelque moyen de compenser les variations auxquelles est sujette la lon. gneur du pendule, ou, en d'autres termes, d'imaginer une méthode par laquelle le centre d'oscillation reste à la même distance du point de suspension, quels que soient du reste les changements de température. Les différences de dilatation de diférents métaux présentent un moyen facile d'arriver à cette solution.

Graham, en 1715, fit plusieurs expériences pour déterminer la dilatation relative de divers métaux, afin d'arriver à la construction d'un pendule à compensation. Mais il trouva si peu de différence de dilatation entre les métaux essayés, qu'il renonça à tout espoir de parve. nir à son but de cette manière. Ayant remarqué toutefois que le mercure est bien plus sensible que tout autre corps aux variations de température, il pensa que si l'on pouvait faire monter le mercure quand la verge du pendule s'allonge, on conserverait toujours le centre d'oscillation à la même distance du point de suspension. Cette idée donna naissance au pendule à mercure, qui fut mis de côté pour faire place au pendule à grille, mais dont le mérite a été reconnu récemment d'une manière assez générale pour qu'on le regarde dans certains cas comme préférable aux autres.

Les recherches de Graham éveillèrent la sagacité d'Harrison, qui, en 1736, construisit un pendule formé de deux verges de cuivre et d'acier parallèles. Cette sorte de pendule est connu sous le nom de pendule à grille, qui prit la place du pendule à mercure, comme nous venons de le dire.

Leroy, horloger à Paris, proposa, en 1738, un autre genre de pendule compensateur, fondé sur le même principe que celui d'Har risson. Sur une traverse fixe s'élevait un tube de laiton; à sa base supérieure était fixée la tige en fer du pendule; cette tige était interrompue, à la hauteur de la traverse, par un double ruban formé de deux petites lames d'acier flexibles qui passaient à travers une fente très-étroite pratiquée dans cette même

traverse. Par cette disposition, la longueur d'oscillation était à peu près égale à la distance qui séparait cette fente du centre de gravité. On conçoit que le rapport de la hauteur du tube de laiton à la longueur de la tige de fer pouvait être déterminé d'après les coefficients de dilatation des deux métaux, de manière à ce qu'il y eût compensation, ou que le centre de la lentille ne bougeât pas. Le coefficient de dilatation du fer est de celui du laiton, ...; la hauteur totale du tube devait donc être les, ou à peu près les deux tiers de la longueur totale de la tige, c'est-à-dire environ le double de la longueur d'oscillation. Ce moyen, qui augmentait par trop les dimensions de l'instrument, fut abandonné.

M. Henri Robert, horloger à Paris, a imaginé un pendule compensateur fort simple; l'appareil se compose d'une tige en platine traversant une lentille en zinc qui s'appuie sur son extrémité. Les dilatations de ces deux métaux varient assez pour que la compensation puisse être établie.

Avant d'entrer dans la description de quelques pendules compensateurs dont nous donnons les figures, nous présenterons une table des dilatations linéaires de différentes substances, depuis le terme de la congélation de l'eau jusqu'à son ébullition.

Le mercure se dilate en volume, depuis zéro jusqu'à l'eau bouillante, de 0,018018 Ou 3505

Il est facile, d'après cette table, de déterminer la longueur d'une verge construite avec l'une de ces substances, et dont la dilatation soit égale à celle d'une verge faite avec toute autre de ces substances et d'une longueur donnée. Évidemment les longueurs de ces verges seront en raison inverse de leurs dilatations. Si l'on divise par conséquent la dilatation moindre par la plus grande (en supposant la verge de longueur donnée faite de la substance la moins dilatable), et que l'on multiplie cette longueur par le quotient, on aura la longueur d'une verge dont la dilatation sera égale à celle de la verge donnée. Ainsi, par exemple, la dilatation d'une verge d'acier étant, d'après la table, 0,0019791, et celle d'une verge de cuivre 0,0017173, si l'on veut déterminer la longueur d'une verge de cuivre qui se dilate autant qu'une verge d'acier de 1 mèt., 05, on trouve 1993: 0,640 qui, multiplié par 1 mèt., 05, donne 0,64 pour la longueur de la verge de cuivre demandée.

La table suivante donne le rapport des longueurs des substances que l'on peut employer dans la construction des pendules à compen. sation.

La verge

en fil de fer. en acier. en fil de fer.

en acier.

en verre.

en verre.

en bois. en bois..

Les pendules à compensation sont surtout employés dans les horloges, qui elles-mêmes, sinon toutes, au moins celles qui sont en usage dans les appartements, en ont pris le nom de pendules, ellipse d'horloges à pendule. Nous rappellerons à ce sujet que Huyghens fut le

:: 1: 0,1609

:: 1: 0,4308

:: 1: 0,3993

:: 1: 0,3973

:: 1: 0,3682

:: 1: 0,3007

:: 1: 0,2773

:: 1: 0,1427

:: 1: 0,1313 :: 1: 0,0728 ::: 0,0703 :: 1: 0,0529

premier qui adapta le pendule de Galilée aux instruments destinés à mesurer le temps.

Le pendule d'une horloge est généralement suspendu par un ressort fixe à son extrémité supérieure, et passant par une fente pratiquée dans une pièce appelée le coq de la pendule;

le point de suspension est, par conséquent, cette partie du ressort que rencontre la surface inférieure du coq. Or, la distance du centre d'oscillation du pendule peut varier de deux manières : 1° soit en tirant en haut le ressort par la fente; 2° soit en élevant la lentille du pendule. Chacune des ces méthodes peut se pratiquer dans le pendule à compensation, mais la première est sujette à des inconvénients qu'on ne rencontre pas dans la seconde.

d'acier jusqu'en E, en la remontant jusqu'à ce qu'elle arrive en C. La longueur totale des pièces d'acier s'étendant en bas est égale à SD+DF+FC, ou à 1 mèt., 05, à quoi il faut ajouter une longueur d'acier égale à celle de la verge de cuivre BR, 1 mèt., 65, faisant ensemble, comme dans l'autre appareil, 2 mèt., 35 d'acier, dont l'expansion en bas est compensée par l'expansion en haut de la verge de cuivre, de 1 mèt., 65 de longueur.

Les explications suivantes rendent comple des deux procédés..

Fig. 8, 9, 10. Soit un pendule d'acier, SC, de 1 mèt., 05 (fig. 8); on veut le compenser au moyen d'une verge de cuivre. Le ressort du pendule passant par le coq en S est attaché à une seconde verge d'acier fixée, en A, à la pièce transversale RA; l'autre extrémité R de cette pièce est fixée à une verge de cuivre attachée par son extrémité inférieure à la languette B du pendule. Or, la verge de cuivre BR doit s'étendre en haut autant que la verge AC s'étend en bas; et la longueur du cuivre doit être telle qu'elle laisse 1 mèt., 05 de la verge d'acier au-dessous du coq du pendule.

On essaye d'abord une verge d'acier de 2 mèt., 16. En multipliant ce chiffre par 0 mèt., 55, on obtient 1 mèt., 1880 pour la longueur du cuivre, qui compense 2 mèt., 160 d'acier; mais comme i mèt., 1980 d'acier, égal en longueur au cuivre, serait dans ce cas audessus du coq du pendule, il ne resterait que O mèt., 97 au-dessous au lieu de 1 mèt., 05. En prenant une verge d'acier de 2 mèt., 35, on arrive à un meilleur résultat. En effet, cette quantité multipliée, comme la précédente, par 0 mèt., 55, donne 1 mèt., 2925 pour la longueur de la verge de cuivre, et laisse par conséquent au-dessous du coq du pendule 1 mèt., 057, longueur suffisamment approximative pour le but proposé.

Il est aisé de voir, d'après ce qui vient d'être dit, que la longueur totale de la matière dont est composée la verge du pendule doit toujours être égale à la longueur du pendule, ajoutée à la longueur de la compensation.

Dans l'exemple précédent, la compensation a été obtenue en tirant le ressort du pendule par la fente; il s'agit maintenant d'arriver au même résultat en faisant mouvoir la lentille du pendule.

Soit SC (fig. 9) une verge de la longueur de 1 mèt., 05, comme dans l'autre système; l'on fait détourner la verge d'acier SD à angle droit en D, et monter perpendiculairement, de cette pièce en croix jusqu'en R, une verge de cuivre BR de 1 mèt., 65 de longueur; puis à la partie supérieure de la verge d'acier on fixe une autre pièce transversale RA, et de l'extrémité A l'on fait descendre une verge

Cette forme de balancier est incommode, en raison de la longueur considérable du cuivre et de l'acier qui s'étend au-dessus du coq du pendule; mais on peut diminuer cet inconvénient, car il est indifférent que le cuivre et l'acier soient d'une ou de plusieurs pièces, pouvu que les pièces d'acier soient toutes arrangées de manière à s'étendre en bas, et les pièces de cuivre de manière à s'étendre en haut. Ainsi dans la fig. 10 les portions d'acier qui s'étendent en bas sont, prises ensemble, égales à 2 mèt., 70, et les pièces de cuivre qui s'étendent en haut ont une longueur de 1 mèt., 65.

Fig. 11. Pendule à grille. Ce qui a été dit précédemment nous dispense de revenir sur le pendule d'Harrison, ou pendule à grille, que représente la figure. Les lignes foncées indiquent les verges d'acier, les lignes plus pâles celles de cuivre. La verge centrale est fixée, par son extrémité inférieure, au milieu de la dernière pièce transversale, et passe librement dans les trous des pièces transversales supérieures, tandis que les autres verges ont leurs extrémités assujetties par des boulons à ces mêmes pièces transversales, afin de donner plus de solidité à l'appareil; toutes les verges passent librement dans les ouvertures de deux traverses qui embrassent tout le système.

Fig. 12. Pendule compensateur de Thiout; il doit son nom à un horloger français. Dans ce pendule, la compensation est établie au moyen de deux verges de même métal, c'est-à-dire toutes deux en acier. L'une A a son point fixe en haut, l'autre B l'a en bas; l'on conçoit que les dilatations, s'opérant ainsi en sens contraires, doivent nécessairement se compenser.

Fig. 13. Pendule compensateur d'Elliot. Une verge de cuivre ab est fixée sur la verge d'acier, c, du pendule, par des écrous disposés de manière à lui permettre de se contracter et de se dilater librement.

La verge d'acier c est d'une longueur suffisante pour traverser complétement le disque du pendule eeee.

Deux pièces d'acier f, f, en forme de leviers, tournent par leurs pivots intérieurs dans deux ouvertures pratiquées dans la verge du pendule, tandis que leurs pivots extérieurs jouent dans un coq écroué sur la même par

tie de la verge (il n'est point indiqué sur la figure). Deux écrous g, g, sont disposés de manière à presser, avec tout le poids du disque, sur les longs bras des leviers, et il en résulte que les petits bras pressent, de leur côté, la verge de cuivre en b. Maintenant, supposons que la verge d'acier du pendule ainsi que celle de cuivre qui y est adaptée se dilatent par la chaleur, mais que le cuivre s'allonge plus que l'acier : le premier, par son excès de dilatation, déprimera les petits bras du levier en b, et fera par conséquent remonter le disque, qui s'arrêtera en ƒ, ƒ, sur les longs bras du même levier. C'est ainsi que s'établit la compensation.

Fig. 14. Pendule tubulaire de Troughton. Ce pendule est une ingénieuse modification du pendule à grille, tout le système compen. sateur se trouvant renfermé dans un tube creux de 0,016 de diamètre. Il se compose essentiellement de cinq fils d'acier de 0,003 de diamètre, et de deux tubes concentriques de cuivre; dans le tube intérieur descendent le fil central et deux des fils qui l'entourent; dans le tube extérieur descendent les deux autres fils.

Les rondelles A, B, C, D, E, représentent: A, une section en plain de la verge du pendule; B, la partie qui ferme l'extrémité supérieure du tube intérieur; C, l'extrémité inférieure de ce même tube; D et E, les parties correspondantes du tube extérieur.

F est une pièce cylindrique de cuivre à laquelle s'attachent les deux fils extérieurs; le trou du milieu reçoit la cheville qui fixe cette pièce à la lentille. Les extrémités supérieures des deux couples de fils sont vissées aux pièces qui bouchent les extrémités des tubes.

L'action de ce pendule est évidemment la même que celle du pendule à grille, puisqu'il présente trois longueurs d'acier qui s'étendent en bas, et deux longueurs de cuivre qui s'étendent en haut.

Pendule de Benzenberg. Ce pendule mé. rite une attention toute particulière, par la facilité de son exécution; il se compose d'une seule verge de plomb de 0,013 environ d'épaisseur au centre, et de quatre verges du meilleur fil de fer (fig. 15).

On peut simplifier la construction de ce pendule en lui substituant la forme indiquée dans la fig. 16. Une verge de fil de fer SA, à laquelle est attaché le ressort du pendule, est enfermée dans un fube cylindrique de plomb, que l'on fixe, par son extrémité inférieure, à celle de la verge SA au moyen d'un boulon; un tube de fer entoure celui de plomb.

Fig. 17. Pendule de Ward. Il se compose de deux verges plates de fer HH et II, épaisses de 0 mèt., 009 environ, ayant entre elles une tringle de zinc KK, épaisse de 0 mèt., 0069.

Tout ce système de verges est maintenu par trois vis 0, 0, O, qui le traversent de part en part dans des trous oblongs; la verge HH est, en outre, assujettie à la lame de zinc par une quatrième vis m, nommée vis d'ajustement. La verge II présente à son extrémité supérieure un épaulement qui s'appuie sur le sommet de la tringle de zinc.

L'action de ce pendule est la même que celle du dernier décrit; le zinc s'étend en haut, tout autant que les verges de fer s'étendent en bas, et par conséquent la distance du point de suspension au centre d'oscillation demeure la même.

Fig. 18. Pendule compensateur de Dé. parcieux. L'invention de ce pendule remonte à la même époque que celle du pendule de Leroy, mentionné plus haut.

Une verge d'acier, ABDF, coudée à angle droit, en D et en B, est fixée par ses deux extrémités aux côtés inférieurs des pièces qui forment une partie du coq du pendule. Une seconde verge en cuivre, GEIH, également coudée, repose par ses deux extrémi tés sur la partie horizontale BD de la monture d'acier, tandis que la portion transversale IE, qui dépasse le coq du pendule, reçoit le fil aplati K auquel est fixé le ressort. Un écrou sur ce fil donne l'ajustement du temps; le ressort passe par la fente du coq comme à l'ordinaire.

Ce pendule, dans lequel l'expansion en bas de la verge d'acier ABDF est compensée par l'expansion en haut de la verge de cuivre EGHI, ce pendule offre sur les autres l'avantage de pouvoir être entièrement contenu dans la boîte à horloge.

Fig. 19. Pendule du capitaine Kater. Dans ce pendule, une verge A, en bois blanc, légèrement charbonné, couverte de plusieurs couches de vernis de copal, et enduite de cire à cacheter à ses deux extrémités, est garnie d'un gros écrou de cuivre, armé d'une forte vis d'acier destinée à régler la marche du pendule de la manière ordinaire.

Cette verge, ayant en largeur 0 mèt., 022, et en épaisseur 0 mèt., 007, glisse par sa partie inférieure, entaillée à ce dessein, dans un tube de zinc B de 0 mèt., 022 d'équarrissage, de 0 mèt., 01 de diamètre intérieur, et de O mèt., 19 de longueur. A l'extrémité inférieure de ce tube est soudée une pièce de cuivre C, épaisse de 0 mèt., 007, et dans la quelle est taraudé, à pas de vis, un trou de O mèt., 01 de diamètre.

Un cylindre de zinc, D, garni d'une vis correspondante, et une plaque mince de cuivre, écrouée au cylindre, sert d'arrêt, et empêche toute secousse, quand la longueur du zinc nécessaire pour la compensation est déterminée.